Тема 1. 5. Показатели вариации

ТЕМА 1.5. ПОКАЗАТЕЛИ ВАРИАЦИИ

 

1.5.1. Понятие вариации.

1.5.2. Показатели вариации.

1.5.3. Правило сложения дисперсии.

 

Понятие вариации

 

Вариация — это наличие различий у отдельных единиц сово­купности по какому-либо признаку.

Эта категория занимает особое место в статистической науке, ибо именно наличие вариации единиц совокупности предопределяет необходимость статистики. Если бы отдельные единицы сово­купности имели они и те же значения признаков (например, рост, возраст у всех живущих людей был бы одинаковый), то для изу­чения данной совокупности по этим признакам достаточно было бы изучить только одну единицу совокупности. Однако зачастую значения признаков колеблются, изменяются при переходе от од­ной единицы к другой. Как правило, вариация является порожде­нием следующих причин:

— своеобразие условий, в которых происходит развитие от­дельных единиц совокупности;

— неравномерность развития отдельных единиц.

Например, причиной вариации роста у отдельно взятых людей является генетическая особен­ность каждого организма (основная причина), особенности питания, экологическая обстановка и т.д.; вариация урожайности может быть вызвана климатическими, почвенными особенностями зоны про­израстания, режима и возможности полива, качеством посадочного материала и т.д.

Вариация существует во времени и в пространстве.

Под вариаци­ей в пространстве понимается колеблемость значений признака по отдельным территориям (урожайность пшеницы в разных ре­гионах).

Под вариацией во времени подразумевается объективное измене­ние значений признака в разные периоды (или моменты). Напри­мер, со временем изменяется средняя продолжительность пред­стоящей жизни, доходность предприятий отрасли, уровень по­требностей людей и т.д.

Изучение вариации имеет важное значение, так как вариация ха­рактеризует степень однородности совокупности. Однородность совокупности — необходимое условие при расчете большинства статистических показателей, в частности средних величин.

Показатели вариации

 

Показатели вариации являются необходимым дополнением при расчете средних величин, так как определяют степень однород­ности совокупности.

Система показателей вариации включает следующее:

— размах вариации;

— среднее абсолютное (линейное) отклонение;

— среднее квадратическое отклонение;

— дисперсия;

— коэффициент вариации.

Значение показателей вариации:

— характеризуются размеры вариации признака;

— показатели вариации дополняют систему средних величин, в которой затушевываются индивидуальные различия;

— показатели вариации позволяют охарактеризовать уровень однородности совокупности;

— с помощью показателей вариации, путем сравнения вариа­ции у отдельных признаков (разных), есть возможность измерить взаимосвязь между этими признаками.

Первый показатель, так называемый размах вариации, — наи­более простой из показателей, характеризует абсолютные разме­ры изменения признака и определяется как разница максимально­го и минимального значений признака:

Несмотря на простоту расчета, этот показатель имеет важный не­достаток — учитывает только два приграничных значения. В случае аномальности одного или двух приграничных значений, он может исказить действительную вариацию совокупности.

Для того чтобы избавиться от этого недостатка, рассчитывают отклонение каждой индивидуальной величины от средней по со­вокупности. Таким образом, учитывается значение каждой еди­ницы совокупности. Для того чтобы охарактеризовать это откло­нение одним числом, рассчитывают среднюю из этих значений. Данный показатель носит название среднее абсолютное (линей­ное) отклонение и определяется следующим образом:

- простой вид;

- взвешенный вид (для сгруппированных данных);

где d(L) — среднее абсолютное (линейное) отклонение;

х — индивидуальное значение признака (варианта);

— среднее из значений признака;

п — численность совокупности;

f — частота.

Среднее линейное отклонение характеризует средний размер отклонений индивидуальных значений признака от средней вели­чины. Таким образом, он характеризует абсолютные размеры ва­риации, имеет те же единицы измерения, что и признак, вариа­цию которого характеризует.

Недостаток: ввиду того, что применяется модуль, затруднено проведение математических операций. Поэтому он применяется редко.

