Метод Дюамеля щодо розв’язку неоднорідних крайових задач математичної фізики

Для розв’язку неоднорідної крайової задачі з неоднорідним рівнянням (будь — якого типу) та однорідними граничними й початковими умовами, окрім наведеного методу представлення розв’язку у вигляді ряду за власними функціями, застосовують також метод Дюамеля, який дозволяє звести неоднорідну крайову задачу до відповідної однорідної.

Теорема. Якщо функція є розв’язком однорідної крайової задачі

 

то функція

 

 

є розв’язком такої неоднорідної крайової задачі:

 

 

G 3.5 Приклад розв’язку індивідуального завдання 5

Застосовуючи метод Дюамеля, у півсмузі , розв’язати крайову задачу з неоднорідним хвильовим рівнянням та однорідними граничними та початковими умовами:

 

; (3.5.1)

 

; (3.5.2)

 

; (3.5.3)

 

де

 

Розв’язок. Відповідна однорідна крайова задача має вигляд:

 

; (3.5.4)

 

; (3.5.5)

 

, (3.5.6)

 

де ,

Задачу (3.5.4) — (3.5.6) розв’язуємо методом Фур’є. Її розв’язок шукаємо у вигляді

 

. (3.5.7)

 

Згідно з (3.5.4), (3.5.5) та (3.5.7), маємо

 

, (3.5.8)

 

(3.5.9)

 

Розв’язком наведеної задачі Штурма- Ліувіля (3.5.9) є власні числа

 

та власні функції

.

 

Інтегруючи рівняння (3.5.8) та враховуючи знайдені значення , отримуємо

 

,

 

де , — невідомі сталі інтегрування.

Згідно з принципом суперпозиції частинних розв’язків, функція

 

(3.5.10)

 

також задовольняє (3.5.4) та (3.5.5). Знаходимо невідомі , згідно з початковими умовами (3.5.6).

 

.

Тоді згідно з (3.5.10), отримуємо остаточний розв’язок допоміжної задачі (3.5.4) – (3.5.6):

 

(3.5.11)

 

Згідно з методом Дюамеля, розв’язок вихідної задачі (3.5.1) — (3.5.3) визначається за формулою

,

тобто

, (3.5.12)

де

. (3.5.13)

 

Підставимо (3.5.13) у (3.5.12), отримуємо остаточний розв’язок вихідної задачі

де .

 

 

? 3.6 Варіанти індивідуального завдання 5

Застосовуючи метод Дюамеля, у півсмузі , розв’язати крайову задачу

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Перетворення неоднорідних граничних

Умов на однорідні

У випадку якщо крайова задача містить неоднорідні граничні умови, то для її розв'язку необхідно перетворити неоднорідні граничні умови на однорідні. Для цього розв’язок крайової задачі шукаємо у вигляді суми:

 

, (3.7.1)

 

де одна з функцій, наприклад, задовольняє задані умови (2.3.2) (із точністю до заміни в них на ).

Розглянемо деякі окремі випадки граничних умов (2.3.2) і визначимо для них аналітичний вигляд функції .

Випадок 1

Нехай на кінцях стрижня задані теплові потоки

 

, (3.7.2)

 

де , — відомі функції часу.

Тобто функція має задовольняти умови

 

. (3.7.3)

 

Припустимо:

 

, (3.7.4)

 

тоді

.

 

Невизначені константи визначаємо з умов (3.4.3)

 

 

Покладемо і підставимо отримані значення у вираз (3.7.4), одержуємо таким чином аналітичний вираз для функції , що задовольняє крайові умови (3.7.3):

 

(3.7.5)

 

Випадок 2

а) Якщо на лівому кінці стрижня заданий тепловий потік, а на правому — температура, то для функції повинні виконуватися умови:

 

(3.7.6)

 

Визначимо функцію у вигляді:

 

(3.7.7)

 

Визначаємо коефіцієнти , використовуючи умови (3.7.6):

 

 

Остаточно для функції одержуємо:

 

. (3.7.8)

 

б) Якщо на правому кінці стрижня заданий тепловий потік, на лівому — температура, то для функції маємо умови:

 

(3.7.9)

 

Аналогічним способом, відповідно до (3.7.7), (3.7.9), знаходимо:

 

. (3.7.10)

 

Випадок 3

Якщо на кінцях стрижня задана температура, то функція повинна задовольняти такі умови:

(3.7.11)

 

Представляючи функцію у вигляді (3.7.7), відповідно до (3.7.11) знаходимо:

 

(3.7.12)