социально-экономических явлений

Непараметрические методы – методы, реализация которых не требует знания законов и параметров распределения показателей.

 

При изучении взаимосвязей количественных признаков методами непараметрической статистики используют следующие показатели:

· коэффициент корреляции знаков Фехнера;

· коэффициент корреляции рангов Спирмена;

· ранговый коэффициент корреляции Кендэла;

· коэффициент конкордации (множественный коэффициент ранговой корреляции).

 

Ранговые коэффициенты Спирмена и Кендэла применяют также и к качественным признакам, если их можно ранжировать.

 

Взаимосвязь качественных признаков устанавливается с помощью расчёта коэффициентов:

· ассоциации;

· контингенции;

· взаимной сопряжённости Пирсона;

· взаимной сопряжённости Чупрова.

 

Между количественными и качественными альтернативными признаками связь исследуется на основе бисериального коэффициента корреляции.

 

 

1. Коэффициент Фехнера (коэффициент корреляции знаков) – простейший показатель тесноты связи. Он построен на знаках отклонений значений признаков х и у от своих средних величин. Для расчета показателя определяют средние и . Затем в таблицу с параллельным рядом значений (х, у) заносят знаки отклонений и . Коэффициент Фехнера рассчитывают по формуле:

 

, (29)

 

где С – число совпадений знаков отклонений;

Н – число несовпадений.

 

Коэффициент Фехнера варьирует от 0 до ± 1. Причем чем ближе его значение к 1, тем теснее зависимость между х и у. Знак коэффициента показывает направление связи: (+) свидетельствует о прямой связи, (-­) – об обратной.

2.Коэффициент корреляции рангов Спирмена исчисляется не по первичным данным, а по рангам (порядковым номерам), которые присваиваются всем значениям изучаемых признаков, расположенных в порядке возрастания.

Если значения признаков совпадают, то определяется средний ранг путём деления суммы рангов на число значений.

Коэффициент корреляции рангов Спирмена определяется по формуле:

, (30)

где d – разность значений рангов для каждой единицы.

 

Значения коэффициента корреляции рангов Спирмена изменяются в пределах от –1 до +1.

Если ранги по обоим признакам совпадают, то d²=0; =1, и, следовательно, связь между признаками полная прямая.

Если = -1, то связь между признаками полная обратная.

Если = 0, то связь между признаками отсутствует.

Коэффициент корреляции рангов Спирмена применяется и для оценки связи между качественными признаками при условии, что значения этих признаков могут быть проранжированы по степени возрастания или убывания.

Пример.

По имеющимся данным о группе рабочих предприятия определите тесноту связи между признаками Среднемесячная производительность труда и Премия по итогам года с помощью:

1) коэффициента Фехнера;

2) коэффициента ранговой корреляции Спирмена;

3) коэффициента линейной корреляции.

Решение.

Построим вспомогательную таблицу для определения необходимых значений, где х – Среднемесячная производительность труда (факторный признак), у – Премия по итогам года (результативный признак).

Таблица

Таблица для расчетов показателей тесноты связи

	x	y						ранг x	ранг y	D ^2
	6,5	15,7	– 0,6	– 0,6	0,36	0,36	0,36
	6,6	15,5	– 0,5	– 0,8	0,40	0,25	0,64
	6,8	16,2	– 0,3	– 0,1	0,03	0,09	0,01
	6,9	16,1	– 0,2	– 0,2	0,04	0,04	0,04
	7,0	15,9	– 0,1	– 0,4	0,04	0,01	0,16
	7,0	15,8	– 0,1	– 0,5	0,05	0,01	0,25
	7,1	17,6	0,0	1,3	0,00	0,00	1,69
	7,1	16,4	0,0	0,1	0,00	0,00	0,01
	7,2	16,5	0,1	0,2	0,02	0,01	0,04
	7,3	16,4	0,2	0,1	0,02	0,04	0,01
	7,4	16,0	0,3	– 0,3	– 0,09	0,09	0,09
	7,5	16,7	0,4	0,4	0,16	0,16	0,16
	7,5	16,3	0,4	0,0	0,00	0,16	0,00
	7,6	17,2	0,5	0,9	0,45	0,25	0,81
å	99,5	228,3			1,49	1,47	4,27

; ;

 

1) = = 0,857 Þ связь тесная, прямая.

 

2) Þ связь тесная, прямая.

 

3) ; ;

 

Þ связь заметная, прямая.

3.Ранговый коэффициент корреляции Кендэла, как и ранговый коэффициент Спирмена, применяют с целью выявления взаимосвязей, как к количественным, так и к качественным признакам, если последние можно проранжировать. Формула для расчёта коэффициентов корреляции рангов Кендэла имеет вид:

 

, (31)

где S=P+Q;

P – число следующих наблюдений для переменной Y с большими значениями рангов;

Q – число следующих наблюдений для переменной Y с меньшими значениями рангов.

 

Значения рангового коэффициента корреляции Кендэла изменяются в пределах от –1 до +1. При >0,5 – связь существенная.

 

4.Коэффициент конкордации (множественный коэффициент ранговой корреляции) применяется для измерения связи между двумя и более признаками при условии, что их можно проранжировать; определяется по формуле:

, (32)

где m – количество признаков, между которыми устанавливается связь;

n – число наблюдений;

S – разность между суммой квадратов рангов и средним квадратом рангов.

