Классификация матриц по их структуре

Содержание

 

Содержание. 2

1 Общие сведения. 3

1.1 Понятие о матрицах. 3

1.2 Элементы матриц. 3

1.3 Классификация матриц по их структуре. 4

1.4 Основные операции над матрицами. 5

1.5 Специальные виды матриц. 10

2 Матричная формулировка соотношений теории упругости. 12

2.1 Основные переменные теории упругости. 12

2.2 Основные соотношения теории упругости. 16

2.3 Матричная запись соотношений Коши и закона Гука. 17

3 Общий алгоритм метода конечных элементов. 19

3.1 Дискретизация задачи. Минимум потенциальной энергии системы 19

3.2 Структура матриц, используемых в методе КЭ.. 24

3.3 Сборка глобальной системы уравнений МКЭ.. 27

Общие сведения

Понятие о матрицах

Матрица – прямоугольная таблица элементов, состоящая из n строк и m столбцов.

, которую также можно обозначить как

Элементы матриц

Элементами матриц могут быть:

действительные числа (действительные матрицы),

нули или единицы, которые могут трактоваться, как логические значения «истина» или «ложь» (булевские или логические матрицы),

функции (матричные функции),

дифференциальные операторы (матричные операторы),

другие матрицы, размеры которых в этом случае должны быть согласованы между собой (клеточные матрица).

Приведем примеры:

 

действительная матрицалогическая (булевская матрица)

матричная функцияматричный оператор

 

клеточная матрица

 

Примечание: размеры клеток должны быть согласованы!

 

Классификация матриц по их структуре

По особенностям структуры могут быть выделены некоторые частные случаи матриц:

квадратные матрицы, у которых n = m;

диагональные матрицы , у которых Aij = 0 при i ¹j;

единичные матрицы, у которых

Aij = 0 при i ¹j, и Aij = 1 при i =j;

 

нулевые матрицы, у которых все элементы равны нулю;

симметричные матрицы, у которых ;

верхние и нижние треугольные матрицы:

,

где символом «*» обозначены ненулевые элементы;

матрица-столбец

 

матрица-строка

 

.

Специальные виды матриц

Перестановочные матрицы.

Возьмем единичную матрицу = и модифицируем ее следующим способом:

· Выделим в ней i –й столбец и i–ю строку, j-й столбец и j–ю строку (i≠j);

· Положим и (рис. 2.4).

Легко убедиться, что в этом случае умножение вида

= приводит к перестановке в исходной матрице i-го и j-го столбцов. В то же время, умножение вида = приводит к перестановке в исходной матрице i-й и j-й строк. Матрица , используемая для осуществления такой операции, называется перестновочной.

Рис. 1.4

Матрицы преобразования системы координат (матрицы поворота осей).

Если для некоторого вектора (рис. 2.5) компоненты, заданные в одной системе координат матрицей-столбцом надо вычислить в другой, полученной путем поворота, системе координат, представив столбцом , то указанное преобразование можно выполнить с помощью операции

.

Известно, что компоненты некоторого двумерного вектора изменяются при повороте системы координат на угол по следующему правилу (рис.2.5):

,

и следовательно в этом случае матрица должна быть сформирована следующим образом

.

Рис. 1.5

Очевидно, что определитель матрицы равняется единице, поскольку

,

Легко также убедиться в том, что в случае ортогональных осей матрица преобразования системы координат обладает свойством . По определению обратной матрицы . Поэтому должно иметь место равенство

.

Матрицы, для которых обратная матрица равна транспонированной матрице, называются ортогональными.

Рис. 3.7 Учет условий закрепления.

 

Содержание

 

Содержание. 2

1 Общие сведения. 3

1.1 Понятие о матрицах. 3

1.2 Элементы матриц. 3

1.3 Классификация матриц по их структуре. 4

1.4 Основные операции над матрицами. 5

1.5 Специальные виды матриц. 10

2 Матричная формулировка соотношений теории упругости. 12

2.1 Основные переменные теории упругости. 12

2.2 Основные соотношения теории упругости. 16

2.3 Матричная запись соотношений Коши и закона Гука. 17

3 Общий алгоритм метода конечных элементов. 19

3.1 Дискретизация задачи. Минимум потенциальной энергии системы 19

3.2 Структура матриц, используемых в методе КЭ.. 24

3.3 Сборка глобальной системы уравнений МКЭ.. 27

Общие сведения

Понятие о матрицах

Матрица – прямоугольная таблица элементов, состоящая из n строк и m столбцов.

, которую также можно обозначить как

Элементы матриц

Элементами матриц могут быть:

действительные числа (действительные матрицы),

нули или единицы, которые могут трактоваться, как логические значения «истина» или «ложь» (булевские или логические матрицы),

функции (матричные функции),

дифференциальные операторы (матричные операторы),

другие матрицы, размеры которых в этом случае должны быть согласованы между собой (клеточные матрица).

Приведем примеры:

 

действительная матрицалогическая (булевская матрица)

матричная функцияматричный оператор

 

клеточная матрица

 

Примечание: размеры клеток должны быть согласованы!

 

Классификация матриц по их структуре

По особенностям структуры могут быть выделены некоторые частные случаи матриц:

квадратные матрицы, у которых n = m;

диагональные матрицы , у которых Aij = 0 при i ¹j;

единичные матрицы, у которых

Aij = 0 при i ¹j, и Aij = 1 при i =j;

 

нулевые матрицы, у которых все элементы равны нулю;

симметричные матрицы, у которых ;

верхние и нижние треугольные матрицы:

,

где символом «*» обозначены ненулевые элементы;

матрица-столбец

 

матрица-строка

 

.