Для того чтобы избавиться от недостатка предыдущего показате­ля, разницу между индивидуальным значением и средней возве­дем в квадрат и затем извлечем корень квадратный из полученно­го среднего значения. Полученный показатель будет называться среднее квадратическое отклонение:

- простая.

- взвешенная.

Играет ту же роль, что и среднее абсолютное отклонение, но, имеет перед ним одно преимущество, а именно, с ним проще проводить математические операции. Ввиду этого в 90 случаях из 100 используется этот показатель.

Еще более удобный для математических преобразований показа­тель вариации — дисперсия, который представляет собой сред­нее квадратическое отклонение в квадрате:

- простая,

- взвешенная.

С помощью дисперсии и среднего квадратического отклонения измеряются взаимосвязи между различными признаками. Кроме того, по этим показателям можно сравнивать совокупности в смысле их однородности по одинаковым признакам.

Вывод об однородности совокупности позволяет сделать коэффициент вариации, который может быть рассчитан несколькими способами в зависимости от исходной информации:

- характеризует средний процент отклонений индивидуальных значений признака от средней величины.

,

,

,

где V – коэффициент вариации;

σ – среднее квадратическое отклонение;

d (L) – среднее линейное отклонение;

Х_МО – мода (структурная средняя);

Х_МЕ – медиана(структурная средняя).

Коэффициент вариации имеет большое значение. Он позволяет сравнивать уровень вариации по различным признакам и используется для характеристики однородности совокупности. Если коэффициент вариации меньше 33%, то совокупность однородна.

 

Пример расчета показателей вариации.

Распределение студентов вуза по возрасту характеризуются следующими данными (табл. 1):

Таблица 1

Возраст студентов, лет	Число студентов очно-заочного отделения, чел.	Число студентов дневной формы обучения, чел.	Х i,лет
17—20			12,5
20—23			21,5
23—25			24,0
25—28			26,5
28—30			29,0
30 и старше			31,0

Рассчитайте показатели, характеризующие вариацию возраста студентов для каждой формы

обучения. Сравните полученные результаты.

Рассчитаем показатели вариации, характеризующие совокупность студентов очно-заочной формы

обучения.

1. Размах вариации:

R = x_max – x_min = 31 - 18,5 = 12,5 (лет)

2. Средняя арифметическая:

3. Среднее линейное отклонение:

Возраст отдельно взятого студента отклоняется от среднего по совокупности возраста — 27 лет — на 3 года. То есть можно утверждать, что возраст наибольшего числа студентов не будет выходить за границы интервала: от 24,3 до 30,4 лет.

27,36 - 3,07 < 27,36 < 27,36+ 3,07.

Среднее квадратическое отклонение:

Среднее квадратическое отклонение также характеризует абсолютную величину отклонения индиви­дуального значения от средней. Как правило, значение среднего квадратического отклонения больше среднего линейного отклонения.

Дисперсия:

=13,899

Характеризует квадрат отклонений индивидуального значения от средней величины. Коэффициент вариации:

Средний процент отклонений индивидуальных значений от средней величины составляет 13,6%. Со­вокупность однородна. Сделаем аналогичные расчеты по совокупности студентов дневного отделения. Получаем следующие результаты:

R = 12,5

= 21,69

d(L) = 3,40

σ = = 4,74

σ²=22,54

V = 21,9%

На основании приведенных расчетов можно сделать вывод о том, что совокупность студентов очно-заочного отделения более однородная.

 

Расчет показателей вариации — достаточно трудоемкий процесс. В некоторых случаях, когда имеется ряд показателей с равноот­стоящими моментами времени или равноинтервальный ряд рас­пределения, расчет может быть упрощен. Сокращенные способы расчета дисперсии базируются на знании свойств дисперсии. Свойства дисперсии:

— если от всех значений варианты х отнять (прибавить) по­стоянное число А, то дисперсия не изменится;

— если каждое значение варианты разделить (умножить) на постоянную величину к, то дисперсия уменьшится (увеличится) в к² раз.

Сокращенные способы расчета дисперсии:

1.

2. Способ моментов – применяется только в случае равенства интервалов.

, где i – величина интервала;

- момент 2-го порядка, , где х ′ - момент 1-го порядка.

 

Пример.

