Кинетическая энергия и работа при вращательном движении

Рассмотрим вначале твердое тело, вращающееся вокруг неподвижной оси OZ с угловой скоростью ω (рис.5.6). Разобьем тело на элементарные массы . Линейная скорость элементарной массы равна , где - ее расстояние от оси вращения. Кинетическая энергия i -той элементарной массы будет равна

.

Кинетическая энергия всего тела слагается из кинетических энергий его частей, поэтому

.

Учитывая то, что сумма в правой части этого соотношения представляет момент инерции тела относительно оси вращения, получим окончательно

. (5.30)

Формулы кинетической энергии вращающегося тела (5.30) подобны соответствующим формулам для кинетической энергии поступательного движения тела. Они получаются из последних формальной заменой .

В общем случае движение твердого тела можно представить в виде суммы движений – поступательного со скоростью, равной скорости центра масс тела, и вращения с угловой скоростью вокруг мгновенной оси, проходящей через центр масс. В этом случае выражение для кинетической энергии тела принимает вид

.

Найдем теперь работу, совершаемую моментом внешних сил, при вращении твердого тела. Элементарная работа внешних сил за время dt будет равна изменению кинетической энергии тела

.

Взяв дифференциал от кинетической энергии вращательного движения, найдем ее приращение

.

В соответствии с основным уравнением динамики для вращательного движения

.

С учетом данных соотношений, приведем выражение элементарной работы к виду

, (5.31)

где - проекция результирующего момента внешних сил на направление оси вращения OZ, - угол поворота тела за рассматриваемый промежуток времени.

Интегрируя (5.31), получим формулу для работы внешних сил, действующих на вращающееся тело

. (5.32)

В случае, если , то формула упрощается

. (5.33)

Таким образом, работа внешних сил при вращении твердого тела относительно неподвижной оси определяется действием проекции момента этих сил на данную ось.

Гироскоп

Гироскопом называется быстро вращающееся симметричное тело, ось вращения которого может изменять свое направление в пространстве. Чтобы ось гироскопа могла свободно поворачиваться в пространстве, гироскоп помещают в так называемом кардановом подвесе (рис.5.13). Маховик гироскопа вращается во внутренней кольцевой обойме вокруг оси С₁С₂, проходящей через его центр тяжести. Внутренняя обойма в свою очередь может вращаться во внешней обойме вокруг оси В₁В₂, перпендикулярной к С₁С₂. Наконец, наружная обойма может свободно вращаться в подшипниках стойки вокруг оси А₁А₂, перпендикулярной к осям С₁С₂ и В₁В₂. Все три оси пересекаются в некоторой неподвижной точке О, называемой центром подвеса или точкой опоры гироскопа. Гироскоп в кардановом подвесе имеет три степени свободы и, следовательно, может совершать любые повороты вокруг центра подвеса. Если центр подвеса гироскопа совпадает с его центром тяжести, то результирующий момент сил тяжести всех частей гироскопа относительно центра подвеса равен нулю. Такой гироскоп называют уравновешенным.

Рассмотрим теперь наиболее важные свойства гироскопа, которые и нашли ему широкое применение в различных областях.

 

 

1) Устойчивость.

При любых поворотах стойки уравновешенного гироскопа его ось вращения сохраняет неизменное направление по отношению к лабораторной системе отсчета. Это связано с тем, что момент всех внешних сил, равный моменту сил трения, очень мал и практически не вызывает изменения момента импульса гироскопа, т.е.

и

Поскольку момент импульса направлен вдоль оси вращения гироскопа, то ее ориентация должна сохраняться неизменной.

Если внешняя сила действует в течение короткого времени, то интеграл, определяющий приращение момента импульса, будет мал

. (5.34)

Значит, при кратковременных воздействиях даже больших сил движение уравновешенного гироскопа изменяется мало. Гироскоп как бы сопротивляется всяким попыткам изменить величину и направление его момента импульса. С этим и связана замечательная устойчивость, которую приобретает движение гироскопа после приведения его в быстрое вращение. Это свойство гироскопа широко используется для автоматического управления движением самолетов, судов, ракет и прочих аппаратов.

