G 3.10 Приклад розв’язку індивідуального завдання 6

У півсмузі , розв’язати задачу:

 

; (3.10.1)

 

; (3.10.2)

 

. (3.10.3)

 

Перетворимо неоднорідні граничні умови (3.10.2) на однорідні. Розв’язок задачі (3.10.1) — (3.10.3) представимо у вигляді суми:

 

, (3.10.4)

 

де одна з функцій, наприклад, , задовольняє граничні умови:

 

. (3.10.5)

 

Представимо функцію у вигляді:

 

,

тоді

.

 

Використовуючи умови (3.10.5): , укладаємо . Вважаючи , отримуємо:

 

. (3.10.6)

Складемо крайову задачу для визначення функції . Для цього підставимо вираз (3.10.4) у задачу (3.10.1) — (3.10.3):

 

(3.10.7)

 

На підставі (3.10.6) знаходимо: , ; тому на підставі крайових умов (3.10.5), відповідно до (3.10.7) для функції , одержуємо таку крайову задачу:

 

, (3.10.8)

 

, (3.10.9)

 

. (3.10.10)

 

Оскільки диференціальне рівняння (3.10.8) і граничні умови (3.10.9) однорідні, то для розв’язку отриманої крайової задачі (3.10.8) — (3.10.10) застосовуємо метод Фур'є.

Розв’язок даної задачі відповідає розв’язку задачі , розглянутої у темі 2 і має вигляд

 

. (3.10.11)

 

Визначаємо згідно з початковою умовою (3.10.10):

 

,

тоді, при

 

(3.10.12)

 

. (3.10.13)

 

Підставляючи визначені значення констант (3.10.12), (3.10.13) у розкладання (3.10.11), одержуємо:

 

,

 

приймаючи в останньому виразі і підставляючи отриманий вираз у співвідношення (3.10.4) з урахуванням (3.10.6), одержуємо остаточний розв’язок крайової задачі (3.10.1)-(3.10.3) у вигляді:

 

.

 

 

? 3.11 Варіанти індивідуального завдання 6

 

 

У півсмузі , розв’язати крайову задачу

 

1. .

 

2. .

 

3. .

 

4. .

 

5. .

 

6. .

 

7. .

 

8. .

 

9. .

 

10. .

 

11. .

 

12. .

 

 

13. .

 

 

14. .

 

 

15. .

 

 

16. .

 

 

17. .

 

 

18. .

 

 

19. .

 

20. .

? 3.12 Варіанти індивідуального завдання 7

Шляхом перетворення неоднорідних граничних умов на однорідні, розв’язати крайову задачу для рівняння гіперболічного типу

 

 

 

 

 

 

? 3.13 Варіанти індивідуального завдання 8

Розв’язати крайову задачу:

 

 

 

 

 

Термінологічний словник

 

 

- шукана функція, розв’язок рівняння (задачі) математичної фізики

 

 

- норма функції

 

 

- Декартові координати

 

 

- радіальна координата

 

 

- тимчасова змінна

 

Символи позначень похідних

- похідні функції

 

 

- частинні похідні функції

 

 

- оператор Лапласа

 

 

- двовимірний оператор Лапласа

 

Рекомендована література

Основна:

1. Мартинсон Л.К. Дифференциальные уравнения математической физики / Л.К.Мартинсон, Ю.И.Малов. – М: МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2002. – 367с.

 

2. Кошляков Н.С. Основные дифференциальные уравнения математической физики / Кошляков Н.С., Глинер Э.Б., Смирнов М.М. - М.: Наука, 1962.- 262с.

 

Додаткова:

1. Араманович И.Г. Уравнения математической физики / И.Г.Араманович, В.И.Левин. - М.: Наука, 1964. - 286с.

 

2. Левин В.И. Дифференциальные уравнения математической физики / В.И.Левин, Ю.И.Гроссберг. - М.: Наука, 1951.- 247с.

 

 

3. Тихонов А.Н. Уравнения математической физики / А.Н.Тихонов, А.А.Самарский. - М.: Наука, 1953.- 348с.

 

4. Тихонов А.Н. Методы решения некорректных задач / А.Н.Тихонов, В.Я. Арсенин. - М.: Наука, 1979.- 374с.

Навчально-методичне видання

 

 

Костюшко Ірина Анатоліївна,

Швидка Світлана Петрівна