Основные переменные теории упругости

 

Рассмотрим 3-х мерное тело нагруженное внешними силами и помещенное в систему координат . под действием внешних сил тело деформируется. При деформировании произвольная точка g смещается по координатным осям. Компоненты смещения произвольной точки тела в теории упругости обозначают Положительные смещения направлены в положительном направлении координатных осей (рис. 6.1).

 

Рис. 2.1

 

Элементарный бесконечно малый объем тела в процессе деформирования всей конструкции изменяет свои линейные размеры и изменяет форму.

Для упрощения рассмотрим процесс изменения размеров и формы на двумерной проекции, исключив третью координату.

Изменение размеров элементарного объема выражается в том, что длинаы ребер изменяются соответственно на величины , которые называются абсолютными линейными деформациями и положительны при увеличении размеров. В уравнениях удобнее использовать относительные линейные деформации , которые получаются делением соответствующей абсолютной деформации на первоначальный размер (рис. 6.2).

 

, (2.1)

 

Рис. 2.2

 

Изменение формы элементарного объема сводится к тому, что его ребра скашиваются, не приводя при этом к изменению объема (рис. 6.3). Изменение формы описывается тремя переменными , которые показывают насколько при деформировании изменяются прямые углы между гранями объема. Они называются угловыми деформациями или сдвигами.

 

Рис. 2.3

 

Деформации элементарного объема полностью описываются физической величиной, которая называется тензором деформаций, и которая в декартовой системе координат обычно задается квадратной матрицей (6.2), компонентами которой служат перечисленные выше линейные и сдвиговые деформации. Матрица тензора деформаций является симметричной, поскольку .

(2.2)

Вследствие деформаций тела, в материале конструкции возникают внутренние, распределенные по обему силы, которые назаваются напряжениями, и фактически представляют собой давление, которое элементарный объем испытывает со стороны остального материала.

Рассмотрим напряжения, действующие на элементарный объем (рис. 6.4). Полные напряжения , действующие на грани объема можно разбить на компоненты по координатным осям, обозначив символом напряжения перпендикулярные к граням (нормальные напряжения) и символом - напряжения лежащие в плоскости грани (касательные напряжения). Первый индекс у всех напряжений показывает вдоль какой оси направлена нормаль к той площадке, в которой действует напряжений. Второй индекс у касательных напряжений показывает направление самого вектора.

 

Рис. 2.4

 

Напряженное состояние в точке тела полностью описываются физической величиной, которая называется тензором напряжений, и которая в декартовой системе координат обычно задается квадратной матрицей (6.3), компонентами которой служат перечисленные выше нормальные и касательные напряжения. Матрица тензора напряжений является симметричной, поскольку в соответствии с законом парности касательных напряжений .

(2.3)

Таким образом, видно, что теория упругости оперирует с 15 функциями, каждая из которых, в общем случае, зависит от трех координат.