Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Для рівнянь параболічного типу
Припустимо, що довжина стрижня дорівнює . Початок координат на осі виберемо на лівому кінці стрижня; тоді його торцеві перетини будуть і . Математична постановка однорідної крайової задачі така: необхідно визначити температуру , що задовольняє однорідному рівнянню
, (2.4.1) задовольняє початкову умову , (2.4.2)
та однорідні граничні умови
(2.4.3)
Окремими випадками крайової задачі (2.4.1)-(2.4.3) є задача про визначення функції з диференціального рівняння (2.4.1) за заданої початкової умови (2.4.2) й таких граничних умов: Задача А: теплоізоляція обох кінців стрижня
. (2.4.4)
Задача Б: сталість температури на кінцях стрижня
. (2.4.5)
Задача В: один із кінців стрижня (наприклад, лівий) теплоізольований, а інший підтримується при постійній температурі
. (2.4.6)
Для розв’язання поставленої однорідної крайової задачі (2.4.1)-(2.4.3) використовується метод поділу змінних — метод Фур'є. Цей метод складається з двох частин. Спочатку знайдемо частинні розв’язки рівняння (2.4.1), що мають вигляд:
. (2.4.7)
Підставляючи вираз (2.4.7) у диференціальне рівняння (2.4.1) і розділивши обидві частини рівності на множник , одержимо:
.
Ліва частина отриманого рівняння залежить від змінної , права — від , тому через незалежність змінних остання рівність можлива, якщо кожна з частин цього рівняння є константою. Позначимо цю константу «», тоді
або , (2.4.8)
. (2.4.9)
Загальний розв’язок рівняння (2.4.8) має вигляд:
.
Оскільки в жодному перетині стрижня (тобто ні при якому фіксованому ) температура не може безмежно зростати за абсолютною величиною, тому , отже:
. (2.4.10)
Рівняння (2.4.9) набуває вигляду: і має загальний розв’язок:
. (2.4.11)
Підставимо вираз (2.4.7) у граничні умови (2.4.3), отримуємо:
Функція (у протилежному випадку ), тому останні співвідношення можливі у випадку:
(2.4.12)
Підставляючи в співвідношення (2.4.12) вирази для функції згідно з (2.4.11), отримуємо в загальному випадку крайових умов (2.4.3) трансцендентне рівняння для визначення :
, (2.4.13) причому . (2.4.14)
Розглянемо окремі випадки рівняння (2.4.13). У задачах А, Б, вважаючи відповідно ; , рівняння (2.4.13) набуває того самого вигляду: , тоді
(2.4.15)
У задачі В, припускаючи у формулі (2.4.13) , одержуємо тригонометричне рівняння для визначення : , отже:
(2.4.16)
Таким чином, може набувати значення з нескінченої послідовності , отриманих у загальному випадку однорідних крайових умов (2.4.3) із рівняння (2.4.13) або в окремих випадках задач А—В зі співвідношень (2.4.15), (2.4.16). Знайдені значення називаються власними числами задачі. Кожному з власних чисел будуть відповідати свої коефіцієнти , у формулі (2.4.11). Таким чином, відповідно до співвідношень (2.4.7), (2.4.10), (2.4.11), розв'язки рівняння (2.4.11), що задовольняють крайові умови (2.4.3), повинні мати вигляд:
, (2.4.17)
де пов'язані співвідношенням (2.4.14); ; ; визначено відповідно до (2.4.13). У задачі А визначено формулою (2.4.15). Використовуючи крайові умови (2.4.4) з урахуванням (2.4.17) знаходимо: . Таким чином, розв’язок задачі А, що задовольняє диференціальному рівнянню (2.4.1) і крайовим умовам (2.4.4) набуває вигляду:
. (2.4.18)
У задачі Б . Підставивши (2.4.17) до граничних умов (2.4.5) визначаємо: . Розв’язок набуває вигляду:
. (2.4.19)
У задачі В, використовуючи граничні умови (2.4.6), з урахуванням розв’язку (2.4.17) і знайдених значень із (2.4.16), отримуємо розв’язок у такому вигляді:
. (2.4.20)
У другій частині методу Фур'є за допомогою частинних розв’язків виду (2.4.17) або (2.4.18)-(2.4.20) побудуємо розв’язок, що задовольняє початкову умову (2.4.2). У силу лінійності й однорідності рівняння (2.4.1) сума розв’язків також буде його розв’язком, і, крім того, задовольнятиме задані крайові умови. Таким чином, розв’язок задачі (2.4.1) — (2.4.3) може бути поданий у вигляді:
. (2.4.21)
Відповідно до початкової умови (2.4.2):
, . (2.4.22)
Система функцій , є ортогональною на інтервалі . Згідно з (2.4.22) — коефіцієнти розкладання функції за ортогональною системою функцій :
(2.4.23) де . Підставляючи знайдені значення згідно з (2.4.23) у формулу (2.4.21), одержуємо остаточний розв’язок крайової задачі (2.4.1)-(2.4.3).
Задача А. Розв’язок згідно (2.4.18) має вигляд:
. (2.4.24)
Згідно з початковою умовою (2.4.2):
знаходимо значення — коефіцієнтів розкладу функції на інтервалі у неповний ряд Фур'є — ряд косинусів:
.
Підставляючи цей вираз у формулу (2.4.24), одержуємо остаточний розв’язок крайової задачі (2.4.1), (2.4.2), (2.4.4).
Задача Б. Тут розв’язок згідно з (2.4.19) має вигляд:
. (2.4.25)
Початкова умова:
дозволяє визначити значення — коефіцієнти розкладання функції в ряд Фур'є за синусами:
і підставивши цей вираз у формулу (2.4.25), отримуємо остаточний розв’язок крайової задачі (2.4.1), (2.4.2), (2.4.5).
Задача В. Розв’язок згідно з (2.4.20) має вигляд:
, (2.4.26)
і початкова умова записується так:
, . (2.4.27)
Легко перевірити, що система функцій ортогональна на інтервалі . Причому , тому коефіцієнти — коефіцієнти розкладання функції за ортогональною системою функцій визначаються згідно зі співвідношенням:
(2.4.28)
Підставляючи вираз (2.4.28) у формулу (2.4.26), одержуємо остаточний розв’язок крайової задачі (2.4.1), (2.4.2), (2.4.6).
|
||||||
Последнее изменение этой страницы: 2016-12-30; просмотров: 234; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 52.14.221.113 (0.022 с.) |