Загальна схема дослідження функції та побудова її графіка

I. Елементарне дослідження функції.

1. Знайти ОВФ.

2. З’ясувати, чи не є функція парною, непарною або періодичною.

3. Знайти (якщо це не важко) точки перетину графіка з координатними осями.

4. Знайти точки розриву (якщо вони існують) та вияснити характер розривів.

5. Знайти асимптоти графіка функції або довести, що їх немає.

II. Дослідження функції на монотонність та екстремум.

1. Знайти першу похідну функції та критичні точки 1-го роду.

2. На ОВФ допоміжного рисунка відмітити критичні точки, установити інтервали монотонності функції і на кожному із них методом пробних точок за знаком першої похідної з’ясувати зростає чи спадає функція.

3. Знайти точки екстремуму за зміною знака першої похідної при переході через критичну точку 1-го роду.

4. Обчислити екстремальні значення функції.

5. У випадку дослідження функції на екстремум за допомогою другої похідної, знайти другу похідну і скористатися другою достатньою ознакою екстремуму.

III. Дослідження графіка функції на опуклість, угнутість та перегин.

1. Знайти другу похідну функції та критичні точки 2-го роду.

2. Нанести критичні точки 2-го роду на ОВФ допоміжного рисунка і установити інтервали опуклості, угнутості кривої.

3. Методом пробних точок за знаком другої похідної визначити опукла чи угнута крива на кожному із цих інтервалів.

4. Знайти абсциси точок перегину за зміною знака другої похідної при переході через критичну точку 2-го роду.

5. Знайти точки перегину.

IV. Побудова графіка функції.

1. Побудувати графік функції, враховуючи результати проведених досліджень в розділах I-III.

Зауваження. В процесі дослідження функції не обов’язково точно притримуватися наведеної схеми; інколи порядок дослідження зручно вибирати, виходячи із особливостей заданої функції. Більше того, при розв’язанні конкретної задачі окремі етапи цієї схеми можуть бути розширені, інші ж виявитися зайвими.

Приклад 1. Дослідити функцію та побудувати її графік.

Розв’язання. 1) Це дробово-раціональна функція, яка визначена і неперервна на всій осі Ox за винятком точки x =-3. Отже, ОВФ: 2) Так як ОВФ не симетрична відносно початку координат, то досліджувана функція ні парна, ні непарна; крім того, вона неперіодична. 3) Знайдемо точки перетину графіка функції з осями координат: а) з віссю Ox:

– нулі функції; – точки перетину графіка функції з віссю Ox; б) з віссю Oy: – точка перетину графіка функції з віссю Oy.

4) Дослідимо поведінку функції поблизу точки розриву . Знайдемо односторонні границі функції в точці :

Отже, є точка розриву 2-го роду, тому пряма

є вертикальною асимптотою.

Залишається дослідити, як веде себе функція, коли та :

Так як при функція не має скінчених границь, то горизонтальних асимптот у даної кривої немає.

5) Шукаємо похилі асимптоти. Для того щоб вияснити, чи має графік функції похилі асимптоти, згадаємо, що коефіцієнти k та b рівняння знаходяться із співвідношень

Маємо (границі при та співпадають)

Отже, . Рівняння похилої асимптоти: .

З’ясуємо питання про взаємне розташування графіка функції і похилої асимптоти відносно один одного. Складемо різницю

Знайдемо знак при та

при – крива розміщена під асимптотою.

при – крива розміщена над асимптотою.

6) Знаходимо першу похідну даної функції:

7) Знаходимо критичні точки 1-го роду:

– критичні (стаціонарні) точки 1-го роду. Похідна терпить розрив при x =-3, але ця точка не входить в ОВФ.

8) Відмічаємо критичні точки на ОВФ (дивись допоміжний

рис. 28).Цими точками та точкою розриву ОВФ ділиться на чотири інтервали монотонності:

9) Методом пробних точок визначимо, зростає чи спадає функція на кожному з цих інтервалів:

– функція спадає на інтервалі

– функція зростає на інтервалі

– функція зростає на інтервалі (–3;–1);

– функція спадає на інтервалі

10) Дослідимо функцію на екстремум. При переході через точку перша похідна змінює свій знак з «–» на «+», тому – це точка мінімуму. При переході через точку перша похідна змінює знак з «+» на «–», тому – це точка максимуму.