Имеются следующие данные о распределении семей по уровню среднедушевого дохода (табл. 2).

Таблица 2

Средний душевой доход, руб.	Число семей в группе	х,	х'	x'f	x'^2f
До 200			-4	-40
200—300			-3	-105
300-400			-2	-136
400—500			-1	-70
500—600
700—800
800 и более
Итого				-297

 

Как правило, в качестве константы А выбирается варианта с наибольшей частотой (для максимально­го упрощения расчетов). Наибольшая частота равна 75, значит А = 550.

.

На основании приведенных расчетов можно сделать вывод о том, что совокупность семей однородна. Однако коэффициент вариации приближается к верхней границе (33%), превышение которой свидетельствует о неоднородности совокупности. То есть в данной совокупности достаточно высокий уровень вариации. Средний душевой доход по всей совокупности семей составляет 451руб., а среднее отклонение от этого уровня — 141 руб. Поэтому можно констатировать достаточно высокую разницу между уровнем дохода отдельно взятых семей и, как следствие этого — на­чавшийся процесс расслоения общества. Дополнительные выводы можно сделать, рассчитав структурные средние — моду и ме­диану.

Правило сложения дисперсии

 

Если данные представлены в виде аналитической группировки, в статистике рассматривают три вида дисперсии:

— общая дисперсия;

— дисперсия средняя из внутригрупповых;

— межгрупповая дисперсия.

Общая дисперсия измеряет вариацию признака х во всей сово­купности под влиянием всех факторов, обусловливающих эту ва­риацию.

Межгрупповая дисперсия (факторная) объясняет вариацию, вы­званную признаком, положенным в основу группировки. Средняя из внутригрупповых дисперсия (остаточная) объясня­ет ту часть вариации, которая вызвана действием (влиянием) на признак х всех остальных признаков (факторов), кроме группировочного.

Правило сложения дисперсии заключается в том, что общая дисперсия равна сумме межгрупповой и средней из внутри­групповых дисперсий:

,

где - межгрупповая дисперсия;

- средняя из внутригрупповых дисперсия.

Расчет средней из внутригрупповых проводится в два этапа. Пер­воначально рассчитываются дисперсии по каждой группе, как квадрат отклонений индивидуальных значений признака в группе от средней, рассчитанной в пределах группы:

, ,

где п_i — численность i -ой группы.

На втором этапе по средней арифметической взвешенной рассчи­тывается средняя из внутригрупповых дисперсия:

Межгрупповая дисперсия определяется как квадрат отклонений средних, рассчитанных по каждой группе от средней, рассчитан­ной в пределах всей совокупности, взвешенных численностью группы:

Правильность расчетов дисперсии при помощи правила сложения дисперсии можно подтвердить расчетом общей дисперсии по обычной формуле.

Поскольку правило сложения дисперсии позволяет разложить дисперсию на дисперсию, возникающую под влиянием фактор­ного признака (группировочного), и остаточную дисперсию, оно широко используется при изучении взаимосвязей между призна­ками.

На основе правила сложения дисперсии в статистике разработаны меры связей между факторным и результативным признаками: коэффициент детерминации и эмпирическое корреляционное от­ношение.

Коэффициент детерминации определяется как отношение меж­групповой дисперсии к общей дисперсии:

.

Коэффициент детерминации характеризует долю общей колебле­мости результативного признака, которая вызвана признаком, по­ложенным в основу группировки.

Эмпирическое корреляционное отношение характеризует тесно­ту связи между признаками и определяется следующим образом:

 

Пример использования правила сложения дисперсии.

Имеются данные о распределении мага­зинов по объему товарооборота (табл. 3):

Таблица 3

Товарооборот, тыс. руб.	Число магазинов в группе	Издержки обращения, тыс. руб.
1000—1200		20,30,40
1200—1500		45, 60, 90, 40, 80
1500—2500		80,85,98,100

Определите общую дисперсию, используя правило сложения дисперсии.

