Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Интегралы от неограниченнх ф-ий ⇐ ПредыдущаяСтр 8 из 8
Если ф-ия не ограничена в окрестности точки с отрезка и непрерывна при <c и c<x ,то несобственный интеграл от этой ф-ии определяется формулой (1) Где .В случае получаем или получаем (2) (3) Несобственный интеграл (2) или (3) называются сходящимися, если существует конечный предел соответствующего определенного интеграла;в противном случае интеграл называется расходящимся. Несобственный интеграл (1)называется сходящимся,если существуют и конечны оба предела в правой части. Для интегралов от неограниченных ф-ий справедливы теоремы: Теорема 1 Если при выполнены неравенства и сходится, то сходится и , причем ;если расходится,то расходится . Теорема 1 Если при выполнены неравенства и сходится, то сходится и , причем ;если расходится,то расходится .
Они применяются для исследования вопроса о сходимости несобственных интегралов и оценки их значений. В качестве ф-ии, с которой связывают подынтегральную ф-ию,часто выбирают Легко видеть, что сходится при a<1,расходится при a .
60.Дифференциальные уравнения (основные понятия) Дифференциальным уравнением называется уравнение относительно неизвестной ф-ии и ее производных различных порядков. Порядком дифференциального урав.назыв-ся порядок старшей производной,входящей в это уравнение. Если искомая ф-ия зависит от одной переменной, то соответствующее диф. урав- ие назыв. обыкновенным. Если искомая ф-ция зависит от нескольких переменных, то соответсв-ее диф. уравнение назыв. Уравнением с частными производными. Обыкновенными диф-ое уравн.n-ого порядка в общем виде можно записать так: =0 (1) Где x -независимая переменная; y=y(x) искомая ф-ия переменной -ее производные; -заданная ф-ия своих аргументов.Отметим,что ф-ия может не содержать некоторых своих аргументов, но непременно должна зависеть от (когда речь идет об уравнениях n-ого порядка). Если уравнение (1) разрешимо относительно производной n-ого порядка, то его можно представить в виде . (2) Ф-ия , определ. и непрерывно диф-ая n раз в интервале (a,b) назыв. решением диф-ого уравнения (1)в этом интервале,если она обращает указанное уравнение в тождество, т.е. Для всех График решения диф-ого урав. n-ого порядка назыв. интегральной линией (или интегральной кривой).
Задача Коши для диф-ого урав. n-ого порядка состоит в следующем:найти решение y=y(x) уравнения (1),удовлетворяющее условиям при (3) Где -заданные числа назыв. начальными данными решения. Равенства (3),которые назыв. начальными условиями,можно записать в таком виде: Условия существования в единственности решения задач Коши для уравнения (2) определ. след-ей теоремой,приводимой здесь без доказательства. Теорема 1 Если в уравнении функция и ее частные производные по непрерывны в некоторой замкнутой области G,определ неравенствами и,следовательно, ограничены в ней,т.е . (k=0,1,2, … n-1; Где C>0, ) , То существ. единственное решение y=y(x) данного уравн., удовлетворяющее условиям .Это решение определено и непрерывно вместе с производными до порядка n включительно в промежутке где h= min Общим решением диф-ого урав. n-ого порядка (1)назыв. ф-ия (4) Обладающая след. свойствами:1)при любых значениях произвольных постоянных она обращает урав. (1)в тождество;2)знач. постоянных можно подобрать так,чтобы она удовлетворяла условиям (3) Частным решением диф-ого уравнения n-ого порядка называется решение,получ-ся из общего решения (4)при фиксированных значениях произвольных постоянных, т. е.ф-ия Где -некоторые числа. Решение диф-огоуравн.n-ого порядка, в каждой точке которого нарушается единственность решения задачи Коши, называется особым. Общим интегралом диф-ого уравнения n-ого порядка называется соотношение вида (5) Неявно определ-ее общее решение этого уравнения. Частным интегралом диф. урав-я n-ого порядка назыв. соотношение , полученное из общего интеграла путем фиксирования значений произвольных постоянных.
№61. Дифференциальные ур-я 1-го порядка с разделяющимися переменными: Дифференциальным уравнением 1-го порядка с разделяющимися переменными называется уравнение вида: P(x)dx+Q(y)dy=0 (1). Его общим интегралом будет: (2). Уравнение вида: M1(x)·N1(y)dx+M2(x)·M2(y)dy=0 (3), а также уравнение вида: y'=f1(x)·f2(y) (4) уравнения, которые с пом. алгебраических преобразований приводятся к ур-ям (3) или (4) наз. ур-ми с разделяющимися переменными. Рассмотрим ур-е (3). Допустим, что N1(y)·M2(x)≠0. Разделим обе части ур-я (3) на N1(y)·M2(x). Получим: ,
Рассмотрим ур-е (4): Домножим обе части ур-я на dx и разделим на f2(y) в предположении, что f2(y)≠0. – общий интеграл. Замечание: При выводе общих интегралов ур-ий (3) и (4) сделаем нек. допущения, к-е могут привести к потере решений. Случай, когда M1(y)·M2(x)=0 или f2(y)=0 необходимо рассматривать отдельно, чтобы не потерять возможных решений дифференциальных ур-ий.
