Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Дискретизация задачи. Минимум потенциальной энергии системы
В реальной конструкции число степеней свободы ее внутренних точек бесконечно и поэтому замкнутое решение задачи зачастую становится невозможным. При численной постановке задачи приближенное решение строится с использованием конечного числа степеней свободы. Как указывалось выше, в методе конечных элементов среда разделяется на серию элементов, которые взаимодействуют в конечном числе узловых точек. Этот процесс называется дискретизацией задачи. В задачах анализа конструкций окончательные уравнения МКЭ могут быть получены минимизацией общей потенциальной энергии системы. Потенциальная энергия конструкции П является суммой энергии деформации U и потенциала внешних сил V, то есть:
(3.1)
Сформулируем принцип минимума потенциальной энергии, как это делается в в строительной механике:
Чтобы считаться допустимыми, перемещения Ø должны быть непрерывными, Ø должны удовлетворять условиям закрепления. Так на рис. 7.1 приведены примеры допустимых и недопустимых перемещений. Рис. 3.1
Пользуясь матричными обозначениями выразим энергию деформаций: , (3.2) где - вектор, содержащий компоненты напряжений или усилий, - вектор содержащий компоненты деформаций. Потенциал нагрузок приложенных в объеме конструкции и на ее поверхности равен:
(3.3) где - вектор перемещений внутренних точек конструкции, - вектор сил, распределенных по объему материала, - вектор сил, распределенных по поверхности тела. Выразим величину потенциальной энергии, запасенной телом при деформировании:
(3.4)
В МКЭ перемещения произвольных точек внутри конечного элемента выражаются через узловые перемещения с помощью матриц функций формы:
, (3.5) где - матрица функций формы, - векор узловых перемещений конечного элемента. Деформации в точках внутри конечного элемента получаются путем дифференцирования перемещения точек тела с помощью матричного дифференциального оператора подобно тому как это делается, например, в теории упругости при записи соотноошений Коши: (3.6)
Подставляя в (3.6) соотношение (3.5), получаем выражение вектора деформаций через перемещения узловых точек конечного элемента (3.7) или , (3.8) где (3.9)
- матрица, не совсем удачно называемая матрицей деформаций, которая обычно строится с использованием производных от функций формы конечного элемента. Напряжения выражаются через деформации с помощью закона Гука
, (3.10) или с учетом (7.8):
, (3.11) где - матрица упругих постоянных материала конструкции.
Таким образом все неизвестные функции, определяющие напряженно-деформированное состояние внутри конечного элемента оказались выраженными через перемещения узловых точек. Подставляя в (3.4) выражения (3.5), (3.8) и (3.11) и вычисляя интегралы по объему или по поверхности только одного конечного элемента, получим развернутое выражение потенциальной энергии, запасенной в теле данного конечного элемента:
, (7.12) где - объем конечного элемента, - загруженная поверхность конечного элемента. Возьмем первые производные от полученной потенциальной энергии по узловым перемещениям. Естественно, что их число будет равно числу степеней свободы элемента и, следовательно, их можно представить в виде вектора: (3.13)
или, учитывая то, что перемещения узлов не зависят от пространственных координат x, y, z и, следовательно, могут быть вынесены из под знака интеграла
, (3.14) где - (3.15)
вектор эквивалентных узловых сил, к которому приводятся все поверхностные и распределенные по объему силы, действующие на данный конечный элемент, а - (3.16) матрица жесткости конечного элемента.
Представим, что модель содержит всего один конечный элемент. В этом случае для экстремальности потенциальной энергии необходимо обращение в ноль первых производных по всем узловым степеням свобода, то есть , (3.17) что приводит к системе линейных алгебраических уравнений вида . (3.18)
Когда конструкция моделируется набором конечных элементов, потенциальная энергия всей конструкции будет складываться из потенциальных энергий отдельных конечных элементов, то есть (3.19)
В силу этого глобальная система уравнений метода конечных элементов может быть получена суммированием по всем конечным элементам выражений, полученных по формуле (7.9) с последующим приведением подобных членов (суммированием коэффициентов жесткости, относящихся к разным конечным элементам, но к к одному и тому же узловому перемещению) и приравниванием полученных выражений к нулю. Эта процедура называется сборкой системы уравнений метода конечных элементов.
Таким образом общая процедура метода включает в себя ряд последовательных этапов: Ø разбивку тела конструкции на конечные элементы, Ø вычисление матрицы жесткости и вектора узловых сил для каждого конечного элемента, Ø сборку жесткостей и узловых сил отдельных конечных элементов в глобальную матрицу жесткости и глобальный вектор узловых сил, Ø решение системы линейных алгебраических уравнений и нахождение узловых перемещений, Ø вычисление величин, характеризующих напряженное состояние, во внутренних точках конечного элемента.
|
||||||
Последнее изменение этой страницы: 2016-12-30; просмотров: 242; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.144.187.103 (0.015 с.) |