Лекция №5. Количественные методы описания систем.

Вопросы лекции:

1. Высшие уровни описания систем.

2. Низшие уровни описания систем.

Литература.

1. Энциклопедия кибернетики. АН УССР, Киев, 1975, с.335-339

2. Острейковский В.А. Методология проектирования АСУ как большой системы. – Обнинский филиал МИФИ, Обнинск, 1982-с.58-64.

 

1. Высшие уровни описания систем.

 

При создании и эксплуатации сложных систем требуется проводить исследования и расчеты, связанные с:

1) оценкой показателей, характеризующих различные свойства систем;

2) выбором оптимальной структуры системы;

3) выбором оптимальных значений её параметров.

Выполнение таких исследований возможно лишь при наличии математического описания процесса функционирования систем, то есть её математической модели.

Сложность реальных систем не позволяет строить для них «абсолютно» адекватные модели. Математическая модель (ММ) описывает некоторый упрщённый процесс, в котором представлены лишь основные явления, входящие в реальный процесс, и лишь главные факторы, действующие на реальную систему.

Какие явления считать основными и какие факторы главными – существенно зависит от назначения модели, от того какие исследования с её помощью предполагается проводить. Поэтому процесс функционирования одного и тогоже реального объекта может получить различные математические описания в зависимости от поставленной задачи.

Для построения простой и изящной ММ, обладающей достаточной степенью адекватности реальному процессу, требуется обычно немалое искусство. Помимо интуиции и понимания структуры формализуемых явлений, здесь существенную роль играет знание типичных схем и ММ, пригодных для описания различных процессов.

Поскольку ММ сложной системы может быть скрлько угодно много и все они определяются принятым уровнем абстрагирования, то рассмотрение задач на каком-либо уровне абстракции позволяет дать ответы на определённую группу вопросов, а для получения ответов на другие вопрсы необходимо провести исследование уже на другом уровне абстракции. Каждые из возможных уровней абстрагирования, возможностями. Для достижения максимально возможной полноты сведений необходимо изучить одну и туже систему на всех целесообразных для данного случая уровнях абстракции.

Обзор современного состояния математики и работ по теории БС позволяет утверждать, что наиболее пригодными являются следкющие уровни абстрактного описания систем:

1) символический или, иначе, лингвистический;

2) теоретико-множественный;

3) абстрактно-алгебраический;

4) топологический;

5) логико-математический;

6) теоретико-информационный;

7) динамический;

8) эвристический.

Рассмотрим некоторые уровни описания систем.

Лингвистический уровень описания – наиболее высокий уровень абстрагирования. Из него, как частные случаи, можно получить другие уровни абстрактного описания систем более низкого ранга. Процесс формализации в математике обычно понимают как отвлечение от изменчивости рассматриваемого объекта. Поэтому формальные построения тогда наиболее успешно могут быть использованы, когда удаётся с предметами или процессами действительности каким-то образом сопоставлять некоторые стабильные, неизменные понятия. В силу этого становится возможным выявить взаимоотношения, существующие между этими понятиями, а тем самым вскрыть связи, наблюдаемые в реальной действительности. Для обозначения вводимых понятий используют те или иные правила оперирования с ними. Некоторая совокупность символов и правил пользования ими образуют абстрактный язык.

Понятие о высказывании на данном абстрактном языке означает, что имеется некоторое предложение (формула), построенное на правилах данного языка. Предполагается, что эта формула содержит варьируемые переменные, называемые конституэнтами, которые только при определённом их значении делают высказывание истинным.

Все высказывания делят обычно на два типа. К первому причисляют термы (имена предметов, члены предложения и т.д.) – высказывания, с помощью которых обозначают объекты исследования, а ко второму – функторы – высказывания, определяющие отношения между термами.

С помощью термов и функторов можно показать, как из лингвистического уровня абстрактного описания (уровня высшего ранга) как частный случай, возникает теоретико-множественный уровень абстрагирования (уровень более низкого ранга).

Термы суть некоторые множества, с помощью которых перечисляют элементы или, иначе, подсистемы изучаемых систем, а функторы устанавливают характер отношений между введенными множествами. Множество образуется из элементов, обладающих некоторыми свойствами и находящимися в некоторых отношениях между собой и элементами других множеств. Следовательно, АСУ вполне подходят под такого рода определение понятия «множество». Это убеждает в том, что построение сложных систем на теоретико-множественном уровне абстракции вполне уместно и целесообразно.

На теоретико-множественном уровне абстракции можно получить только общие сведения о реальных системах, а для более конкретных целей необходимы другие абстрактные модели, которые позволили бы производить более тонкий анализ различных свойств реальных систем. Эти более низкие уровни абстрагирования, в свою очередь, являются уже частными случаями по отношению к теоретико-множественному уровню формального описания систем.

Так если связи между элементами рассматриваемых множеств устанавливается с помощью некоторых однозначных функций, отображающих элементы множества в само исходное множество, то приходим к абстрактно-алгебраическому уровню описания систем. В таких случаях говорят, что между элементами множеств установлены нульарные (никакие, отсутствующие), унарные, бинарные (двойные, двойственные), тернарные и т.д. отношения. Если же на элементах рассматриваемых множеств определены некоторые топологические структуры, то в этом случае мы приходим к топологическому уровню абстрактного описания систем. При этом может быть использован язык общей топологии или её ветвей, именуемых гомологической топологией, алгебраической топологией и т.д.