Если же действовать на гироскоп длительное время постоянным по направлению моментом внешних сил, то ось гироскопа устанавливается, в конце концов, по направлению момента внешних сил. Данное явление используется в гирокомпасе. Этот прибор представляет собой гироскоп, ось которого может свободно поворачиваться в горизонтальной плоскости. Вследствие суточного вращения Земли и действия момента центробежных сил ось гироскопа поворачивается так, чтобы угол между и стал минимальным (рис.5.14). Это соответствует положению оси гироскопа в плоскости меридиана.

2). Гироскопический эффект.

Если к вращающемуся гироскопу приложить пару сил и , стремящуюся повернуть его около оси, перпендикулярной оси вращения, то он станет поворачиваться вокруг третьей оси, перпендикулярной к первым двум (рис.5.15). Такое необычное поведение гироскопа получило название гироскопического эффекта. Оно объясняется тем, что момент пары сил направлен вдоль оси О₁О₁ и изменение за время вектора на величину будет иметь тоже направление. В результате новый вектор повернется относительно оси О₂О₂. Таким образом, противоестественное на первый взгляд поведение гироскопа полностью соответствует законам динамики вращательного движения

3). Прецессия гироскопа.

Прецессией гироскопа называется конусообразное движение его оси. Оно происходит в том случае, когда момент внешних сил, оставаясь постоянным по величине, поворачивается одновременно с осью гироскопа, образуя с ней всё время прямой угол. Для демонстрации прецессии может служить велосипедное колесо с наращенной осью, приведенное в быстрое вращение (рис.5.16).

Если колесо подвесить за наращенный конец оси, то его ось начнет прецессировать вокруг вертикальной оси под действием собственного веса. Демонстрацией прецессии может служить и быстро вращающийся волчок.

Выясним причины прецессии гироскопа. Рассмотрим неуравновешенный гироскоп, ось которого может свободно поворачиваться вокруг некоторой точки О (рис.5.16). Момент сил тяжести, приложенный к гироскопу, равен по величине

,

где - масса гироскопа, - расстояние от точки О до цента масс гироскопа, - угол, образованный осью гироскопа с вертикалью. Вектор направлен перпендикулярно к вертикальной плоскости, проходящей через ось гироскопа.

Под действием этого момента момент импульса гироскопа (его начало помещено в точку О) получит за время приращение , а вертикальная плоскость, проходящая через ось гироскопа, повернется на угол . Вектор все время перпендикулярен к , следовательно, не изменяясь по величине, вектор изменяется только по направлению. При этом спустя время взаимное расположение векторов и будет таким же, как и в начальный момент. В итоге ось гироскопа будет непрерывно поворачиваться вокруг вертикали, описывая конус. Такое движение называется прецессией.

Определим угловую скорость прецессии. Согласно рис.5.16 угол поворота плоскости, проходящей через ось конуса и ось гироскопа, равен

,

где - момент импульса гироскопа, а - его приращение за время .

Разделив на , с учетом отмеченных соотношений и преобразований, получим угловую скорость прецессии

. (5.35)

Для гироскопов, применяющихся в технике, угловая скорость прецессии бывает в миллионы раз меньше скорости вращения гироскопа .

В заключении отметим, что явление прецессии наблюдается и у атомов вследствие орбитального движения электронов.