= 527,9 + 197,3 = 725,13

Для проверки правильности расчетов определим общую дисперсию обычным способом:

Это значит, что 72,8% вариации издержек обращения объясняется признаком, положенным в основу группировки, то есть товарооборотом. Соответственно, 27,2% вариации результативного признака может быть объяснено прочими факторами, не учтенными в группировке:

Эмпирическое корреляционное отношение — показатель тесноты связи. Он характеризует уровень согласованности в изменениях факторного признака» (объем товарооборота) и результативного признака (величина издержек обращения).

Эмпирическое корреляционное отношение показывает степень влияния товарооборота на издержки обращения. Иногда дают ве­роятностную интерпретацию: с вероятностью 0,853 мы можем предсказать изменения издержек обращения, зная изменение то­варооборота.

Значения эмпирического корреляционного отношения лежат в диапазоне от 0 до 1: О - 0,3 — слабая связь;

0,3 - 0,7 — умеренная;

0,7 - 1,0 — сильная.

Выводы:

1. Наличие вариации обусловливает необходимость статистики. Статистика изучает толь­ко варьирующие явления.

2. Показатели вариации характеризуют однородность совокупности и служат необходи­мым дополнением при расчете средней величины.

3. Для упрощения расчетов основного показателя вариации — дисперсии — применяют сокращенные способы расчета дисперсии, основанные на свойствах дисперсии.

4. На основании дисперсии (правило сложения дисперсии) рассчитывается эмпириче­ское корреляционное отношение и коэффициент детерминации, которые служат для харак­теристики взаимосвязи между признаками.

 

Библиографический список

основной

1. Общая теория статистики: Учебник / Под ред. чл.-корр. РАН И.И.Елисеевой.— М: Финансы статистика, 2000.— С. 74—117.

2. Практикум по теории статистики: Учеб. пособие / Под ред. проф. Р.А. Шмойловой.— М: Финан­сы и статистика, 1999.— С. 122—129.

3. Статистика: Курс лекций / Под ред. В.Г. Ионина.— Новосибирск: Издательство НГАЭиУ, 1996.— С. 59—84.

4. Теория статистики: Учебник / Под ред. проф. Р.А. Шмойловой.— М., 1996.

дополнительный

1. Лунеев В.В. Юридическая статистика: Учебник.— М.: Юристь, 1999.— С. 272—276.

2. Савюк Л.К. Правовая статистика: Учебник.— М.: Юристь, 1999.— С. 412—416.

ТЕМА 1.6. РЯДЫ ДИНАМИКИ

 

1.6.1. Задачи статистического изучения явлений во времени.

1.6.2. Ряды динамики, их классификация.

1.6.3. Правила построения рядов динамики.

1.6.4. Показатели анализа рядов динамики.

1.6.5. Способы выравнивания динамических рядов. Экстраполя­ция и интерполяция.

 

Библиографический список

основной

1. Общая теория статистики: Учебник / Под. Ред. чл.- корр. РАН И.И.Елисеевой.- М.: Финансы и статистика, 2000. - С. 301- 367.

2. Практикум по теории статистики: Учеб. пособие / Под ред. проф. Р.А. Шмойловой.- М.: Финансы и статистика, 1999.- С. 227 - 252.

3. Статистика: Курс лекций / Под ред. В.Г.Ионина.- Новосибирск: Издательство НГАЭиУ, 1996.- С. 91- 99.

4. Теория статистики: Учебник / Под ред. проф. Р.А. Шмойловой.- М: 1996.

дополнительный

1. Лунеев В.В. Юридическая статистика: Учебник.- М.: Юристъ, 1999.- С. 287-301.

2. Савюк Л.К. Правовая статистика: Учебник. - М: Юристъ, 1999.- С. 459 - 475.

 

 

Агрегатная форма индексов

 

Чаще всего используют индексы, представляющие собой сравне­ние сумм агрегатов.

Используя агрегатную форму индексов, можно охарактеризовать изменение явления в пространстве (территориальные) и во време­ни. Использование агрегатной формы индексов позволяет сравни­вать изменения состояния неоднородных совокупностей. Напри­мер, общий индекс цен может быть рассчитан двумя способами:

- так называемый индекс Пааше.

В приведенном индексе цена на каждый товар взвешена соответствующим объемом продаж. Таким образом, в числителе будет товарооборот отчетного периода, а в знаменателе - товарооборот отчетного периода в базисных ценах. Следовательно, индекс показывает изменение цен при неизмен­ном количестве.

