Теорема Лопіталя. Розкриття невизначеностей виду

та .

ТЕОРЕМА ЛОПІТАЛЯ. Нехай функції f(x) і визначені і диференційовні в околі точки ,за винятком, можливо, самої точки і в цьому околі. Нехай також при (або ) функції f(x) і спільно прямують до нуля або до нескінченності. Тоді якщо відношення їхніх похідних має границю, то відношення самих функцій також має границю, яка дорівнює границі відношення похідних, тобто

(1)

Сформульовану теорему прийнято називати правилом Лопіталя для розкриття невизначеностей виду та . Висновок з цієї теореми (назвемо його також правилом Лопіталя)можна загалом сформулювати так:

якщо при деякому значенні (скінченному або нескінченному) границя відношення двох функцій є невизначеність виду або і при цьому значенні існує границя відношення похідних цих функцій, то границя відношення функцій дорівнює границі відношення їхніх похідних.

Правило Лопіталя дозволяє звести обчислення границі відношення двох нескінченно малих (або двох нескінченно великих) функцій до границі відношення їхніх похідних, що у багатьох випадках є більш простою задачею.

Може статися, що відношення похідних при знову приводить до невизначеності виду або .Тоді потрібно повторно скористатися правилом Лопіталя, виконуючи одночасно спрощення отриманих виразів, наприклад, скоротити спільні множники, або ж, спираючись на теореми про границі, звести задачу до знаходження вже знайомих границь. Більше того, правило Лопіталя можна застосовувати доти, поки не розкриється невизначеність. У цьому разі повторні застосування правила Лопіталя записують зазвичай в один ланцюжок рівностей.

Увага! Студент повинен з великою обережністю користуватися правилом Лопіталя: потрібно ділити похідну від чисельника на похідну від знаменника, взяті порізно, і в ніякому разі не диференціювати функцію як частку (як дріб).

Ще одне суттєве зауваження, на яке слід акцентувати увагу студента. Із того, що границя не існує, не можна робити висновок, що й шукана границя також не існує. Остання функція може існувати й тоді, коли відношення похідних при границі не має.

Отже, хоча правило Лопіталя є ефективним методом обчислення границь, воно, на жаль, не завжди дає змогу досягти цілі. Підтвердимо це прикладом.

Приклад. Знайти границю функції

Розв’язання. Застосування правила Лопіталя у даному випадку безрезультатне, оскільки відношення похідних цієї функції

не має границі при . Порушено умову теореми Лопіталя. Проте границя даної функції знаходиться досить просто, а саме:

Оскільки . Увага! Тут не перша чудова границя.

, тому, що

(чисельник обмежений, а знаменник прямує до нескінченності). Існування границі заданої функції не суперечить теоремі Лопіталя, так як в ній стверджується, що коли відношення похідних прямує до границі, то до цієї границі прямує і відношення функцій, але не навпаки.

Перейдемо до освоєння техніки обчислення границь, що ґрунтується на застосуванні правила Лопіталя.

 

2.2. Практика розкриття невизначеностей виду та .

Користуючись правилом Лопіталя, знайти вказані границі:

1) Безпосередня підстановка граничного значення аргументу x=1 приводить до невизначеності виду . Так як функції і задовольняють умовам теореми Лопіталя, то згідно з (1) будемо мати

Примітка. Обчислення границі згідно з правилом Лопіталя зазвичай записують зразу. В існуванні необхідних похідних і границь переконуються безпосередньо в процесі обчислень. Тому попередні викладки можуть бути опущені, що й рекомендуємо робити в подальшому.

2) ,де a= const.
3)

Розглянемо приклади, коли правило Лопіталя при знаходженні границі застосовується повторно.

4)

5) При , залишаючись додатним, маємо невизначеність виду яку потрібно розкрити. За правилом Лопіталя маємо

Остання границя при дає невизначеність виду . Можливі два шляхи для її розкриття: а) повторно застосувати правило Лопіталя; б) скористатись теоремою про границю добутку двох функцій.

З огляду на сказане маємо

а)

б)

Наведемо ще декілька прикладів, коли правило Лопіталя приходиться комбінувати з іншими методами знаходження границі.

6)

.

7)

.

Формула (1) залишається справедливою, коли відношення похідних прямує до нескінченності, тоді і відношення самих функцій також прямує до нескінченності.
8)

Увага! Студент повинен розрізняти поняття «границя дорівнює » та «границя не існує».

Розглянемо два важливих приклади.
9)
10) n – ціле додатне число.
Застосуємо правило Лопіталя n разів підряд, дістанемо

Таким чином, коли аргумент прямує до , то степенева функція (n>0) зростає швидше, ніж логарифмічна, а експонента – швидше ніж степенева.

 

2.3. Розкриття невизначеностей виду та .

Під розкриттям невизначеності виду розуміють знаходження границі якщо і де – це число або .

Під розкриттям невизначеності виду розуміють знаходження границі коли і є нескінченно великі величини одного знаку.

Такі невизначеності з допомогою алгебраїчних перетворень легко зводяться до основних – або . Це можна робити за схемою, умовний запис якої такий:

Знайти границі:

1) В даному випадку має місце невизначеність виду . Записавши функцію як дріб дістанемо невизначеність виду яку розкриємо за правилом Лопіталя:

2) Тут невизначеність виду Щоб мати можливість застосовувати правило Лопіталя, запишемо добуток у вигляді частки При чисельник і знаменник цього дробу одночасно прямують до Таким чином, дістали невизначеність виду

3) Так як і при то маємо невизначеність виду . Перетворимо даний вираз так:

4) При маємо невизначеність виду Зведемо її до невизначеності виду

5)

Оскільки

то вихідна границя

 

 

2.4. Степеневі невизначеності виду

Такі невизначеності мають місце при розгляді степенево- показникової функції коли f(x) прямує відповідно до а – відповідно до при

Перейдемо від степеневих невизначеностей до невизначеності скориставшись логарифмічною тотожністю яка стосовно степенево-показникової функції набирає вигляду

або

де функція f(x)>0, так як стоїть під знаком логарифма.

Тепер можна записати

Знак границі і знак функції поміняли місцями, що припустимо внаслідок неперервності показникової функції.

Задача звелася до знаходження границі добутку

який є невизначеністю . Нехай ця границя дорівнює А, тобто

Тоді остаточно для вихідної границі маємо

Знайти вказані границі:

1)

Позначимо через А показник і знайдемо границю:

Отже, А=0. Повернемося до вихідної границі.

2)

Отже, А=0. В свою чергу, .

3)

.

А=0. Остаточно для вихідної границі маємо

4)

Тепер можна повернутися до вихідної границі:

.

5)

Оскільки А=0, то

6)

Отже, остаточно дістанемо .

7)

Повертаємося до вихідної границі:

8)

Оскільки то

9)

У такому разі .

Зауваження. Можливий ще й такий спосіб розкриття невизначеностей: задану функцію попередньо логарифмуємо і знаходимо границю її логарифма, а потім уже за границею логарифма знаходимо границю самої функції. Покажемо це на прикладі.

Знайдемо границю яку позначимо через В:

Прологарифмувавши обидві частини рівності, будемо мати

Таким чином, звідки вихідна границя В=1.