 

Примеры применения законов динамики

При вращательном движении

1. Рассмотрим некоторые примеры на закон сохранения момента импульса, которые можно осуществить с помощью скамьи Жуковского. В простейшем случае скамья Жуковского представляет собой платформу в форме диска (кресло), который может свободно вращаться вокруг вертикальной оси на шариковых подшипниках (рис.5.17). Демонстратор садится или становится на скамью, после чего ее приводят во вращательное движение. Вследствие того, что силы трения благодаря применению подшипников очень малы, момент импульса системы, состоящей из скамьи и демонстратора, относительно оси вращения не может меняться во времени, если система предоставлена самой себе. Если демонстратор держит в руках тяжелые гантели и разводит руки в стороны, то он увеличит момент инерции системы, а потому должна уменьшится угловая скорость вращения, чтобы остался неизменным момент импульса.

По закону сохранения момента импульса составим уравнение для данного случая

,

где - момент инерции человека и скамьи, и - момент инерции гантелей в первом и втором положениях, и - угловые скорости системы.

Угловая скорость вращения системы при разведении гантелей в сторону будет равна

.

Работу, совершенную человеком при перемещении гантелей, можно определить через изменение кинетической энергии системы

.

 

2. Приведем еще один опыт со скамьей Жуковского. Демонстратор садится или становится на скамью и ему передают быстро вращающееся колесо с вертикально направленной осью (рис.5.18). Затем демонстратор поворачивает колесо на 180⁰. При этом изменение момента импульса колеса целиком передается скамье и демонстратору. В результате скамья вместе с демонстратором приходит во вращение с угловой скоростью, определяемой на основании закона сохранения момента импульса.

Момент импульса системы в начальном состоянии определяется только моментом импульса колеса и равен

,

где - момент инерции колеса, - угловая скорость его вращения.

После поворота колеса на угол 180⁰ момент импульса системы будет уже определяться суммой момента импульса скамьи с человеком и момента импульса колеса. С учетом того, что вектор момента импульса колеса изменил свое направление на противоположное, а его проекция на вертикальную ось стала отрицательной, получим

,

где - момент инерции системы «человек-платформа», - угловая скорость вращения скамьи с человеком.

По закону сохранения момента импульса

и .

В итоге, находим скорость вращения скамьи

.

3. Тонкий стержень массой m и длиной l вращается с угловой скоростью ω=10 с^-1 в горизонтальной плоскости вокруг вертикальной оси, проходящей через середину стержня. Продолжая вращаться в той же плоскости, стержень перемещается так, что ось вращения теперь проходит через конец стержня. Найти угловую скорость во втором случае.

Решение

В данной задаче за счет того, что распределение массы стержня относительно оси вращения изменяется, момент инерции стержня также изменяется. В соответствии с законом сохранения момента импульса изолированной системы, имеем

.

Здесь - момент инерции стержня относительно оси, проходящей через середину стержня; - момент инерции стержня относительно оси, проходящей через его конец и найденный по теореме Штейнера.

Подставляя данные выражения в закон сохранения момента импульса, получим

,

откуда

.

4. Стержень длиной L =1,5 м и массой m₁ =10 кг подвешен шарнирно за верхний конец. В середину стержня ударяет пуля массой m₂ =10 г, летящая горизонтально со скоростью =500 м/с, и застревает в стержне. На какой угол отклонится стержень после удара?

Решение

Представим на рис. 5.19. систему взаимодействующих тел «стержень-пуля». Моменты внешних сил (сила тяжести, реакция оси) в момент удара равны нулю, поэтому можем воспользоваться законом сохранения момента импульса

.

Момент импульса системы до удара равен моменту импульса пули относительно точки подвеса

.

Момент импульса системы после неупругого удара определится по формуле

,

где - момент инерции стержня относительно точки подвеса, - момент инерции пули, - угловая скорость стержня с пулей непосредственно после удара.

Решая после подстановки полученное уравнение, найдем

.

Воспользуемся теперь законом сохранения механической энергии. Приравняем кинетическую энергию стержня после попадания в него пули его потенциальной энергии в наивысшей точке подъема:

,

где - высота поднятия центра масс данной системы.

Проведя необходимые преобразования, получим

Угол отклонения стержня связан с величиной соотношением

.

Проведя вычисления, получим =0,1p=18⁰.

