Основні правила і формули диференціювання

ДИФЕРЕНЦІЮВАННЯ

Література: § 21; гл.5, § 1-2.

Поняття похідної

Поняття похідної – фундаментальне поняття математичного аналізу, за допомогою якого досліджуються процеси і явища в природничих, соціальних та економічних науках. Зокрема, при застосуванні таких економічних понять, як попит, витрати виробництва, національний прибуток тощо, часто доводиться визначати швидкість зміни значень відповідних величин. Розв’язання таких задач ґрунтується на методах диференціального числення. Тому вивченню похідної слід приділити особливу увагу.

Нехай функція y=f(x) визначена і неперервна в деякому проміжку і нехай довільне значення і точка належать цьому проміжку. Знайдемо відповідний приріст функції Тоді відношення характеризує середню швидкість зміни функції на відрізку Щоб дістати більш точну характеристику зміни функції, розглянемо Якщо ця границя існує, то вона характеризує швидкість зміни функції в точці

Означення. Похідною функції в точці x називається границя відношення приросту функції в цій точці до приросту аргументу, коли приріст аргументу прямує до нуля.

За означенням

(1)

Позначають так:

Термін «похідна» запровадив французький математик Лагранж. Якщо в точці то якщо ж ця границя не існує, то не існує в цій точці і похідної.

Якщо границя (1) існує в кожній точці деякого проміжку, то похідна є функцією від в цьому проміжку. Для даного фіксованого значення аргументу похідна є певним числом.

Функцію, яка має скінченну похідну в точці , називають диференційовною в точці . Функція називається диференційовною в інтервалі, якщо вона диференційовна в кожній точці цього інтервалу. Операція знаходження похідної від функції називається диференціюванням цієї функції.

ТЕОРЕМА. Якщо функція диференційовна в точці , то вона неперервна в цій точці.

Обернене твердження, взагалі кажучи, не має місця, тобто з неперервності функції в точці не випливає її диференційовність. Так, наприклад, функція неперервна в точці але вона не має в цій точці похідної.

Отже, неперервність функції в точці є лише необхідною умовою її диференційовності в цій точці.

Геометричний зміст похідної. Значення похідної в точці дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної, проведеної до графіка цієї функції у точці з абсцисою Отже, де – кут нахилу дотичної.

Механічний зміст похідної. Якщо функція описує закон прямолінійного руху матеріальної точки, де – шлях, – час, то швидкість в даний момент часу – це похідна від пройденого шляху

Узагальнюючи, можна сказати так: якщо функція описує деякий фізичний процес, то похідна є швидкістю зміни цього процесу. В цьому полягає фізичний зміст похідної.

Економічний зміст похідної пояснимо на прикладі. Якщо позначити через прибуток від продажу одиниць товару, то границя називається маргінальним (граничним) прибутком.

 

1.2. Безпосереднє диференціювання

 

Якщо похідна даної функції знаходиться згідно з означенням (за формулою (1)), тобто шляхом послідовного визначення і то такий спосіб знаходження похідної називається безпосереднім диференціюванням.

Приклад 1. Користуючись способом безпосереднього диференціювання, знайти похідну функції Обчислити

Розв’язання. При значенні аргументу, що дорівнює , маємо При значенні аргументу, що дорівнює , маємо Знаходимо приріст функції:

Складаємо відношення

Знаходимо границю відношення при а саме

Приклад 2. Виходячи з означення похідної, знайти похідну функції

Розв’язання. Знаходимо приріст функції

Складаємо відношення Таким чином,

Таблиця похідних основних елементарних функцій

 

 

1.		степенева функція	1.
1a.		1a.
1б.		1б.
2.		показникова функція	2.
2а.		2а.
3.		3.
3а.		3а.
4.		4.
		5.
6.		6.
7.		7.
8.		8.
9.		9.
10.		10.
11.		11.

 

Доцільно ще раз підкреслити, що оскільки, по суті, на основі однієї цієї формули здійснюється диференціювання будь-якого виразу, то студенти не тільки повинні пам’ятати її напам’ять, але й уміти прочитати її словесно.

Якщо складена функція містить декілька проміжних аргументів, наприклад, то похідна від складеної функції по аргументу x дорівнює

(7)

Це правило поширюється і на складені функції, які задаються ланцюжком із довільного скінченого числа проміжних аргументів. У цьому разі потрібно виконати наступні дії:

1) визначити вид складеної функції (функція якого виду – степеневого, логарифмічного, показникового, тригонометричного чи обернено тригонометричного);

2) занумерувати проміжні аргументи;

3) необхідне число разів скористатися правилом диференціювання складеної функції.