Значения коэффициента конкордации изменяются в пределах от 0 до +1;

при значении больше 0,5 можно говорить о тесной связи между признаками.

5.Коэффициенты ассоциации и контингенции применяются для измерения связи между двумя качественными альтернативными признаками.

 

С этой целью строится четырёхклеточная таблица, которая показывает связь между двумя явлениями, каждое из которых обладает альтернативными признаками.

 

Например, обследуют группу населения одного из регионов России в отчётном периоде.

I вопрос – о месте проживания (следует выбрать правильный ответ):

1. Проживаю в городе.

2. Проживаю в сельской местности.

II вопрос – о принадлежности к полу (следует выбрать правильный ответ):

1. Мужчина.

2. Женщина.

 

Определив суммарную численность ответов на каждый вопрос буквенными символами, четырёхклеточную таблицу можно представить следующим образом:

 

Взаимосвязь между ответами на два вопроса социологического обследования

Ответы на I вопрос	Ответы на II вопрос	Итого
Мужчина	Женщина
Проживаю в городе	a	b	a+b
Проживаю в сельской местности	c	d	c+d
Итого	a+c	b+d	a+b+c+d

 

На основании данных таблицы можно построить коэффициенты контингенции и ассоциации, предложенные английскими статистиками

К. Пирсоном и Д. Юлом, соответственно.

 

Коэффициент контингенции вычисляется по следующей формуле:

 

(33)

 

Коэффициент ассоциации рассчитывается по формуле:

 

(34)

 

Значения коэффициентов контингенции и ассоциации изменяются в пределах от –1 до +1.

Связь считается существенной, если коэффициент контингенции по модулю больше 0,3, а коэффициент ассоциации – 0,5.

 

Пример. Требуется измерить тесноту связи между прививками от гриппа и пониженной заболеваемостью от гриппа в группе случайно отобранных студентов с помощью:

1) коэффициента контингенции;

2) коэффициента ассоциации.

Данные о заболеваемости гриппом

	Заболели	Не заболели	Итого
Привитые
Непривитые
Всего

Решение.

 

- 0,41

 

К - 0,71

 

Вывод.. Так как по модулю значения обоих коэффициентов превышает 0,3, то между качественными признаками Наличие прививки от гриппа и Заболеваемость гриппом существует обратная корреляционная связь.

6. Коэффициенты взаимной сопряжённости Пирсона и Чупрова используются тогда, когда требуется установить связь между качественными признаками, каждый из которых состоит более, чем из двух групп.

Коэффициент взаимной сопряжённости Пирсона рассчитывается по формуле:

, (35)

где – показатель взаимной сопряжённости, рассчитываемый как:

(36)

где – количество единиц относящихся одновременно к i-той группе признака X и к j-той группе признака Y;

k –число групп признака X;

m – число групп признака Y.

 

Значения коэффициента взаимной сопряжённости Пирсона изменяются в пределах от 0 до +1.

Чем ближе к 1, тем связь между изучаемыми признаками теснее.

Коэффициент взаимной сопряжённости Чупрова рассчитывается по формуле:

, (37)

где n –число единиц совокупности;

m₁, m₂ – число наблюдений.

Значения коэффициента взаимной сопряжённости Чупрова изменяются в пределах от 0 до +1. При значении 0,3 можно говорить о тесной связи между признаками.

Пример.

Исследовалась зависимость между оценкой уровня жизни людей и районом проживания. Данные опроса представлены в таблице:

 

Район	Оценка уровня жизни	Итого
вполне удовлет- ворен	скорее удовлет- ворен	скорее не удов-летворен	совсем не удов- летворен
Центральный
Октябрьский
Речной
Итого

 

Решение:

 

 

.

Вывод: Оценка уровня жизни людей практически не зависит от района проживания

7. Бисериальный коэффициент корреляции рассчитывают, когда исследуют связь между количественными и качественными альтернативными признаками:

, (38)

где – средние значения количественного признак, разделённого на группы в соответствии со значениями качественного признака;

– среднее квадратическое отклонение количественного признака.

p – доля первой группы в совокупности;

q – доля второй группы в совокупности;

z – табличное значение Z-распределения в зависимости от p.

 

Вопросы для самоконтроля

 

1. В чем заключаются основные задачи изучения и измерения связи между явлениями?

2. Чем различаются функциональные и корреляционные связи?

3. Охарактеризуйте виды корреляционных связей.

4. Какие методы применяются статистикой для выявления наличия корреляционной связи между признаками?

5. Какие показатели являются мерой тесноты связи между количественными признаками?

6. Как рассчитываются ранговые коэффициенты корреляции?

7. Какие показатели являются мерой тесноты связи между атрибутивными признаками.

8. Множественная корреляция.

9. В чем состоит значение уравнения регрессии?

10. В каких случаях пользуются индексом корреляции? Какова его формула?

11. Свойства линейного коэффициента корреляции.

12. Какие задачи решает дисперсионный анализ? Критерий Фишера и методика его исчисления.

 

[1] Таблицы значений t-критерия Стьюдента можно найти в рекомендованных учебниках по теории статистики.