Задача Баклея - Леверетта и ее обобщения

 

В случае одномерного течения несжимаемых несмешивающихся жидкостей в условиях, когда можно пренебречь капиллярным давлением процесс вытеснения допускает простое математическое описание.

Для обоих случаев одномерного потока (прямолинейно-параллельного и плоскорадиального) это приводит к классической в теории вытеснения модели Баклея - Леверетта.

Рис. 5.8. Вид функции Баклея–Леверетта и её производной

В рассматриваемом случае важное значение имеет так называемая функция Баклея - Леверетта или функция распределения потоков фаз f( s ), которая имеет простой физический смысл. Действительно, данная функция представляет собой отношение скорости фильтрации вытесняющей фазы к суммарной скорости, и равна объемной доле потока вытесняющей жидкости (воды) в суммарном потоке двух фаз. Таким образом, функция Баклея – Лаверетта определяет полноту вытеснения и характер распределения нефтегазоконденсатонасыщенности по пласту. Задачи повышения нефте- и газоконденсатоотдачи в значительной степени сводятся к применению таких воздействий на пласт, которые в конечном счете изменяют вид функции f( s ) в направлении увеличения полноты вытеснения.

Рис. 5.9. Графики функции Баклея–Леверетта (а) и её производной (b) для различных отношений вязкости m 0

Вид кривых функции f( s ) и ее производной f^/( s ) показан на рис.5.8. С ростом насыщенности f( s ) монотонно возрастает от 0 до 1. Характерной особенностью графика f( s ) является наличие точки перегиба s _п, участков вогнутости и выпуклости, где вторая производная f^//( s ), соответственно, больше и меньше нуля. Эта особенность в большой степени определяет специфику фильтрационных задач вытеснения в рамках модели Баклея – Леверетта.

Зависимость функций f( s ) и f^/( s ) от отношения вязкостей фаз m₀=m₁/ m₂ показана рис. 5.9. Из данного рисунка следует, что с ростом отношения вязкостей кривая f( s ) сдвигается вправо и эффективность вытеснения возрастает. Например, применение пен и загустителей, повышающих вязкость нагнетаемой воды, может значительно увеличить нефтеотдачу.

Рис. 5.10. Устранение многозначности распределения насыщенности введением скачка

Физической особенностью модели двухфазного вытеснения Баклея – Леверетта является зависимость скорости распространения насыщенности от её величины. Это явление называется дисперсией волн. При 0 £ s £s_п большие насыщенности распространяются с большими скоростями, а при s_п< s £1 скорость распространения постоянного значения насыщенности начинает уменьшаться. Последнее приводит к тому, что, начиная с некоторого момента времени, распределение насыщенности оказывается многозначным (рис.5.10, кривая 1–2–3–4–5). В области данного участка одному и тому же значению х соответствуют три значения насыщенности s: s₁, s₂ и s₃, что физически невозможно, так как в каждом сечении пласта в любой момент времени может существовать только одна насыщенность. Данная неоднозначность устраняется введением скачка насыщенности (рис.5.11, отрезок 1–3–5). Скорость распространения скачка при этом равна скорости распространения насыщенности. Необходимо отметить, что в действительности математический скачок насыщенности не имеет места. Он появляется в решении вследствие пренебрежения капиллярными силами, за счет которых появляется некоторая “переходная зона” вблизи фронта вытеснения, в которой насыщенность изменяется непрерывно.

В общем случае неодномерного вытеснения, а также при учете сжимаемости одной из фаз рассмотренная задача уже не сводится к одному уравнению для насыщенности. Необходимо совместно определять давление и насыщенность. Численные решения таких задач могут быть получены лишь на ЭВМ.

 

Задача Рапопорта – Лиса

Учет капиллярного скачка давления р_к, который задается в виде известной эмпирической функции насыщенностей, приводит к теории следующего приближения – модели Рапопорта – Лиса. При этом пренебрегаем силой тяжести.

Действие капиллярных сил проявляется в основном вблизи фронта вытеснения, где градиенты насыщенности велики. Эти силы приводят к “размазыванию” фронта, поэтому при учете капиллярных сил скачок насыщенности отсутствует и насыщенность изменяется непрерывно.

Рис. 5.11. Распределение насыщенности в стабилизированной зоне

Тем не менее, экспериментально было обнаружено существование так называемой стабилизированной зоны насыщенности, которая перемещается, не изменяя своей формы, и распределение насыщенности в ней при постоянной скорости вытеснения – стационарно. В теории Баклея – Лаверетта (при пренебрежении капиллярными силами) стабилизированная зона моделируется скачком. Модель Рапопорта – Лиса позволяет определить ширину данной зоны l (рис. 5.11) и распределение насыщенностей по ней.