Индекс Пааше наиболее часто используется в экономических расчетах, однако, может быть использован и другой индекс:

- так называемый индекс Лайспереса.

Если цену оставить неизменной, а количество проиндексировать (изменить), то получим индекс физического объема:

, который будет отражать изменение количества продаж. Здесь цена будет использоваться в качестве соизмерителя.

Для того чтобы определить общее изменение товарооборота по группе товаров, нужно общий товарооборот в отчетном периоде разделить на общий товарооборот в базисном периоде:

Данный индекс показывает, что на товарооборот влияют два фактора: цена и количество проданного товара, следовательно, индекс может быть представлен в виде двухфакторной мультипликативной модели итогового показателя:

Если взаимосвязь между величинами выражена в форме произведения, либо частного, то эта взаимосвязь сохраняется и для индивидуальных величин.

Правило построения индексов можно сформулировать следующим образом:

В том случае, если индексируется качественный показатель (цена, себестоимость, урожайность, трудоемкость, производительность и т.д.), то веса берутся обычно на уровне отчетного периода. В том же случае, если индексируется количественный показатель (объем производства, количество проданных товаров, численность занятых), то соизмеритель берется на уровне базисного периода.

Перечисленные индексы представлены в виде отношения, поэтому они характеризуют относительное изменение цен, физического объема и товарооборота. Эти же самые индексы могут бытьпредставлены в виде разностей. В этом случае они показывают абсолютное изменение показателя всего и в том числе - за счет отдельных факторов (разложение общего прироста).

Абсолютное изменение общего товарооборота: ,

в том числе:

- за счет изменения цен: ,

- за счет изменения физического объема продаж: .

То же самое можно записать следующим образом:

- за счет изменения физического объема продаж: ;

- за счет изменения цен: .

Агрегатные индексы можно использовать не только при оценке динамики товарооборота, но и общих затрат на производство продукции, валового сбора и т.д.

 

Пример расчета индивидуальных и агрегатных индексов.

Имеются данные об объеме продаж и ценах на продукты (табл. 1).

Таблица 1

Товары	Ед. изм.	Базисный период	Отчетный период	Индивид, индексы
цена, руб.	кол-во	цена, руб.	кол-во	цен	физиче­ского объ­ема
Яблоки	кг			17.5		1,029	1,17
Яйца	десяток			14,0		1,27	0,88
Молоко	литр	6,5		7,2		1,11	0,96
Хлеб	булка	4,5		5,0		1,11	1,18

Рассчитайте индивидуальные индексы цен и физического объема по каждому виду товаров. Опреде­лите общее изменение товарооборота, цен и физического объема реализации. Рассчитайте сумму переплаты (экономии) покупателей за счет изменения цен.

Индивидуальные индексы цен и физического объема рассчиты­ваются как отношение цены (физического объема) на каждый то­вар в отчетном периоде к цене (физическому объему) на этот то­вар в базисном периоде. Результаты расчетов заносятся в таблицу (табл. 1, графы 6, 7).

Для того, чтобы определить относительное изменение товарообо­рота, рассчитаем общий индекс товарооборота:

Общий товарооборот увеличился на 20,5%. Рассчитаем индекс цен:

В среднем количество проданных продуктов увеличилось на 16,5%.

Индекс физического объема можно также найти, используя взаимосвязь между индексами:

.

Для того чтобы найти сумму переплаты или экономии покупате­лей от изменения цен, необходимо найти разницу между числи­телем и знаменателем индекса цен:

За счет роста цен покупатели заплатили в отчетном периоде за один и тот же объем продуктов на 25559 руб. больше.

Рассмотренные выше индексы используются тогда, когда показа­тель, изменение которого мы рассматриваем, может быть поле­чен произведением двух других и изменения этих двух показате­лей известны. Но в практике расчетов бывает, что абсолютны, значения этих показателей могут быть неизвестны, а известно лишь их относительное изменение и итоговый показатель. В этом случае агрегатные индексы преобразуют в средний арифметиче­ский и средний гармонический индекс, в зависимости от того, ка­кими данными мы располагаем.

