Геометрия эвольвентного зацепления

 

Профили зубьев должны соответствовать основному закону зацепления, который предписывает, чтобы общая нормаль к профилям, проведенная в точке их касания, делила межосевое расстояние на части, обратно пропорциональные угловым скоростям колес. Кроме того, к профилям предъявляется и ряд технологических и эксплуатационных требований:

¾ построение профилей простыми геометрическими методами;

¾ при передаче одинаковой мощности давление на зубья должно быть постоянным по величине и направлению;

¾ простота обработки рабочих поверхностей зубьев;

¾ минимальный износ зубьев;

¾ обеспечение возможности замены одного из колес при их износе и др.

Большинству перечисленных требований удовлетворяет профиль, очерченный эвольвентой. В общем случае известно бесконечное множество эвольвент. Для профиля зубьев зубчатых колес используется эвольвента окружности.

Эвольвентой окружности называют плоскую кривую, которая описывается любой точкой прямой, перекатываемой по окружности без скольжения. Окружность, по которой перекатывается прямая, называется основной, прямая – производящей прямой. Способ построения эвольвенты вытекает из ее определения.

Пусть заданы радиус основной окружности и некоторая точка , расположенная за пределами основной окружности. Требуется построить эвольвенту, проходящую через точку .

а

б

Рис 2.2. Построение эвольвенты.

 

Проведем касательную к окружности, проходящую через точку (см. рис. 2.2, а). Разделим отрезок на несколько равных частей. Далее от точки раствором циркуля, равным отрезку , сделаем четыре засечки на основной окружности. Через полученные точки 0, 1, 2, 3 также проведем касательные. Затем на каждой из касательных откладываем от точек 1, 2, 3 столько отрезков , сколько обозначает цифра, которой пронумерована соответствующая точка на окружности. Полученные на касательных точки 0, 1¢, 2¢ и. т. д. соединим плавной кривой, которая и будет эвольвентой.

Положение какой-либо точки эвольвенты (см. рис. 2.2, б) в полярной системе координат задается углом q, отсчитываемый от начального радиус вектора и радиус-вектора .

(2.8)

Так как производящая прямая перекатывается по основной окружности без скольжения, то отрезок прямой равен дуге или

(2.9)

,

В формулах (2.9) и (2.10) q - эвольвентный угол, а – угол давления, а + q - угол развертки эвольвенты.

Функция (2.10) называется инволютой. Для функций такого типа составлены таблицы, аналогичные таблицам тригонометрических функций.

Из прямоугольного треугольника ОАМ находим

(2.10)

Уравнения (2.10) и (2.11) являются параметрическими уравнениями эвольвенты в полярных координатах. Из способа образования эвольвенты следует:

¾ эта кривая не может существовать внутри основной окружности;

¾ она имеет два семейства: левое и правое;

¾ одноименные эвольвенты (правые и левые) эквидистанты, т. е. расстояние между ними, измеренное по общей нормали, одинаково и равно выпрямленным дугам между началами эвольвент.

(2.11)

Из прямоугольного треугольника ОАМ также видно, что отрезок нормали АМ является радиусом кривизны эвольвенты:

Из этой формулы следует, что с увеличением угла а, т. е. с удалением от начала эвольвенты, радиус растет, а кривизна уменьшается, поэтому эвольвента становится менее выпуклой. Из той же формулы видно, что кривизна эвольвенты уменьшается и при увеличении радиуса основной окружности, а при эвольвента превращается в прямую линию.