 

Монотонність функції

Нехай функція y=f(x) визначена на деякому інтервалі (a;b). Звернемося до рис.1, нагадавши одночасно геометричний зміст похідної функції y=f(x) точці x: , де – кут нахилу дотичної, проведеної до графіка функції у точці з абсцисою x.

Будемо рухатися вздовж кривої зліва направо. Із рисунка видно, що коли функція зростає на деякому проміжку, то кут нахилу дотичної до кривої гострий, тому Якщо ж функція спадає, то навпаки, кут нахилу дотичної до кривої буде тупим, а отже . Постараємося тепер аналітично обґрунтувати наші геометричні спостереження і висновки.

Означення. Функція f(x) називається зростаючою (спадною) на інтервалі (a;b), якщо на цьому інтервалі більшому значенню аргументу відповідає більше (менше) значення функції, тобто

Означення. Функція f(x) називається монотонною на інтервалі (a;b), якщо вона на цьому інтервалі або тільки зростає, або тільки спадає.

Наприклад, показникова функція при а>1 є зростаючою на всій числовій осі; при 0< a <1 – спадною на всій числовій осі.

Увага! Надалі студент повинен чітко розуміти різницю між необхідними та достатніми умовами зростання та спадання функції тощо. Для цього слід більш детально зупинитися на поняттях необхідної і достатньої умови.

Умова називається необхідною для даної обставини, якщо завжди, коли дана обставина має місце, ця умова виконується. Умова називається достатньою, якщо кожного разу, коли вона виконується, дана обставина має місце.

Наприклад, подільність деякого числа k на 2 необхідна (але не достатня) для його подільності на 6, а подільність на 6 достатня (але не необхідна) для його подільності на 2. Дійсно, із того що число ділиться на 6 випливає його подільність на 2. Таким чином, для того щоб число ділилось на 6, необхідна його парність. Ясно, що не всяке парне число ділиться на 6 (тобто ця умова не є достатньою).

Зростання та спадання функції характеризується знаком її похідної. Сформулюємо аналітичну ознаку (критерій) зростання та спадання функції.

ТЕОРЕМА 1 (необхідна ознака монотонності функції).

1. Якщо функція f(x) на інтервалі (a;b) диференційовна і зростає, то її похідна невід’ємна на цьому інтервалі, тобто

2. Якщо функція f(x) на інтервалі (a;b) диференційовна і спадає, то її похідна недодатна на цьому інтервалі, тобто

Геометричний зміст щойно наведеної теореми очевидний і випливає з геометричного змісту похідної: 1) дотична до графіка зростаючої функції утворює з додатним напрямом осі Ox гострий кут або (в окремих точках) горизонтальна 2) дотична до графіка спадної функції – тупий кут (або в окремих точках) горизонтальна .

Що нам дає теорема 1? Теорема 1 дозволяє за характером росту монотонної в інтервалі функції установити знак її похідної в цьому інтервалі. Проте, коли ми тільки починаємо досліджувати функцію, то її поведінка, як правило, нам невідома. Тому для нас значно важливіше сформулювати таку умову, виконання якої гарантує, що функція зростає (спадає) на деякому проміжку; інакше кажучи, сформулювати достатню умову монотонності функції.

ТЕОРЕМА 2 (достатня ознака монотонності функції).

Якщо функція f(x) в кожній точці інтервалу (a;b) має додатну (від’ємну) похідну, то сама функція зростає (спадає) на цьому інтервалі.

Унаочнимо сказане такою табличкою:

	+	–
y

Геометрично ясно, що функція буде монотонною і в тому випадку, коли її похідна, зберігаючи весь час сталий знак, в окремих точках дорівнює нулю.

Теореми 1 і 2 – це чисто аналітичні ознаки, які знаходяться у повній погодженості з тими висновками, які ми зробили із спостережень над кривою на початку параграфа (дивись рис.1).

Зауваження. Ми не ввели поняття зростаючої та спадної функції в точці. Водночас не запровадили більш детальної класифікації функцій стосовно характеру їхньої поведінки на інтервалі, а саме: зростаюча, спадна, незростаюча, неспадна. І нарешті, на основі цієї класифікації не сформулювали відповідні ознаки поведінки функції. Вичерпну відповідь на ці питання студент може знайти, скориставшись такими навчальними посібниками:

1. Суліма І.М., Ковтун І.І., Яковенко В.М. Вища математика, ч.2, НАУ, Київ, 2003. 2. Валєєв К.Г., Джалладова І.А. Вища математика, ч.1, КНЕУ, Київ,2001.