 

5. Определить ускорения тел и натяжения нити на машине Атвуда, предполагая, что (рис.5.20). Момент инерции блока относительно оси вращения равен I, радиус блока r. Массой нити пренебречь.

 

Решение

Расставим все силы, действующие на грузы и блок, и составим для них уравнения динамики

Если нет проскальзывания нити по блоку, то линейное и угловое ускорение связаны между собой соотношением

Решая эти уравнения, получим

После чего находим T₁ и T₂.

 

6. К шкиву креста Обербека (рис.5.21) прикреплена нить, к которой подвешен груз массой M = 0,5 кг. Определить за какое время груз опускается с высоты h =1 м до нижнего положения. Радиус шкива r =3 см. На кресте укреплены четыре груза массой m =250 г каждый на расстоянии R = 30 см от его оси. Моментом инерции самого креста и шкива пренебречь по сравнению с моментом инерции грузов.

 

Решение

Составим уравнения динамики для данной системы:

Угловое ускорение шкива связано с ускорением груза соотношением , а момент инерции грузов креста Обербека равен .

Подставляя данные выражения и решая систему уравнений относительно ускорения, получим

Время опускания груза определяется из уравнения пути равноускоренного движения

.

Вычисления дают t=4,47с.

7. Для демонстрации законов сохранения применяется маятник Максвелла, представляющий собой массивный диск радиусом R и массой m, туго насаженный на ось радиусом r, которая подвешивается на двух предварительно намотанных на нее нитях (рис.5.22). Когда маятник отпускают, то он совершает возвратно-поступательное движение в вертикальной плоскости при одновременном вращении диска вокруг оси. Не учитывая силы сопротивления и момент инерции оси, определить ускорение поступательного движения маятника и силу натяжения нити.

Решение

Уравнения динамики для поступательного и вращательного движения маятника Максвелла имеют вид

В данной системе уравнений Т – сила натяжения одной нити, - момент инерции диска, а - угловое ускорение.

Решая уравнения, найдем: .

Натяжение нити определим из первого уравнения

.

8. Сплошной однородный диск радиуса R, вращающийся с угловой скоростью , кладут основанием на горизонтальную поверхность. Сколько оборотов сделает диск до остановки, если коэффициент трения между основанием диска и горизонтальной поверхностью равен μ.

Решение

Сила трения приложена к каждому участку диска, и так как эти участки находятся на различных расстояниях от оси, то и моменты сил трения, приложенные к этим участкам, различны. Для нахождения результирующего момента применим метод дифференцирования. Разделим диск на узкие кольца. Одно такое кольцо радиусом r и шириной dr заштриховано на рис.5.23. Площадь такого кольца

,

а сила трения, действующая на выделенное кольцо,

,

где h – толщина диска, ρ – плотность материала диска.

Момент этой силы трения равен

.

Интегрируя по r от нуля до R, получаем суммарный момент сил трения

.

Работа, совершенная силами трения, определится по формуле

,

где - угол поворота диска, а N – число оборотов диска до полной остановки.

С другой стороны, работа сил трения равна убыли кинетической энергии диска, т.е.

,

где - момент инерции диска.

Приравнивая полученные выражения для работы, после преобразования найдем

.

Основные положения

 

1. Момент силы относительно неподвижной точки – вектор, равный векторному произведению радиус-вектора, проведенного из точки О в точку приложения силы, на силу

.

Момент силы относительно неподвижной оси – скалярная величина, равная проекции на эту ось вектора момента силы:

.

Значение не зависит от выбора точки О на оси Z.

2. Момент импульса материальной точки относительно неподвижной точки О – векторная величина, определяемая векторным произведением радиус-вектора материальной точки, проведенной из точки О, на импульс этой материальной точки

.

Момент импульса материальной точки, движущейся по окружности

.

3. Момент инерции тела относительно неподвижной оси – сумма произведений элементарных масс на квадраты их расстояний до оси:

, .