 

Пример расчета среднего гармонического индекса.

В розничной торговле ведется учет изменения цен на конкретные товары и учет стоимости продан­ных товаров (табл. 2). Объем продаж в натуральном объеме не известен. Как определить е этом слу­чае индекс цен?

Таблица 2

Наименование продукции	Реализация продукции в базисном периоде, тыс. руб.	Реализация продукции в отчетном периоде, тыс. руб.	Изменение цен в текущем периоде по сравнению с базисным, %
Изделие 1			+4,0
Изделие 2			+2,8
Изделие 3			-2,0

 

- средний гармонический индекс цен. Таким образом, цены в отчетном периоде по сравнению с базисным увеличились на 3,3%.

На основании имеющихся данных можно рассчитать индекс товарооборота:

Общий товарооборот снизился на 3%.

Используя взаимосвязь между индексами, можно рассчитать индекс физического объема:

Результатом повышения цен явилось снижение объема продаж. Количество проданных изделий сократилось на 6,1%.

 

Пример расчета среднего арифметического индекса.

Имеются следующие данные о затратах на производство продукции (табл. 3). Как изменится объем произведенной продукции в стоимостном выражении?

Таблица 3

Наименование продукции	Общие затраты на производство про­дукции в базисном периоде, тыс. руб.	Изменение физического объема произве­денной продукции в отчетном периоде по сравнению с базисным, %
Изделие А		+2,5
Изделие В		+3,6
Изделие С		-2,1

 

где z_0, z₁ - себестоимость единицы продукции в базисном и отчетном периоде соответственно.

Физический объем произведенной продукции в целом по предприятию увеличился на 1,8%.

 

Индексы средних величин

Индексы средних величин позволяют изучать динамику средних величин. Как правило, такая потребность возникает в случаях, если:

— одна и та же продукция продается по различным ценам (на различных рынках);

— один и тот же вид продукции выпускается на различных предприятиях с различной себестоимостью;

— на производство одного и того же вида изделий затрачива­ется разное время;

— посевы одинаковой культуры имеют различную урожай­ность и т.д.

Динамика средней и факторы, ее формирующие, характеризую i -ся с помощью системы индексов. При этом определяют:

— индекс переменного состава;

— индекс постоянного состава;

— индекс структурных сдвигов.

Индекс переменного состава характеризует динамику средней величины и представляет собой отношение средней в отчет] периоде к средней величине базисного периода, рассчитанных формуле средней арифметической взвешенной:

- основная формула индекса переменного состава.

В данном случае р — цена, динамику средней которой мы в качестве веса используется объем продаж — q. В том случае, если есть структура продаж товара, пре­следующую формулу:

Здесь объем продаж представлен в виде удельного веса в объеме.

Изменение средней величины могут вызвать два фактора:

— изменение индивидуальной цены;

— изменение структуры продаж. Влияние первого фактора отражает индекс постоянного ( фиксированного) состава:

Влияние второго фактора отражает индекс структурных сдвигов:

В предлагаемом ниже примере рассмотрим индекс средней стоимости единицы продукции.

 

Пример расчета индексов средних величин.

На предприятиях отрасли производится один вид продукции (табл. 4).

Таблица 4

Предприятие	Себестоимость единицы продукции, у. е.	Количество продукции, шт.
Базисный период	Отчетный период	Базисный период	Отчетный период
Итого	—	—

 

Определите, как изменилась средняя себестоимость на производство единицы продукции по отрасли всего и в том числе за счет отдельных факторов.

Средние затраты рассчитаем при помощи средней арифметической взвешенной, затем найдем индекс переменного состава:

Таким образом, средняя себестоимость в целом по отрасли выросла на 25,5%.

Динамика средней себестоимости единицы продукции в целом по отрасли складывается под влияни­ем двух факторов:

— изменения себестоимости единицы продукции на отдельном предприятии;

— структуры производства продукции отрасли. Рассчитаем индекс фиксированного состава:

Таким образом, в результате повышения себестоимости единицы продукции на обоих предприятиях средняя себестоимость единицы продукции выросла на 25,6%. Определим влияние на среднюю себестоимость структурных сдвигов:

За изучаемый период структура производства практически не изменилась, поэтому изменение сред­ней цены произошло целиком за счет влияния первого фактора, то есть изменения себестоимости на производство продукции на каждом предприятии. Правильность расчетов подтверждает проверка через взаимосвязь индексов.