Означення. Інтервалами або проміжками монотонності функції f(x) називаються інтервалами її області визначення, на яких функція або тільки зростає, або тільки спадає.

Ознакою інтервалу монотонності є зберігання знака похідної функції на цьому інтервалі

.

Звернувшись до рис.2, бачимо, що інтервали монотонності можуть відділятися один від одного або точками, де похідна функції дорівнює нулю (їх називають стаціонарними точками), або точками, де похідна дорівнює нескінченності чи не існує. І, нарешті, це можуть бути точки розриву функції.

Відмітимо, що коли похідна не існує в якійсь точці (але існує в сусідніх точках), то в цій точці похідна розривна. В стаціонарних точках дотична до графіка функції паралельна осі Ox (на рис. 2 це точки ). В точках, де похідна дорівнює нескінченності, дотична перпендикулярна до осі Ox (на рис. 2 це точки ); їх називають зворотними точками. В точках, де похідна не існує, не існує і дотична (на рис. 2 це точка ); їх називають кутовими точками.

Увага! Не кожна стаціонарна точка відділяє інтервали монотонності (на рис.2 це точки ). Якщо на двох сусідніх інтервалах, розділених стаціонарною точкою, знак похідної однаковий, то ці інтервали складають єдиний інтервал монотонності. На рис. 2 інтервали та складають єдиний інтервал спадання функції , а інтервали та – єдиний інтервал зростання функції

Означення. Критичними точками 1-го роду функції f(x) називають точки, розташовані всередині її області визначення, в яких похідна або нескінченності або не існує.

Зазначимо, що критичні точки включають в себе і стаціонарні точки. В стаціонарних точках миттєва швидкість зміни функції дорівнює нулю, тобто це ніби точки миттєвого спокою.

ПРАВИЛО ЗНАХОДЖЕННЯ ІНТЕРВАЛІВ МОНОТОННОСТІ ФУНКЦІЇ f(x):

1.	Знайти область визначення функції (ОВФ) f(x).
2.	Знайти першу похідну
3.	Знайти критичні точки 1-го роду з рівняння та з умов, що або не існує.
4.	Нанести критичні точки на ОВФ f(x). Вони разом з точками розриву функції f(x) розбивають ОВФ на інтервали монотонності.
5.	Визначити знак похідної на кожному із знайдених інтервалів. На інтервалах, де похідна додатна, функція зростає, а де вона від’ємна – спадає.

Приклад 1. Знайти інтервали монотонності функції

Розв’язання. 1) Функція визначена і диференційована на інтервалі 2) Знаходимо похідну:

3) Знаходимо критичні точки 1-го роду:

.

Інших критичних точок немає, так як існує на всій числовій осі.

4) Наносимо критичні (стаціонарні) точки на область визначення функцій (рис.3).

Вони розбивають ОВФ на три інтервали: Так як похідна може змінювати знак тільки при переході через точки, в яких вона перетворюється в нуль або терпить розрив неперервності (в даному випадку точки розриву відсутні), то в кожному із інтервалів похідна зберігає знак, тому в кожному із цих інтервалів задана функція монотонна. 5) Встановлюємо знак похідної на кожному інтервалі. Для цього достатньо визначити знак похідної в одній довільній внутрішній точці (пробній точці) кожного інтервалу. Маємо – функція зростає на інтервалі – функція спадає на інтервалі (1;3); – функція зростає на інтервалі .

Нанесемо на рис. 3 результати дослідження знака похідної на інтервалах монотонності. Стрілками, звернутими вгору і вниз, показано поводження функції на цих інтервалах.

Приклад 2. Знайти інтервали зростання і спадання функції

Розв’язання. 1) Функція визначена і диференційована на множині дійсних чисел, крім точки x= 1 (так як знаменник не повинен перетворюватися в нуль). Точка x= 1 – точка розриву функції. Тому ОВФ: 2) Рекомендуємо переконатися самостійно, що похідна знайдена вірно. 3) Знаходимо критичні точки 1-го роду: – стаціонарна точка. Інших критичних точок функція не має.

4) Відмічаємо критичні точки на ОВФ (дивись рис. 4). Інтервали монотонності:

5) Визначаємо знак похідної на кожному інтервалі. Маємо

– функція спадає на

– функція зростає на (0;1);

– функція спадає на

Результати визначення знака похідної нанесемо на рис. 4.

 

Екстремум функції

Більшість елементарних функцій не є монотонними всюди, де вони визначені. ОВФ часто містить як проміжки зростання, так і проміжки спадання функції. Особливу зацікавленість викликають «примежові» значення аргументу (на рис. 2 це точки ). Вони відокремлюють область зростання функції від області її спадання або навпаки, тобто при переході через ці точки поведінка функції змінюється. До розгляду поведінки функції в околі такої точки ми зараз і перейдемо.

