Скалярное произведение 2-ух векторов и его свойства

Скалярным поизведением ā и đ назыв число ā*đ равное |ā|*|đ|*cos(ā;đ), где (ā;đ) – наименьший угол между направл ā и đ.

Свойства:

1) ā*đ=đ*ā

2) (λ*ā)*đ=ā*(λ*đ)=λ*(ā*đ)

3) ā*(đ+ē)=ā*đ+ā*ē

4) ā*đ=|ā|*ПР_āđ=|đ|*ПР_đā

5) ā*ā=ā²=|ā|²

6) Если ā и đ ненулевые, то ā*đ=0 (ā┴đ)

7) Пусть в отронормиров базисе

ā=(x₁,y₁,z₁)

đ=(x₂,y₂,z₂)

ā*đ= x₁* x₂+ y₁* y₂+ z1*z2

|ā|=

 

Уравнение прямой в пространстве

1.Кононическое ур-ние прямой(по точке и направленному вектору): Рассмотрим М. Для того, чтобы М принадлежала прямой нужно ⃓⃓ М₀М=(x-x₀, y-y₀, z-z₀) t= = = . Знаменатель может превращаться в 0(символическая запись)

2.Параметрическое уравнение:

=>

3.Ур-ние по 2 точкам: М Є прямой, когда М₁М₂⃓⃓ М₁М. М₁М₂=(x₂-x₁, y₂-y₁, z₂-z₁), М₁М=(x-x₁, y-y₁, z-z₁)

 

= = .

4. Общее ур-ние прямой: , n₁ не ⃓⃓ n₂, ⊥ ₁, ⊥ ₂

Угол прямыми: .

⃓⃓ =

⊥ a₁×a₂=0óm₁×m₂+n_1×n₂+p₁×p₂.

17. Угол между прямой и плоскостью:

Пусть задана прямая = = и плоскость Ax+By+Cz+D=0 ⃓ ⃓= = = = , φ=

Условие параллельности прямой с направляющи­ми коэффициентами I, т, п и плоскости

Ах + Ву + + Сг + В = 0 есть

А1 + Вт + Сп = 0. (1)

Оно выражает перпендикулярность прямой и нор­мального вектора {А; В; С}.

Условие перпендикулярности прямой и плоскос­ти (обозначения те же) есть

2)

Оно выражает параллельность прямой и нормального вектора.

 

Система n линейных алгебраических уравнений относительно n неизвестных

О пределителем n-ого порядка наз. число △_n=⃓А⃓,

n=1 ⃓a₁₁⃓=a₁₁, =a₁₁× a₂₂-a₁₂×a₂₁,

=a₁₁*a₂₂*a₃₃+a₂₁*a₃₂*a₁₃+a₁₂*a₂₃* a₃₁- a₁₃*a₂₂*a₃₁-a₂₃*a₃₂*a₁₁-a₁₂*a₂₁*a₃₃.

Минором элемента а_ij называется определитель n-1 -ого порядка путем отбрасывания i-строки и y-столбца.

Свойства: 1. Сумма произведений элементов люб. Ряда и их алгебр. Дополнений не зависит от номера ряда и ровна определителю.

2.Значение определителя не меняется после замены его строк соответ. столбцами и наоборот(транспонирование)(А^т) det-определитель det=det А^т

3. Если поменять местами 2 парал. Ряда опред., то он изменит знак на противоположный.

4. Опред. С 2 одинаковыми парал. рядами =0.

5. Если все элементы нек. Ряда опред. Имеют общий множетель, то этот множетель можно вынести за знак опред.

6. Если все элементы какого-либо ряда =0, то и опред. =0.

7. Опред., у кот. Элем. 2 парал. рядов соответ. пропорциональны, =0.

8. Сумма всех произведений элем. Какого-либо ряда опред. и алгебр. дополн. соответствует элем. Другоо ряда=0.

9. Если каждый элем. Любого ряда опред. Представ. Собой сумму 2 слог., то опред. = сумме2 опред., первым из которых соответств. Ряд состоит из первых слогаемых, а во втором из вторых.

10. опред. Не меняется если ко всем элем. Какого-либо ряда прибавить соотв. Элем. 2-ого парал. ряда, умноженное на одно и то же производное число.

 

 

Решение методом Крамера

Метод решения систем лин. Уравнений методом Крамера: Рассмотрим систему. Пусть m=n,пусть матрица системыА-не вырождена det A≠0. Тогда система имеет единств. Решение, кот. Определяется по формулам Крамера: х_i= i= где △-определитель А, △_i-полученое из ⃓△⃓ заменой i-столбца столбцом свободных членов.

Пример: A= B=

X=s w:val="10"/></w:rPr><m:t>3</m:t></m:r></m:e></m:mr></m:m></m:e></m:d></m:oMath></m:oMathPara></w:p><w:sectPr wsp:rsidR="00000000"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>">

△ 79≠0 △₁= =395, △₂= =-158, △₃= =237

X₁= = =5, X₂= ,

X₃=