Диференціювання неявно заданої функції 


Мы поможем в написании ваших работ!



ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

Диференціювання неявно заданої функції



Якщо залежність між змінними y та x задана рівнянням F(x,y)= 0, то y називається неявною функцією аргументу x.

Правило: щоб продиференціювати неявно задану функцію, потрібно взяти похідну по x від обох частин рівності F(x,y)=0, пам’ятаючи, що y є функція від x, яка перетворює це співвідношення у тотожність; потім здобуте співвідношення потрібно розв’язати відносно похідної .

Зауваження. Безпосередньо порівнювати похідні від обох частин рівності можливо тільки в тому випадку, коли ця рівність є тотожністю (а не рівнянням!). Тому в отриманий вираз для потрібно підставляти тільки ті числові значення які задовольняють дане рівняння F(x,y)=0.

Приклад 1. Знайти похідну функції заданої рівнянням

Розв’язання. Диференціюючи обидві частини рівності і враховуючи, що дістаємо

Розв’яжемо це рівняння відносно

Зауважимо, що при диференціюванні другого доданка ми скористалися формулою для похідної добутку двох функцій (3), а при диференціюванні третього доданка – правилом диференціювання складеної функції, а саме:

Приклад 2. Знайти похідну від неявної функції

Розв’язання. Спочатку для спрощення викладок перепишемо рівняння у вигляді Диференціюємо ліву і праву частини рівності, вважаючи при цьому y функцією від x:

Приклад 3. Знайти в точці (0;1), якщо

Розв’язання. Продиференціюємо по x обидві частини заданої рівності:

Поклавши x=0, y=1, дістанемо значення похідної у точці (0;1):

1.6. Логарифмічне диференціювання.
Похідна показниково-степеневої функції

У деяких випадках операція диференціювання функції y=f(x) значно спрощується, якщо її спочатку прологарифмувати за основою e, тобто а потім знайти похідну від неявної функції. Операція знаходження похідної, яка ґрунтується на попередньому логарифмуванні заданої функції y=f(x), називається логарифмічним диференціюванням. Похідна натурального логарифма функції y називається логарифмічною похідною:

Логарифмічним диференціюванням доцільно користуватися при знаходженні похідної функції, яка після логарифмування спрощується. До таких функцій відносяться:
1) функції, які є добутком або часткою більше ніж двох функцій, а також містять операції піднесення до степеня і добування кореня;
2) показникова функція зі складним показником.

Приклад 1. Знайти похідну функції

Розв’язання. Безпосереднє знаходження похідної за правилами диференціювання частки та добутку неефективне, так як приводить до громіздких викладок. Застосуємо логарифмічне диференціювання.

Попередньо знайдемо логарифм даної функції:

Це неявна функція, диференціювати яку ми вже вміємо. Скористаємося правилом диференціювання неявної функції:

Помножимо обидві частини останньої рівності на y:

І, нарешті враховуючи, що є задана функція (дивись умову задачі), дістанемо остаточний вираз для шуканої похідної

Логарифмічне диференціювання застосовується також для знаходження похідної показниково-степеневої функції, тобто функції, у якої і основа і показник змінні: де – задані і диференційовані функції від x.

Приклад 2. Задана функція Знайти

Розв’язання. Беручи натуральний логарифм від обох частин рівності, дістанемо або Оскільки стоїть під знаком логарифма, то суттєвим є застереження в умові задачі, що береться з інтервалу так як тоді має сенс.

Диференціюючи останню рівність по x, звертаємо увагу на її праву частину, де записаний добуток двох функцій: Множимо обидві частини цієї рівності на y, враховуючи, що згідно з умовою задачі , будемо мати

 



Поделиться:


Последнее изменение этой страницы: 2017-01-26; просмотров: 326; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.234.55.154 (0.088 с.)