Нехай функція y=f(x) визначена на інтервалі і точка . Введемо наступні означення:

функція f(x) має максимум (мінімум) у точці якщо значення функції у цій точці більше (менше), ніж її значення в усіх інших точках деякого околу точки , тобто для всіх x досить близьких до .

Точка називається точкою максимуму (мінімуму) функції f(x). Термін «максимум» та «мінімум» об’єднуються спільним терміном «екстремум».

Позначають так:

1) максимум – max (скорочення латинського «найбільший»);

2) мінімум – min (скорочення латинського «найменший»);

3) екстремум – extr (скорочення латинського «крайній»).

Точку називають точкоюекстремуму або екстремальною точкою, а значення функції у цій точці – її екстремальним значенням або екстремумом.

В економічних дисциплінах екстремум функції називають її локальним оптимумом, а процес знаходження екстремального значення функції називають оптимізацією.

Рис. 5 ілюструє деякі характерні випадки поведінки функції в околі екстремальної точки.

Звернемо увагу на такі обставини.

1.Якщо функція визначена на відрізку , то вона може досягати екстремуму тільки всередині цього відрізка. Чому? Тому що згідно означення екстремуму функції в точці, ми повинні знати всю інформацію про характер зміни функції в деякому околі, який охоплює точку і який належить ОВФ. Окремі А кінцеві точки a та b охопити такими околами неможливо.

2.Поняття екстремуму носить локальний (місцевий) характер і завжди зв’язане з поведінкою функції тільки в деякому околі точки із ОВФ, а не з усією ОВФ. Окремі min можуть бути навіть більшими деяких max функції (дивись рис. 2)Тому не слід плутати max і min функції з її найбільшим та найменшим значенням в ОВФ.

З’ясуємо умови існування екстремуму.

ТЕОРЕМА 3 (необхідна ознака екстремуму). Якщо у точці функція f(x) має екстремум, то її перша похідна в цій точці дорівнює нулю або дорівнює нескінченності, або не існує:

або або не існує

Коментарі до теореми 3.

1. Умова з погляду геометрії означає, що дотична до графіка функції у точці горизонтальна (паралельна осі Ox). Умова означає, що ця дотична вертикальна ( – зворотна точка). Умова не існує означає, що дотична також не існує ( – кутова точка).

2. Точки екстремуму функції є її критичними точками 1-го роду. Це зразу звужує множину точок, серед яких можуть знаходитись точки екстремуму. Обернене твердження невірне: не всяка критична точка функції є її екстремальною точкою. Так, наприклад, для функції точка x =0 є критичною точкою. Дійсно,

Проте ця точка не є екстремальною, що видно з графіка цієї функції (див. рис. 17).

У зв’язку з цим критичні точки іноді називають точками, «підозрілими» на екстремум або точками можливого екстремуму, тому що екстремальні точки потрібно шукати лише серед них. В практичних задачах функція має зазвичай всього декілька критичних точок.

Розглянемо критерії, які дають змогу із множини критичних точок виділити точки екстремуму.

Перша достатня ознака екстремуму (перше правило). Нехай функція y=f(x) диференційована в околі критичної точки 1-го роду ,(крім, можливо, самої точки ). Тоді:

1) якщо при переході через точку зліва направо похідна функції змінює знак з «+» на «–», то точка – точка max функції f(x);

2) якщо ж при такому переході похідна змінює знак з «–» на «+», то точка – точка min функції f(x);

3) якщо похідна не змінює знак, то в точці екстремум відсутній.

Повернемося до прикладу 1 п.3.1. Нами були знайдені інтервали монотонності функції та визначений характер її поведінки на кожному інтервалі (дивись рис,3). Продовжимо дослідження – знайдемо екстремальні точки цієї функції, скориставшись достатньою ознакою екстремуму. 1) Так як при переході через стаціонарну точку похідна змінює знак з «+» на «–», то згідно першого правила в точці функція має max, точніше, круглий max (дивись рис. 6). Так як при переході через стаціонарну точку похідна змінює знак з «–» на «+», то в точці функція має min, точніше, круглий min (дивись рис. 6). 2) Знайдемо екстремальні значення функції: Тоді А(1;1) та В(3;-3) – це точки на графіку функції, де вона досягає максимуму та мінімуму відповідно. 3) Результати дослідження поведінки функції, схематично зображені на рис. 6, дають можливість легко побудувати ескіз графіка функції. Що ми й зробимо. Дамо декілька порад щодо побудови наближеного графічного зображення даної функції. Спочатку наносимо на вісь Ox, яка є областю визначення нашої функції, характерні точки. В даному випадку обмежимося тільки екстремальними точками та , так як нулі функції, на жаль, знайти не просто, а точок розриву функція не має. Далі на площині Oxy відмічаємо точки А(1;1) та В(3;-3). І, нарешті, рухаючись зліва направо по осі Ox рисунка 6, зчитуємо отриману інформацію, будуючи одночасно ескіз графіка функції (дивись рис. 7).

