Рівняння лінійної теплопровідності

Розглянемо металевий стрижень, бічна поверхня якого теплоізольована. У задачі лінійної теплопровідності стрижень передбачається настільки тонким, що в кожний момент часу температура всіх точок поперечного перетину стрижня однакова. Якщо прийняти вісь стрижня за вісь абсцис, то температура буде функцією координати і часу .

Отримання диференціального рівняння теплопровідності засноване на таких фізичних передумовах.

Кількість тепла, що необхідно надати однорідному тілу, щоб підвищити його температуру на , дорівнює:

 

, (2.2.1)

 

де — об'єм тіла, — його щільність, — питома теплоємність.

Кількість тепла, що протікає через поперечний перетин стрижня за момент часу (тепловий потік), пропорційна площі перетину, швидкості зміни температури в напрямку, перпендикулярному до перетину та проміжку часу , тобто дорівнює:

 

, (2.2.2)

 

де — площа поперечного перетину, — коефіцієнт теплопровідності,

який ми вважатимемо постійним (це припущення справджується, якщо стрижень однорідний і температура змінюється в невеликих межах).

Відокремимо ділянку стрижня, обмежену поперечними перетинами з абсцисами і , і складемо для неї рівняння теплового балансу. За формулою (2.2.2) кількість тепла, що входить через поперечний перетин з абсцисою за проміжок часу , дорівнює . Якщо відкинути нескінченно малі розміри вищих порядків, то значення частинної похідної за у точці дорівнює: (в останньому рівнянні при перетвореннях застосована теорема Лагранжа). Тому розмір теплового потоку, що виходить через перетин , дорівнює . Узявши різницю величин вхідних і вихідних теплових потоків, ми одержимо кількість тепла , що надійшло до обраної ділянки стрижня за час :

 

 

З іншого боку, за цей же проміжок часу температура змінилася на величину . Тому за формулою (2.2.1) кількість тепла дорівнює: , тут .

Прирівнюючи отримані вирази для , одержуємо основне рівняння теплопровідності для однорідного стрижня без теплових джерел:

 

, (2.2.3)

де — коефіцієнт температуропровідності.

Рівняння (2.2.3.) є однорідним і лінійним.

Припустимо тепер додатково, що в деяких ділянках стрижня може виникати або поглинатися тепло. Як кажуть, усередині стрижня є теплові джерела. Виділення (або поглинання) тепла зручно характеризувати за допомогою щільності теплових джерел. Під щільністю теплових джерел розуміють функцію таку, що на малій ділянці стрижня за малий проміжок часу виділяється кількість тепла, що дорівнює:

 

. (2.2.4)

 

При укладанні теплового балансу необхідно врахувати тепло, що виникає в розглянутій ділянці стрижня. Остаточно отримуємо рівняння:

 

(2.2.5)

де .

Рівняння (2.2.5), отримане в припущенні, що всередині стрижня є теплові джерела, на відміну від рівняння (2.2.3), є неоднорідним. Наведені рівняння належать до параболічного типу.

 

Початкові та крайові умови

Початкова умова для рівняння теплопровідності задає температуру у всіх точках стрижня в деякий момент, від якого ведеться відлік часу (звичайно вважають, що в початковий момент ). Тоді початкова умова набуває вигляду:

, (2.3.1)

 

де — задана функція.

Крайові умови повинні виконуватися там, де стрижень може мати теплообмін із навколишнім середовищем, тобто на торцевих перетинах стрижня. У загальному випадку крайові умови мають вигляд:

 

(2.3.2)

 

де — задані температури зовнішнього середовища; — коефіцієнти теплообміну на торцях стрижня, що залежать від фізичних властивостей стрижня і середовищ; — коефіцієнт теплопровідності стрижня.

Найпростіший випадок крайових умов (2.3.2) — той, коли кінці стрижня підтримуються при постійній температурі:

 

, (2.3.3)

тут — задані числа.

Якщо якийсь кінець стрижня теплоізольований, то відповідний коефіцієнт теплообміну в співвідношеннях (2.3.2) дорівнює нулю і крайова умова на цьому кінці набуває вигляду:

 

. (2.3.4)

 

У випадку крайові умови (2.3.2) або (2.3.3) є однорідними, у протилежному випадку — неоднорідними.