Способы выравнивания динамических рядов. Экстраполяция и интерполяция

 

Любой ряд динамики теоретически может включать в себя четы­ре составляющих: тренд — основная тенденция; циклические, периодические колебания; сезонные колебания; случайные коле­бания.

Тренд - основная тенденция динамического ряда. Определение основной тенденции развития является важной задачей при изу­чении рядов динамики. При изучении в рядах динамики основной, тенденции развития применяют различные приемы и способы. Суть этих способов сводится к механическому или аналитиче­скому сглаживанию динамического ряда, что позволяет увидеть тенденцию развития.

Три способа определения тренда:

— метод укрупнения интервалов;

— метод скользящей средней;

— аналитическое выравнивание.

Идея 1-го метода:

Уровни по годам то растут, то падают и не позволяют увидеть: тенденцию. Чтобы ее выявить, переходят к расчету уровней за большие промежутки времени: квартал, год, пятилетка, 10-летис и т.д.

 

Пример применения метода укрупнения интервалов.

Имеются данные о производстве продукции по месяцам (табл. 5).

Таблица 5

Месяц года	Производство продукции, млн. руб.
январь
февраль
март
апрель
май
июнь
июль
август
сентябрь
октябрь
ноябрь
декабрь

Рассчитаем по кварталам (табл. 6).

Таблица б

Квартал	Производство продукции, млн. руб.
1 квартал
2 квартал
3 квартал
4 квартал

После проведенного укрупнения интервалов четко прослеживается тенденция к увеличению выпуска продукции к концу года.

 

Идея 2-го метода:

Для каждого уровня определяется средний из близлежащих уров­ней. Определяют трехзвенную, пятизвенную, семизвенную и т.д. скользящие средние.

В общем виде пятизвенная средняя рассчитывается следующим образом:

Аналогично рассчитывается трех — и семизвенные средние.

Пример использования метода укрупнения интервалов, проведем сглаживание динамического ряда (табл. 7) при помощи трех и пятизвенной средних. Таблица 7

Месяцы года	Производство продукции, млн. руб.	Трехзвенная средняя	Пятизвенная средняя
январь		-	—
февраль			—
март
апрель
май
июнь
июль
август
сентябрь
октябрь
ноябрь			—
декабрь		—	—

 

Достоинство этого метода — простота и наглядность.

 

Наиболее эффективным методом выравнивания, является анали­тическое выравнивание, так как оно позволяет проводить интер­поляцию и экстраполяцию, то есть расчет прогнозных значений на перспективу или ретроспективу.

Идея 3-го метода: представление уровней ряда в виде функции от времени, так как эмпирические точки можно представить в аналитическом виде множеством функций. Подбор функции, соответствующей тенденции, проводится на основе теоретического качественного анализа. При этом необходимо учитывать возмож­ность экономической интерпретации выбранной функции. Три ситуации, интерпретация которых легка:

Ø постоянный абсолютный прирост:

С₁= ∆_i = Y_i - Y_i-1 = const

Y1=1
Y1=2	yi = a0+a1t
Y1=3

Ø постоянство вторых абсолютных разностей:

С₂= ∆∆_i = (Y_i - Y_i-1) - (Y_i-1 – Y_i-2) = const

	∆i	∆∆i
Y1=1		-
Y2=4
Y3=9
Y4=16
Y5=25

Y_t = a₀ + a₁t + a₂t²

Ø постоянный цепной темп роста:

,,₃ = Т_р =

и т.д.

Подбор функции осуществляется также с помощью графического метода (тема «Статистическое изучение взаимосвязей»). Для оценки параметров выбранного уравнения используют любой из трех методов: метод избранных точек, метод наименьших расстояний и метод наименьших квадратов (см. тему «Статистическое изучение взаимосвязей»). Так, например, для прямой y_t = а₀ + a₁t методом наименьших квадратов, получим следующие оценки параметров:

В рядах динамики техника расчета параметров уравнения может быть упрощена. Для этого показателям времени t придают такие значения, чтобы их сумма была равна нулю. В этом случае пара­метры определяются следующим образом:

В том случае, если в динамическом ряду нечетное число уровней, то серединное значение времени принимают равным нулю, вверх, по убыванию, располагают по порядку отрицательные значения, вниз, по возрастанию - положительные значения: -5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5. Если число уровней четное, то строят такой ряд: -7,-5,-3,-1,1,3,5,7-0

 

Пример использования метода аналитического выравнивания. На основании данных таблицы 5 произведем сглаживание ряда динамики методом аналитического выравнивания (табл. 8):

Таблица 8

t (месяцы)	y (Производство про­дукции, млн. руб.)	yt	t^2	(у-уt)^2	yt
-11		-27500		36645,44	2308,57
-9		-23850		55776,30	2413,83
-7		-17500		364,43	2519,09
-5		-12250		30397,92	2624,35
-3		-7650		32259,75	2729,61
-1		-2700		18189,92	2834,87
				1610,42	2940,13
				2982,25	3045,39
				22695,42	3150,65
				3125,93	3255,91
				68209,77	3361,17
				284696,94	3466,43
Итого				556954,49	34650,0

 

y_t = 2887,5 + 52,63 t

Интерпретация параметров:

В данном случае а₀ - средний уровень ряда, а₁ - сила связи, то есть на сколько изменится резуль­тат при изменении времени на 1. Для оценки надежности уравнения регрессии применяется критерий Фишера:

Общая дисперсия:

	α = 0,05
	ϑ1= k +1 =2	= 4,10
	ϑ2= n – k – 1 = 10

F_ф = 14,08 F_т = 4,10 уравнение прямой адекватно отражает имеющийся в данном ряду динамический тренд.

 

Если построенное уравнение надежно, можно проводить экстраполяцию и интерполяцию.

Экстраполяция — продолжение тенденций прошлого в будущее. Причины ее возникновения:

— инерционность экономических процессов;

— сохранение общих условий и факторов развития процесса.

— отсутствие резких внешних воздействий (война, катастро­фа, кризис, землетрясения), способных вызвать скачкообразное изменение.

Экстраполяция может быть реализована на достаточно короткий срок вперед. Для макроэкономических показателей – 5 - 7 лет. Для более частных показателей, наиболее часто подверженных изменениям, - 2 - 3 года.

Экстраполяцию можно провести при помощи точечного прогно­за. Точечный прогноз делается по результатам аналитического выравнивания, если уравнение тренда надежно:

y_t^пр = f (t)

 

Пример.

Сделаем прогноз производства продукции на 3 месяца вперед:

t1=13

t2=15

t3=17

 

время прогноза - первые три месяца следующего года (январь - 13, февраль - 15, март - 17)

 

 

Выводы:

Для комплексного изучения динамики явления необходимо охарактеризовать интенсивность изменения во времени, в том числе в среднем за период; выявить закономерность изменения явления; рассчитать прогнозные значения; определить факторы, формирующие динамику.

Для обеспечения возможности решения задач изучения динамики необходимо при построении динамического ряда выполнять ряд требований.

Для характеристики интенсивности изменения во времени рассчитывают следующие показатели динамики: средний абсолютный прирост, темп роста, темп прироста, абсолютное значение одного процента прироста.

Библиографический список

основной

1. Общая теория статистики: Учебник / Под. Ред. чл.- корр. РАН И.И.Елисеевой.- М.: Финансы и статистика, 2000. - С. 301- 367.

2. Практикум по теории статистики: Учеб. пособие / Под ред. проф. Р.А. Шмойловой.- М.: Финансы и статистика, 1999.- С. 227 - 252.

3. Статистика: Курс лекций / Под ред. В.Г.Ионина.- Новосибирск: Издательство НГАЭиУ, 1996.- С. 91- 99.

4. Теория статистики: Учебник / Под ред. проф. Р.А. Шмойловой.- М: 1996.

дополнительный

1. Лунеев В.В. Юридическая статистика: Учебник.- М.: Юристъ, 1999.- С. 287-301.

2. Савюк Л.К. Правовая статистика: Учебник. - М: Юристъ, 1999.- С. 459 - 475.