Правило дослідження функції f(x) на монотонність та екстремум:

1.	Знайти ОВФ f(x)
2.	Знайти першу похідну
3.	Знайти критичні точки 1-го роду функції f(x) і, розмістивши їх в порядку зростання, нанести на ОВФ
4.	Записати інтервали монотонності, на які критичні точки разом з точками розриву функції ділять ОВФ.
5.	За знаком похідної встановити, зростає чи спадає функція на кожному інтервалі.
6.	Скориставшись першою достатньою ознакою екстремуму, знайти екстремальні точки.
7.	Обчислити екстремальні значення функції.

Приклад 1. Знайти інтервали монотонності та дослідити на екстремум функцію

Розв’язання. Використаємо вище наведене правило. 1) ОВФ: 2) Знаходимо похідну

3) Знаходимо критичні точки 1-го роду:

а) – стаціонарна точка;

б) коли знаменник дробу дорівнює нулю, тобто коли – критична точка. Зазначимо, що в цій точці похідна терпить розрив, а сама функція визначена і неперервна. Інших критичних точок немає. 4) Відмічаємо критичні точки на ОВФ ( дивись рис. 8) Інтервали монотонності:

5) Визначаємо знак похідної на кожному інтервалі за знаком похідної у пробній точці інтервалу:

– функція зростає на ;

– функція спадає на (–1;0);

– функція зростає на

6) При переході через стаціонарну точку похідна змінює знак з «+» на «–», отже точка – точка круглого максимуму. При переході через критичну точку похідна змінює знак з

«–» на «+», тому точка – це точка гострого мінімуму (дивись рис. 8). 7) Обчислимо екстремальні значення функції:

А(-1;1) і О(0;0) – точки на графіку

функції, де вона має max і min відповідно.

8) Будуємо ескіз графіка функції (дивись рис.9).

У більш– менш складних прикладах визначити знак похідної у пробних точках досить трудно. Щоб «обійти» ці труднощі, в окремих випадках можна скористатися іншим способом дослідження функції на екстремум. Сформулюємо так звану другу достатню ознаку екстремуму, яка інколи виявляється зручнішою і простішою, ніж перша достатня ознака.

Друга достатня ознака екстремуму (друге правило). Нехай в околі стаціонарної точки існує неперервна друга похідна функції f(x), причому Тоді

Якщо то – точка min функції f(x);

Якщо то – точка max функції f(x).

При у точці може бути або max, або min,або ж не буде ні max, ні min. Потрібні додаткові дослідження.

Унаочнює другу достатню ознаку так зване правило «ковшика»:

Правило знаходження екстремуму функції за допомогою другої похідної:

1.	Знайти першу похідну .
2.	Знайти стаціонарні точки даної функції, тобто точки, в яких
3.	Знайти другу похідну .
4.	Дослідити знак другої похідної в кожній з стаціонарних точок. Якщо при цьому друга похідна буде додатною, то функція в такій точці має min, а якщо від’ємною, то max.
5.	Обчислити значення функції в точках екстремуму.

Приклад 2. Дослідити на екстремум функцію

Розв’язання. 1) Задана функція всюди неперервно диференційовна. Знайдемо її першу похідну:

2) Шукаємо стаціонарні точки із умови

Стаціонарні точки будуть такими:

3) Знайдемо другу похідну:

4) Досліджуємо знак другої похідної в стаціонарних точках:

Отже, Тому, згідно з другого правилом у стаціонарних точках та функція досягає максимуму.

5) Обчислимо екстремальні значення функції:

Примітка. Що стосується стаціонарної точки то нічого конкретного поки сказати неможливо. Для її дослідження потрібно скористатися першою достатньою ознакою. Доходимо висновку, що друге правило застосовне для вужчого класу функцій, ніж перше.

 

Точки перегину

Нехайкрива, що задана рівнянням y=f(x), гладка на деякому інтервалі (a;b), тобто функція f(x) неперервна і неперервно диференційовна на цьому інтервалі. Тоді в кожній точці такої кривої можна провести дотичну.