11) Обчислимо екстремальні значення функції:

12) Знаходимо другу похідну функції: Друга похідна в нуль ніде не перетворюється і зазнає розриву при , але ця точка не входить в ОВФ. Критичних точок 2-го роду функція не має, тому друга похідна може змінювати знак тільки при переході через точку розриву . Інтервали опуклості, угнутості (рис. 29):

13) Визначимо, опукла чи угнута крива па кожному інтервалі:

– крива угнута на інтервалі – крива опукла на інтервалі Точок перегину функція не має.

14) На основі знайдених даних побудуємо графік функції в такій послідовності: насамперед відмітимо на осі Ox характерні точки (точку розриву, нулі функції, точки екстремуму). На площині Oxy відмітимо точки графіка, які відповідають виділеним значенням аргументу; проведемо вертикальну та похилу асимптоти. Характер точки розриву визначає вигляд кривої поблизу цієї точки. Знання інтервалів зростання та спадання функції, інтервалів опуклості, угнутості допоможе нам точніше побудувати графік даної функції (дивись рис. 30).

Приклад 2. Дослідити функцію і побудувати її графік.

Розв’язання. 1) Функція визначена і неперервна на інтервалі

2) Функція ні парна, ні непарна; неперіодична. 3) Знаходимо точки перетину графіка з координатними осями: а) з віссю Ox: – нуль функції; А(1;0) – точка перетину з віссю Ox; б) з віссю Oy точок перетину графік не має, бо x =0 не належить ОВФ. 4) Досліджуємо поведінку функції на границі її області визначення. Якщо , залишаючись додатним, то

Це випливає з того, що

Таким чином, пряма x =0 (вісь ординат) є вертикальна асимптота.

Через те, що то пряма y =0 (вісь Ox) є горизонтальна асимптота. 5) Шукаємо похилі асимптоти y=kx+b. Ліва похила асимптота відсутня, так як неможливо, щоб Маємо

Оскільки k=b= 0, то пряма y= 0 (вісь Ox) є горизонтальна асимптота. Відмітимо, що цей результат ми вже отримали раніше у п.4.

6) Знаходимо першу похідну даної функції

та критичні точки 1-го роду з умови x=e – стаціонарна точка.

Інших критичних точок функція не має, так як існує в усіх точках ОВФ. 7)Відмічаємо цю єдину критичну точку на ОВФ (рис. 31). Вона розбиває область визначення на два інтервали монотонності: Методом пробних точок дослідимо знак похідної на кожному з цих інтервалів:

а) – функція зростає на інтервалі (0; е);

б) – функція спадає на інтервалі 8) Перевіряємо достатні умови екстремуму. Перша похідна , як неперервна функція на ОВФ, змінює знак з «+» на «-», коли x переходить через стаціонарну точку x=e. А це означає, що точка x=e є точкою максимуму функції. Легко пересвідчитись, що

9)Щоб дослідити графік функції на опуклість, угнутість, знайдемо другу похідну: Вона неперервна на ОВФ. Прирівнюючи до нуля, знаходимо критичні точки 2-го роду функції: – критична точка 2-го роду. Ця точка розбиває ОВФ на два інтервали опуклості, угнутості (дивись рис. 32): У кожному із них друга похідна зберігає певний знак. Щоб з’ясувати, який саме, скористаємося методом пробних точок:

а) – функція опукла на інтервалі

б) – функція угнута на інтервалі

10) Знаходимо точки перегину. Оскільки при переході через критичну точку 2-го роду відбувається зміна знака другої похідної

(з «-» на «+»), то точка – абсциса точки перегину.

Р(4,49;0,33) – точка перегину даної функції. 11) Враховуючи всі отримані результати дослідження, будуємо графік функції (рис.33).