Средняя и предельная ошибки выборки

 

Основное преимущество выборочного наблюдения среди прочих других — возможность рассчитать случайную ошибку выборки.

Ошибки выборки бывают систематические и случайные.

Систематические — в том случае, когда нарушен основной принцип выборки — случайности. Случайные — возникают обычно ввиду того, что структура выборочной совокупности все­гда отличается от структуры генеральной совокупности, как бы правильно ни был произведен отбор, то есть, несмотря на принцип случайности отбора единиц совокупности, все же имеются расхо­ждения между характеристиками выборочной и генеральной сово­купности. Изучение и измерение случайных ошибок репрезента­тивности и является основной задачей выборочного метода.

Как правило, чаще всего рассчитывают ошибку средней и ошиб­ку доли. При расчетах используются следующие условные обо­значения:

— средняя, рассчитанная в пределах генеральной совокупности;

— средняя, рассчитанная в пределах выборочной совокупно­сти;

р — доля данной группы в генеральной совокупности;

w — доля данной группы в выборочной совокупности.

Используя условные обозначения, ошибки выборки для средней и для доли можно записать следующим образом:

w- р.

Выборочная средняя и выборочная доля являются случайными величинами, которые могут принимать любые значения в зависимости от того, какие единицы совокупности попали в выборку. Следовательно, ошибки выборки также являются случайными величинами и могут принимать различные значения. Поэтому определяют среднюю из возможных ошибок μ.

В отличие от систематической, случайную ошибку можно опре­делить заранее, до проведения выборки, согласно предельных теорем, рассматриваемых в математической статистике.

 

Средняя ошибка определяется с вероятностью 0,683. В случае другой вероятности говорят о предельной ошибке.

Средняя ошибка выборки для средней и для доли определяется следующим образом:

В этих формулах дисперсия признака является характеристикой генеральной совокупности, которые при выборочном наблюдении неизвестны. На практике их заменяют аналогичными xapaктеристиками выборочной совокупности на основании закона больших чисел, по которому выборочная совокупность большом объеме точно воспроизводит характеристики генеральной совокупности.

Формулы определения средней ошибки для различных способ отбора:

Способ отбора	Повторный	Бесповторный
ошибка средней	ошибка доли	ошибка средней	ошибка доли
Собственно-случайный и механиче­ский
Типический
Серийный

μ - средняя ошибка;

∆ - предельная ошибка;

п - численность выборки;

N - численность генеральной совокупности;

- общая дисперсия;

w - доля данной категории в общей численности выборки:

- средняя из внутригрупповых дисперсии;

Δ² - межгрупповая дисперсия;

r - число серий в выборке;

R — общее число серий.

Предельная ошибка для всех способов отбора связана со сред­ней ошибкой выборки следующим образом:

где t - коэффициент доверия, функционально связанный с веро­ятностью, с которой обеспечивается величина предельной ошиб­ки. В зависимости от вероятности коэффициент доверия t принимает следующие значения:

t	P
	0,683
1,5	0,866
2,0	0,954
2,5	0,988
3,0	0,997
4,0	0,9999

Например, вероятность ошибки равна 0,683. Это значит, что генеральная средняя отличается от выборочной средней по абсолютной величине не более чем на величину μ с вероятностью 0,683, то если - выборочная средняя, - генеральная средняя, то с вероятностью 0,683.

 

Если мы хотим обеспечить большую вероятность выводов, тем самым мы увеличиваем границы случайной ошибки.

Таким образом, величина предельной ошибки зависит от сле­дующих величин:

- колеблемости признака (прямая связь), которую характеризует величина дисперсии;

- численности выборки (обратная связь);

- доверительной вероятности (прямая связь);

- метода отбора.

 

Пример расчета ошибки средней и ошибки доли.

Для определения среднего числа детей в семье методом случайной бесповторной выборки из 1000 семей отобраны 100. Результаты приведены в таблице:

Число детей, чел.	Число семей
Итого

Определите:.

— с вероятностью 0,997 предельную ошибку выборки и границы, в которых находится средне число детей в семье;

— с вероятностью 0,954 границы, в которых находится удельный вес семей с двумя детьми.

1. Определим предельную ошибку средней с вероятностью 0,977. Для упрощения расчетов воспользуемся способом моментов:

p = 0,997 t = 3

 

средняя ошибка средней, 0,116 — предельная ошибка

2,12 – 0,116 ≤ ≤ 2,12+ 0,116

2,004 ≤ ≤ 2,236

Следовательно, с вероятностью 0,997 среднее число детей в семье в генеральной совокупности, то есть среди 1000 семей, находится в интервале 2,004 — 2,236.

2. Определим предельную ошибку доли с вероятностью 0,954.

p = 0,954 t = 2

29 - 8,6 ≤ d ≤ 29 +8,6

20,4% < d < 37,6%

Доля семей с двумя детьми в общей численности семей от 20,4% до 37,6%, или число их от 201 до 376 человек.

 

Помимо прямой задачи (определение величины ошибки) фор предельной ошибки позволяет решать еще две задачи.

 

Определить необходимую численность выборки, при которой пределы возможной ошибки не превышают некоторой за величины.

Определить вероятность того, что в проведенной выборке ошибка будет заключаться в заданных пределах.

Решение этих задач зависит от способа отбора. Например, необ­ходимая численность выборки для повторного отбора:

при без повторной:

 

Пример расчета численности выборки при заданных параметрах. Нужно определить среднее число рабочих 3 разряда. Найти численность выборки n, чтобы с вероятностью 0,954 ошибка не превышала бы 0,02, если известно, что σ² = 0,2, а общая численность рабочих 10000 чел. Р = 0,954, значит t = 2

.