Выбор мер центральной тенденции

 

Выбор меры центральной тенденции требует некоторых размышлений:

1. Мода наиболее просто вычисляется. Для очень больших групп данных это до­статочно стабильная мера центра распределения. Во многих распределениях значительного числа измерений, используемых в педагогике и психологии, мода близка к двум другим мерам – медиане и среднему.

В малых группах мода может быть совершенно нестабиль­ной. Мода группы (1, 1, 1, 3, 5, 7, 7, 8) равна 1; но если одна из единиц превратится в нуль, а другая – в два, то мода станет равной 7.

2. Медиана занимает промежуточное положение между модой и средним с точки зрения ее вычисления, если последнее осуще­ствляется вручную.

На медиану не влияют величины «больших» и «малых» значений. Например, в группе из 50 данных медиана не изме­нится, если наибольшее значение утроится.

3. На величину среднего влияют значения всех результатов, медиана и мода не требуют для определения всех значений.

Если одно какое-нибудь значение меняется на с единиц, изменится в том же направлении на с/п единиц.

На величину среднего особенно влияют результаты, кото­рые можно назвать «выбросами», то есть данные, находящиеся далеко от центра группы оценок.

4. Некоторые множества данных просто «не имеют централь­ной тенденции», что часто вводит в заблуждение при вычислении только одной меры центральной тенденции. Особенно это спра­ведливо для групп, имеющих более чем одну моду.

5. Центральная тенденция групп данных, содержащих край­ние значения, возможно, наилучшим образом измеряется ме­дианой, когда гистограмма унимодальна. Одно крайнее значение может сместить среднее группы гораздо дальше того места, кото­рое вообще стоит рассматривать как центральную область.

На­пример, если 9 человек имеют доходы от 4500 до 5200 тенге со средним 4900 тенге, а доход десятого составляет 20000 тенге, то средний доход для 10 лиц будет 6410 тенге. Эта цифра не позволяет судить обо всей группе, хотя она выглядела внушительно для руководителя маленькой фирмы (чье жалованье составляет 20000 тенге), который хочет охарактеризовать среднюю зарплату по платежной ведомости. В этом примере в качестве меры центральной тенденции следовало бы избрать медиану. Демографы, экономисты и журналисты часто выбирают для отчетов «доход по медиане», поскольку стремятся избежать только что описанной ситуации.

6. В унимодальных выборках, которые симметричны, среднее, медиана и мода совпадают. На рисунке 3.2 полигон частот показывает, что среднее, медиана и мода равны 50.

 

Рис.3.2. Симметричная унимодальная группа данных

 

Отсутствие полной симметрии в полигоне частот или гистограмме обычно оказывает определенное влияние на соотношение между средним, медианой и модой. Предположим, что преобладающее большинство данных некоторой группы расположено выше вершины полигона частот, как, например, на рисунке 3.3:

 

Mo Md

Рис.3.3. Несимметричный полигон частот

 

На рисунке 3.3 мода (Мо) равна 100, медиана (Md) составляет 105, а среднее = 107,2. Если большинство оценок окажется ниже вершины полигона частот, то среднее станет минималь­ным, медиана больше, а мода максимальной.

Замечание

Существует много других способов определения «центрального значения» в группе данных, например среднее геометрическое и среднее гармоническое.

Среднее геометрическое находится по формуле:

.

Среднее гармоническое используется иногда для усреднения группы отношений:

.

Среднее геометрическое и среднее гармоническое редко встречаются в литературе по педагогике и психологии.

 

? ВОПРОСЫ И УПРАЖНЕНИЯ

1. Дайте определение моде, медиане и среднему значению.

2. Найдите среднее, медиану и моду следующих множеств:

§ 2, 7, 4, 5, 2;

§ 3, 1, 0, 7, 2, 6, 2, 6;

§ 1, 7, 3, 8, 3, 3, 9, 11, 9, 12, 9, 12, 13

§ 22, 15, 16, 21, 24, 24, 27, 28, 30, 30, 31, 31, 31, 34, 36.

3. Пусть к каждому из 15 значений последнего множества из упражнения 2 прибавлено 4. Чему будут равны среднее и медиана этих увеличенных значений?

4. В классе А – 10 учащихся, среднее и медиана результатов контрольной работы равны соответственно 4,2 и 4. В классе Б – 20 учащихся, среднее и медиана результатов контрольной работы которых равны 4,3 и 4,5 соответственно. Чему равны среднее и медиана 30 значений, полученных в результате объединения оценок в классах А и Б?

5. На какую меру центральной тенденции влияют значения всех результатов?

ТЕМА 4

 

МЕРЫ ИЗМЕНЧИВОСТИ

 

Меры центральной тенденции говорят о концентрации груп­пы значений на числовой шкале. Каждая мера дает такое значе­ние, которое «представляет» в каком-то смысле все оценки группы. В этом случае пренебрегают различиями, существую­щими между отдельными значениями. Для измерения вариации оценок внутри группы требуются другие описательные статистики.

Всякая научная деятельность связана с понятием изменчиво­сти. Когда есть много необъяснимых причин вариабельности, прогнозы не будут очень точными. Зато, когда объяснения причин различий людей и вещей представлены в виде не­которой модели, неопределенность можно уменьшить, а часть вариации устранить.

Например, если бы было совсем неизвестно, почему люди различаются между собой по умственному разви­тию, то попытка прогнозировать интеллект наталкивалась бы на большую неопределенность; некоторые люди выглядели бы «смышлеными», а другие – «глупыми», и никто не знал бы, почему. Однако если известно, что наследственность и окружаю­щая среда оказывают количественное влияние на IQ, то инфор­мация о происхождении ребенка и его воспитании в раннем детстве позволила бы дать более точный прогноз его умствен­ного развития в зрелости. Другими словами, вариабельность IQ у лиц со сходной наследственностью и окружающей средой меньше, чем у людей вообще.

 

РАЗМАХ

 

Размах (иногда эту величину называют разбросом выборки) измеряет на числовой шкале расстояние, в пределах которого изменяются оценки, и обозначается буквой R. Это самый простой показатель, который можно получить для выборки, – разность между максимальным и минимальным значениями вариационного ряда, т.е.

(4.1)

Понятно, что чем сильнее варьирует измеряемый признак, тем больше величина R, и наоборот.

Однако может случиться так, что у двух выборочных рядов и средние, и размах совпадают, однако характер варьирования этих рядов будет различный. Для того чтобы более четко представлять характер варьирования выборок, следует обратиться к их распределениям.