Практика диференціювання функцій

 

Насамперед подамо дві вказівки, якими неодноразово доведеться користуватись в подальшому.

Вказівка 1. Перш ніж диференціювати функцію, вводимо дробові та від’ємні показники (коли це необхідно):

p, q – натуральні числа;

Вказівка 2. При диференціюванні складеної функції логарифмічного виду інколи потрібно, користуючись властивостями логарифмів, звести її до вигляду, зручного для диференціювання.

В усіх нижченаведених прикладах знайти похідні вказаних функцій. 1)

Введемо дробові і від’ємні показники та скористаємось властивістю логарифма степеня:

З огляду на формулу (2) можна записати:

Виносячи сталий множник за знак похідної і скориставшись таблицею похідних, дістанемо:

2) Застосуємо формулу похідної добутку двох функцій (3) і таблицю похідних, будемо мати

3) Застосуємо формулу похідної частки двох функцій (5) і таблицю похідних:

Перейдемо тепер до диференціювання складених функцій.

4) Спочатку перепишемо дану функцію, ввівши дробовий показник:

Це складена функція степеневого виду з проміжним аргументом

Її можна записати так:

Застосуємо правило диференціювання складеної функції (формулу (6)):

Остаточно, замінивши u його значенням, дістанемо

5) Оскільки то маємо справу з диференціюванням функції Останньою дією для цієї функції є піднесення до степеня, тому це складена функція степеневого виду Тоді згідно з правилом диференціювання складеної функції маємо

або, беручи до уваги, що , остаточно дістанемо

6) Для даної функції останньою дією є взяття натурального логарифма. Ця дія звершується над функцією Тому проміжний аргумент У такому разі На підставі формули диференціювання складеної функції (6) можна записати Оскільки то похідна набуває вигляду

Слід зауважити, що до такого детального запису відшукання похідної складеної функції вдаються лише на початковій стадії освоєння техніки диференціювання. Набувши певних навичок застосування правил диференціювання, позначення проміжних аргументів можна опускати (вводити їх подумки).

7) У даному випадку маємо справу із складеною функцією логарифмічного виду. Диференціювання її у такому вигляді приводить до вельми громіздких викладок. Беручи до уваги вказівку 2, надамо функції іншого вигляду, зручного для диференціювання:

Диференціюючи, дістанемо

8) Функція задана добутком двох складених функцій. Згідно з формулою (3) маємо

9) Функція задана часткою двох складених функцій. Враховуючи формулу (5), знайдемо її похідну:

Надалі займемося диференціюванням складених функцій з довільним числом проміжних аргументів.

10) Перепишемо функцію так:

Це складена функція з двома проміжними аргументами: та Її можна подати у вигляді

Прийнявши до уваги формулу (7), (нагадаємо її: ), виконаємо диференціювання:

11) Задана функція складена, степеневого виду. Послідовно застосовуючи правило диференціювання складеної функції, правила і формули диференціювання, дістанемо