У частинних похідних другого порядку

Велика кількість різних фізичних задач приводить до диференціальних рівнянь із частинними похідними, які являють собою співвідношення між невідомою функцією , її частинними похідними та незалежними змінними. Найчастіше в математичній фізиці зустрічаються диференціальні рівняння другого порядку. Для двох незалежних змінних таке диференціальне рівняння записують у загальній формі співвідношенням

 

. (1.1.1)

Якщо диференціальне рівняння лінійне відносно старших похідних, то його називають квазілінійним рівнянням та записують у вигляді

 

, (1.1.2)

 

де — деякі функції незалежних змінних.

Диференціальне рівняння називають лінійним, якщо воно лінійне як відносно шуканої функції, так і відносно її частинних похідних. Таке рівняння записують у вигляді

 

(1.1.3)

 

Якщо коефіцієнти рівняння (1.1.3) не залежать від змінних , то воно являє собою лінійне диференціальне рівняння зі сталими коефіцієнтами.

Рівнянням (1.1.2) та (1.1.3) можна поставити у відповідність квадратичну форму

 

та за аналогією до з кривих другого порядку дати класифікацію типів рівнянь за знаком дискримінанта.

Виділимо три типи рівнянь у формі (1.1.2) або (1.1.3), називаючи їх рівняннями гіперболічного типу, якщо в деякій точці (або області ) , параболічного типу, — якщо в деякій точці , і еліптичного типу, - якщо у точці . Тут — дискримінант рівняння.

В рівнянні (1.1.2) можна зробити заміну незалежних змінних

 

(1.1.4)

 

з якобіаном перетворення

 

,

 

який допускає звернене перетворення. Тоді в нових змінних рівняння (1.1.2) набуває вигляду

 

. (1.1.5)

 

Тут

 

 

Перетворення (1.1.4) не змінює тип рівняння, тому що . Однак функції та можна вибрати таким чином, щоб у нових змінних частина коефіцієнтів обернулася в нуль, а саме рівняння (1.1.5) набуло простішого вигляду, який називають канонічною формою рівняння.

Перехід до канонічної форми можна здійснити за допомогою загальних інтегралів диференціального рівняння

 

, (1.1.6)

 

яке називають характеристичним для рівняння (1.1.2) та (1.1.3), а його інтеграли – характеристичними кривими, або характеристиками.

Якщо — загальний інтеграл рівняння (1.1.6), то функція є розв’язком диференціального рівняння першого порядку

 

. (1.1.7)

 

Якщо в деякій області рівняння (1.1.2) є рівнянням гіперболічного типу (), тоді згідно перетворення змінних

 

 

де — рівняння характеристик,

приходимо до рівняння (1.1.5), в якому згідно з (1.1.7) . Отриманий вираз ділимо на , приводимо рівняння (1.1.5) до канонічної форми для рівняння гіперболічного типу:

 

. (1.1.8)

 

Якщо в деякій області рівняння (1.1.2) є рівнянням параболічного типу (), то в цій області характеристичне рівняння (1.1.6) має лише одне сімейство характеристик: . Покладемо та , де — довільна, лінійно незалежна з функція, приходимо до перетвореного рівняння (1.1.5), в якому згідно (1.1.7) та умови параболічності . Таким чином, отримуємо наступну канонічну форму для рівняння параболічного типу

 

. (1.1.9)

Якщо в деякій області рівняння (1.1.2) є рівнянням еліптичного типу (), то в цій області характеристичне рівняння (1.1.6) має два комплексно-спряжених інтеграла , де . Поклавши , приходимо до перетвореного рівняння (1.1.5), в якому коефіцієнти . Тому після перетворення рівняння (1.1.5) можна записати в канонічному вигляді для еліптичного рівняння:

 

. (1.110)

 

Лінійне рівняння зі сталими коефіцієнтами (1.1.3) мають однаковий тип у будь - якій області . Згідно з наведеними перетвореннями, рівняння (1.1.3) гіперболічного, параболічного та еліптичного типів мають відповідно такі канонічні форми:

 

;

;

.

 

Якщо тепер ввести нову невідому функцію за правилом

 

,

 

де — деякі сталі,

то за допомогою підбору цих сталих канонічні форми для рівнянь зі сталими коефіцієнтами можна привести до спрощеного вигляду

 

;

;

 

для рівнянь гіперболічного, параболічного та еліптичного типів відповідно.