Лекция № 2. Обратная матрица. Ранг матрицы. Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).

Определение. Обратной матрицей для квадратной матрицы A называется такая матрица A^-1, что выполняется равенство A×A^-1=A^-1×A=E.

Определение. Квадратная матрица A, определитель которой равен нулю, называется вырожденной, матрица, определитель которой не равен нулю, называется невырожденной.

Определение. Присоединённой матрицей для квадратной матрицы A называется матрица , элементами которой являются алгебраические дополнения соответствующих элементов матрицы A, т.е.

Теорема об обратной матрице. Невырожденные матрицы и только они имеют обратные матрицы, которые находятся по формуле

(Здесь – присоединённая транспонированная матрица).

Ранг матрицы

Определение. Рангом матрицы A называется наибольший из порядков ее миноров, не равных нулю.

Он обозначается символом r(A) или rangA. r (A) – целое неотрицательное число, не превосходящее числа строк и столбцов матрицы A. Ранг нулевой матрицы считается равным нулю.

Элементарными преобразованиями для матрицы A называются следующие её преобразования.

1. Перестановка строк или столбцов местами.

2. Умножение строки или столбца на ненулевой коэффициент.

3. Прибавление к одной строке или столбцу матрицы другой её строки или столбца, умноженной на некоторое число .

4. Зачёркивание нулевой строки или столбца матрицы.

Матрица B, полученная из A с помощью элементарных преобразований, называется эквивалентной ей и обозначается в виде A~B.

Теорема. При элементарных преобразованиях ранг матрицы не изменяется.

Теорема. Ранг треугольной матрицы равен количеству ее ненулевых строк.

Определение. Системой из m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными называется система вида:

 

Здесь переменные x₁,x₂,...,x_n называются неизвестными системы, числа a_ij, где i=1,2,…,m, j=1,2,…,n называются коэффициентами системы, а числа b₁,b₂,...,b_m– свободными членами.

Числа x₁,x₂,...,x_n, обращающие все уравнения системы в тождества, называются решением системы. Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет ни одного решения.

В случае, если матрица A квадратная, матричная форма записи позволяет решить систему с использованием обратной матрицы A^-1.

Теорема. СЛАУ, имеющая квадратную невырожденную матрицу, имеет единственное решение, которое находится по формуле: X=A^-1B.

Метод решения СЛАУ с использованием соотношения X=A^-1B называется матричным методом решения.

Следствие. Пусть СЛАУ имеет квадратную матрицу A n -го порядка, |A|=D¹0. Пусть D_i – определитель матрицы системы, в которой вместо i -го столбца подставлен столбец свободных членов. Тогда эта система имеет единственное решение, которое находится по формулам , . Эти формулы называются формулами Крамера.