№62. Линейные дифф-е ур-я 1-го порядка: Ур-е: y'+P(x)y=Q(x) (1) линейное относительно неизвестной ф-ии y и её производной y' (а также любое ур-е, с пом. алгебраических преобразований, приводящееся к виду (1) наз. неоднородным линейным дифф-ым ур-ем 1-го порядка. В случае, когда Q(x)=0 ур-е наз. однородным линейным дифф-м ур-м 1-го порядка. Ф-ии Q(x),P(x) должны быть непрерывны в нек. области, для того, чтобы выпол. услов. теоремы Коши. Методы решения: 1.Метод вариации произвольной постоянной (метод Лангранжа): y'+P(x)y=0 ln y|=- y= = y0=C· C=C(x)-частное реш. неоднородного ур-я (1) yн=C(x)· d(x)· C '(x)-C(x)·P(x)+C(x)·P(x)=Q(x)· yн= Общее реш-е неоднор. ур-я (1) имеет вид: y=y0+yн=С· 2.Метод Бернулли: Любую функцию можно представить в виде произв-я 2-х ненулевых ф-ий y(x)=U(x)·V(x) U'V+UV'+P·UV=Q U'V+U(V'+PV)=0=Q V'+PV=0 V'+PV=0 ln|V|=- V=C· C=1 V= U' =0 U'=Q U= U=( U' V+U V'+U Vtgx= U' V+U(V'+Vtgx)= V'+Vtgx=0 V'+Vtgx=0 +Vdx=0 ln|V|=ln|cosx|+ln|C| ln|V|=ln|C·cosx| C=1 V=cosx U'cosx= U'= U=tgx+C y=(tgx+C)·cosx=sinx+C·cosx Замечание: Полезно иметь в виду, что иногда дифф-е ур-е явл. линейным относ. х,как функция от у,т.е. может быть приведено к виду: .
№63. Линейные дифференциальные ур-я 2-го порядка с постоянными коэффициентами: y''+py'+gy=0 (1) p, g Є R. λ2+pλ+g=0 (2) 1) λ1, λ2, Є R, λ1≠λ2 Решение: y1= , y2= , y0=C1 +C2 2) λ1, λ2 Є R, λ1=λ2=λ y1= , y2=x , y0=C1 +C2 3)λ1, λ2 Є C, λ1/2=α±βi y1= 2= sinβx y0=C1 2 1cosβx+C2sinβx) Рассмотрим ур-е: y''+py'+gy=f(x) (3) Во многих случаях правая часть ур-я (3) имеет вид: f(x)= (4), где Pr(x) и Qs(x)-многочлены в степени r и s соответственно, а и в- некоторые постоянные числа. Известно, что в этом случае частное решение yн(х) ур-я (3) имеет аналогичную структуру правой части, т.е. частное решение в этом случае необходимо искать ун(х)=хк m(x)cosbx+Q(x)sinbx) (5), где Pm(x) и Qm(x)- многочлены степени m m={r,s}, k=числу корней характеристического ур-я совпадающему числу z=a+bi f(x)= yн=хк m(x)cosbx+Qm(x)sinbx) m=max k: a+bi
64. Производственная функция Кобба-Дугласа: a1 a2 an y = f(x) = cx1 x2 … xn xi – количество i-го фактора (c, ai ≥ 0) y – объем выпуска продукции · Производственная функция Кобба-Дугласа является однородной степени r = a1 + … +an С учетом отношения: f xi (x) = ai / xi f(x), т.е. ε f, xi (x) = ai, факторные показатели (параметры) ai называются иногда (частными) производственными эластичностями. Предельная норма замещения факторов: Если рассмотреть линию уровня – изокванту производственной функции y = f(x1, …, xn) по высоте y0 и задаться вопросом, на сколько единиц надо (приблизительно) изменять количество i-го фактора xi, чтобы при постоянных объеме выпуска и значениях остальных переменных заменить одну единицу k-го фактора, то (при некоторых предположениях) будет определена неявная функция x k = φ (xi), призводная которой называется предельной нормой замещения: φ/ (xi) = -fxi(x)/fxk(x) предельная норма замещения (фактор k заменен фактором i) Чувствительность цены опциона “ колл” Формула Блэка-Шоулза: Pколл = PФ(d1) – Se-iTФ(d2), где d1 = 1/σ√T (ln(P/S) + T(i + σ2/2)) и d2 = d1 - σ√T определяет цену: Pколл опциона “колл”(на покупку акции)в зависимости от входных параметров: P (актуальная цена акции), S (базисная цена; цена исполнения, указанная в опционе), i (безрисковая процентная ставка при мгновенном начислении процентов), T (остаточный срок действия опциона), σ2 (дисперсия рентабельности акции), Ф (функция распределения стандартного нормального распределения, а φ – ее плотность: φ(x) = (1/√2π)e-x*x/2
Изменение цены опциона “колл” при изменении i- го входного параметра на ∆xi(при неизменных фиксированных значениях остальных параметров) можно оценить с помощью частного дифференциала (∂Pколл/∂P)∆xi, где, например, ∆ = ∂Pколл/∂P = Ф(d1)>0 - дельта; чувствительность цены опциона относительно изменения цены акции P. 65.Числовые ряды: если задана числовая последовательность (un), то выражение u1 + u2 + u3 +… + un +…, называется числовым рядом. n Если существ. lim Sn = S, где Sn = ∑ uk = u1 + u2 +… + un − n - ∞ k=1 его n –ая частичная сумма, то ряд назыв. сходящимся ( число S – сумма ряда), в противном случае – расходящимся. Если ряд сходится, то lim un = 0 n - ∞ (необходимый признак сходимости)
|
|||||||
Последнее изменение этой страницы: 2017-01-21; просмотров: 266; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.119.132.223 (0.075 с.) |