Практическое занятие № 1. Определители и матрицы.

Задания АЗ-1.1: [14], часть 1, №№1-3, АЗ-1.2: [14], часть 1, №№1-2,

АЗ-1.3: [14], часть 1 №№1-2.

Методические рекомендации. Для решения данных задач АЗ-1.1 можно использовать формулы для вычисления определителей второго и третьего порядков. А также использовать методы вычисления определителей – приведение к треугольному виду и разложение определителя по элементам некоторого ряда. При решении задач АЗ-1.2 и АЗ-1.3 рекомендуется воспользоваться правилами проведения операции над матрицами и формулой вычисления обратной матрицы к заданной.

Пример1. Вычислить определитель n-го порядка:

Решение:

.

Пример 2. Вычислить АВ и ВА. Проверить равны ли произведения эти матриц.

.

Решение:

размерность матрицы -(4 4)

размерность матрицы - (2 2)

Пример 3. Найти обратную матрицу А матрицы А=

Решение: detA=40 0 матрицы А невырожденная можно найти А

Найдены A =(-1) M элементов а .

- транспонированная матрица, -присоединенная матрица,

Тогда .

Теперь проверим

Пример 4. Найти ранг матрицы

Решение: а) методом элементарных преобразований

в) методом окаймляющих миноров. Фиксируем ненулевой минор 2-го порядка

Рассмотрим окаймляющий минор 3-го порядка

- нельзя составить .

Осн.лит.: 14, часть 1, [9-7].

Доп. лит: 29, [182-188].

Контрольные вопросы:

1. Какие свойства определителей используются при их вычислении? Укажите основные правила вычисления определителей.

2. Приведите основные операции над матрицами. Как умножить матрицу на число? Как перемножаются матрицы?

3. Какими методами вычисляется ранг матрицы? Какой цели служит ранг матрицы?

Практическое занятие № 2. Система линейных алгебраических уравнений.

Задания. АЗ-1.4: [14], часть1, №№1-3, 5.

Методическиерекомендации. Прежде чем решать систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) нужно исследовать ее на совместность. Если для системы и то можно использовать формулы Крамера или матричный метод. Если же и то целесообразно пользоваться алгоритмом метода Гаусса.

Пример 1. Проверить совместность системы линейных уравнений.

Рассмотрим систему трех уравнений с тремя неизвестными

Решение: , , - матричная форма системы.

Проверим совместность системы по теореме Кронекера-Капелли

,

методом окаймляющих миноров, получим

, - система совместна и имеет единственное решение.

Пример 2. Решить систему уравнений.

а) методом Гаусса; б) методом Крамера, в) матричным методом.

Решение:

а) , , т.е. .

б) методом Крамера ,

в) матричным методом

матрица А невырожденная

Осн. лит. 14, [27-33]

Доп.лит. 29, [189-192].

Контрольные вопросы:

1. Как определить совместность СЛАУ?

2. Использование метода Гаусса при .

3. Как найти все множество решений неоднородной СЛАУ?