Та однорідними крайовими умовами

Сформулюємо математичну постановку задачі. Потрібно визначити функцію , , , що задовольняє неоднорідному рівнянню теплопровідності:

(3.1.1)

 

задовольняє початкову умову:

(3.1.2)

 

і однорідні граничні умови:

(3.1.3)

 

(або їхні окремі випадки: формули (2.4.4) — (2.4.6)).

Для розв’язку поставленої задачі застосовується метод представлення розв’язку у вигляді ряду за власними функціями відповідної однорідної крайової задачі. Його суть така.

Визначаємо власну функцію відповідної однорідної крайової задачі (див. п.2.4). У залежності від різновиду граничних умов вона має вигляд:

 

. (3.1.4)

 

Розв’язок вихідної неоднорідної крайової задачі (3.1.1) — (3.1.3) шукаємо у вигляді:

, (3.1.5)

 

де — функції, що необхідно визначити.

Представляємо функцію , що входить у диференціальне рівняння (3.1.1), у вигляді:

(3.1.6)

 

і знаходимо коефіцієнти цього розкладання:

 

(3.1.7)

де

Підставляємо розкладання (3.1.5), (3.1.6) у диференціальне рівняння (3.1.1):

 

,

 

(на підставі (3.1.4)), тому записуючи останній вираз під знаком однієї суми, виносячи загальний множник за дужки, одержуємо звичайне лінійне диференціальне рівняння першого порядку для визначення невідомих функцій :

 

. (3.1.8)

 

Розв’язавши рівняння (3.1.8) звичайними методами (методом варіації довільної сталої, або підстановкою Бернуллі, або методом невизначених коефіцієнтів у випадку спеціальної правої частини) знаходимо:

 

(3.1.9)

 

де — довільна постійна інтегрування.

Підставляючи вираз (3.1.9) у (3.1.5), одержуємо розв’язок, що задовольняє вихідному рівнянню (3.1.1) і задовольняє задані однорідним граничні умови

 

. (3.1.10)

 

Визначаємо сталі шляхом задоволення розв’язком (3.1.10) заданої початкової умови (3.1.2).

Підставивши знайдені значення в співвідношення (3.1.10), отримуємо остаточний розв’язок поставленої задачі (3.1.1) — (3.1.3).

 

G 3.2 Приклад розв’язку індивідуального завдання 4

Застосовуючи метод представлення розв’язку у вигляді ряду за власними функціями, у півсмузі , вирішити наступну крайову задачу:

 

; (3.2.1)

 

; (3.2.2)

 

. (3.2.3)

Розв’язок.

Оскільки рівняння (3.2.1) неоднорідне, а граничні умови (3.2.2) однорідні, використовуємо метод представлення розв’язку у вигляді:

 

, (3.2.4)

 

де — власна функція відповідної однорідної задачі:

 

 

рішення якої визначається методом Фур'є: (див. п.2.4), і для функції одержуємо таку наведену задачу Штурма-Ліувілля:

 

(3.2.5)

 

Розв’язком задачі (3.2.5) є функція:

 

. (3.2.6)

 

Розкладемо функцію , що входить у диференціальне рівняння (3.2.1), у ряд:

. (3.2.7)

 

Підставляючи в (3.2.7) аналітичні вирази для ,

 

,

отримуємо:

; (3.2.8)

 

Підставивши розклад (3.2.4), (3.2.7) у диференціальне рівняння (3.2.1) одержуємо, відповідно до (3.1.8), диференціальне рівняння для визначення функцій :

. (3.2.9)

 

Функції визначаються відповідно до (3.2.8), тому для одержуємо однорідне рівняння: , що має очевидний тривіальний розв’язок:

 

(3.2.10)

 

Для випадку одержуємо відповідно до (3.2.8), (3.2.9) диференціальне рівняння:

. (3.2.11)

 

Розв'язок рівняння (3.2.11) може бути поданий у вигляді:

 

, (3.2.12)

 

де — загальний розв’язок відповідного однорідного рівняння; — частинний розв’язок рівняння (3.2.12), обумовлений виглядом правої частини:

 

.

Отже, відповідно до (3.2.12), знаходимо

 

. (3.2.13)

Підставляючи отримані вирази для функцій , відповідно до (3.2.13), (3.2.10), у розкладання (3.2.4), отримуємо розв’язок задачі (3.2.1) — (3.2.3) у вигляді:

 

. (3.2.14)

 

Визначимо невизначену сталу , використовуючи початкову умову (3.2.3):

 

,

отже

.

 

Підставляючи знайдене значення у вираз (3.2.14) одержуємо остаточний розв’язок вихідної задачі (3.2.1)-(3.2.3):

 

.

 

 

? 3.3 Варіанти індивідуального завдання 4

Застосовуючи метод представлення розв’язку у вигляді ряду за власними функціями, у півсмузі , вирішити крайову задачу для рівняння теплопровідності:

1. .

 

2. .

 

 

3. .

 

4. .

5. .

 

6. .

 

 

7. .

 

8. .

 

 

9. .

 

10. .

 

 

11. .

 

12. .

 

 

13. .

 

14. .

 

 

15. .

 

16. .

 

17. .

 

18. .

 

 

19. .

 

20. .