 

Территориальные индексы

Территориальные индексы позволяют проводить сравнение од­ноименных показателей в территориальном разрезе. Например, сравнение цен на один и тот же вид продукции в разных городах, сравнение себестоимости одноименной продукции на разных за­водах и т.д.

Выводы:

1. Индекс — это сравнение двух состояний одного явления. Наиболее часто проводятся сравнения во времени и пространстве.

2. Индексы могут быть индивидуальные и общие.

3. При построении общих индексов необходимо соблюдать правило построения индексов.

4. Агрегатные индексы используются в том случае, если изучается динамика показателя, который может быть представлен в виде произведения (товарооборот, общие затраты на производство про­дукции).

5. В зависимости от имеющихся данных агрегатные индексы могут быть преобразованы в сред­ний гармонический и средний арифметический индексы.

6. Динамика средней величины характеризуется при помощи индексов переменного, постоянного состава и структурных сдвигов.

7. Сравнения в пространстве проводится при помощи территориальных индексов.

8. Используя взаимосвязь между индексами, можно найти третий, зная значения двух других.

Библиографический список

основной

1. Общая теория статистики: Учебник / Под ред. чл.-корр. РАН И.И.Елисеевой.— М: Финансы и статистика, 2000.— С. 368—432.

2. Статистика: Курс лекций / Под ред. В.Г.Ионина.— Новосибирск: Издательство НГАЭиУ, 1996.— С. 111—127.

3. Теория статистики: Учебник / Под ред. проф. Р.А. Шмойловой.— М., 1996.

дополнительный

1. Практикум по теории статистики: Учеб. пособие / Под ред. проф. Р.А. Шмойловой.— М.: Финан­сы и статистика, 1999.— С. 292—309.

 

Библиографический список

основной

1. Общая теория статистики: Учебник / Под ред. чл.-корр. РАН И.И.Елисеевой.— М.: Финансы и статистика, 2000.— С. 226—300.

2. Практикум по теории статистики: Учеб. пособие / Под ред. проф. Р.А. Шмойловой.— М.: Финан­сы и статистика, 1999.— С. 180—215.

3. Статистика: Курс лекций / Под ред.: В.Г.Ионина.— Новосибирск: Издательство НГАЭиУ, 1996-С. 128—147.

4. Теория статистики: Учебник / Под ред. проф. Р.А. Шмойловой.— М., 1996.

дополнительный

1. Луневе В.В. Юридическая статистика: Учебник.— М.: Юристъ, 1999.

2. Савюк Л.К. Правовая статистика: Учебник.— М.: Юристъ, 1999.

Библиографический список

основной

1. Общая теория статистики: Учебник / Под. Ред. чл.- корр. РАН И.И.Елисеевой.- М.: Финансы и статистика, 2000. - С. 156 - 190.

2. Практикум по теории статистики: Учеб. пособие / Под ред. проф. Р.А. Шмойловой.- М.: Финансы и статистика, 1999.- С. 159 - 168.

3. Статистика: Курс лекций / Под ред. В.Г.Ионина.- Новосибирск: Издательство НГАЭиУ, 1996.- С. 18 - 28.

4. Теория статистики: Учебник / Под ред. проф. Р.А. Шмойловой.- М: 1996.

дополнительный

1. Лунеев В.В. Юридическая статистика: Учебник.- М.: Юристъ, 1999.

2. Савюк Л.К. Правовая статистика: Учебник. - М: Юристъ, 1999.

 

ТЕМА 1.5. ПОКАЗАТЕЛИ ВАРИАЦИИ

 

1.5.1. Понятие вариации.

1.5.2. Показатели вариации.

1.5.3. Правило сложения дисперсии.

 

Понятие вариации

 

Вариация — это наличие различий у отдельных единиц сово­купности по какому-либо признаку.