Общее уравнение кривой второго порядка. Поверхности второго порядка

1. Пусть на плоскости имеются две точки и , называемые фокусами на расстоянии друг от друга ( – фокусное расстояние). Для определенности расположим их на оси симметрично относительно начало координат, т.е. и . Пусть 2a>2c

Определение. Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, сумма расстояний, от которых до двух выбранных фокусов, постоянна и равна .

2. В частном случае, когда фокусное расстояние эллипса , два фокуса эллипса совпадают с его центром. При этом и каноническое управление эллипса принимает вид

или .

Это уравнение называется каноническим уравнением окружности радиуса а. У окружности эксцентриситет , а директрисы отсутствуют.

Уравнение окружности радиуса а с центром в точке имеет вид:

.

Определение. Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, разность расстояний от которых до двух выбранных фокусов постоянна и равна .

И каноническим уравнением гиперболы записывается так:

, где .

Число а называется действительной полуосью гиперболы, а число – ее мнимой полуосью.

Определение. Прямая называется асимптотой кривой , если расстояние от точки на кривой до этой прямой стремится к нулю при удалении точки вдоль кривой в бесконечность.

Определение. Параболой называется геометрическое место точек плоскости, расстояние от которых до фокуса совпадает с расстоянием до директрисы.

Определение. Кривой второго порядка называется множество точек плоскости, декартовы координаты которых удовлетворяют уравнению .

Здесь хотя бы одно из чисел отлично от нуля. Это уравнение называется общим уравнением кривой второго порядка.

Если на плоскости должным образом выбрать систему координат , то в этой системе координат уравнение кривой примет канонический вид одной из кривых, рассмотренных выше (кроме нескольких вырожденных случаев).

Теорема. Для любой кривой второго порядка найдется декартова система координат , в которой уравнение кривой примет один из следующих видов. (Здесь ).

1) - (эллипс);

2) - (гипербола);

3) - (парабола);

4) - (точка );

5) или (пустые множества);

6) (пара пересекающихся прямых) и .

7) (пара параллельных прямых ).

8) (прямая – ось ).

Рассмотрим вначале частные виды поверхностей, определяемых в пространстве уравнениями, в которых неизвестные присутствуют только в первой или во второй степени.

1. Пусть в пространстве имеется кривая и прямая .

Определение. Цилиндрической поверхностью (цилиндром) с направляющей и образующей называется геометрическое место точек пространства, лежащих на прямых, проходящих через точки параллельно

 

 

1.1. Эллиптический цилиндр имеет направляющей эллипс и каноническое уравнение

1.2 Гиперболический цилиндр имеет направляющей гиперболу и каноническое уравнение

1.3. Параболический цилиндр имеет направляющей параболу и каноническое уравнение

1.4. Уравнение определяет ось

1.5. Уравнения и - пустое множество.

1.6. Уравнение - пара пересекающихся по оси плоскостей

1.7. - пара плоскостей, параллельных .

1.8. - плоскость .

Все перечисленные поверхности называются цилиндрическими поверхностями второго порядка.

Пусть в пространстве имеется кривая и точка , не лежащая на .

Определение. Конической поверхностью (конусом) с направляющей и вершиной называется геометрическое место точек пространства, лежащих на прямых, проходящих через и пересекающих .

2. Поверхность, определяемая каноническими уравнениями

называется эллипсоидом, а числа – его полуосями.

3. Поверхность, определяемая каноническим уравнением

(a, b, c>0),

называется двуполостным гиперболоидом.

4. Поверхность, определяемая каноническим уравнением , , называется однополостным гиперболоидом..

Поверхность, имеющую форму однополостного гиперболоида можно целиком составить из прямых линий. Строительные конструкции такой формы обладают большой прочностью при относительной простоте изготовления. Так первая телебашня в г. Москве составлена из кусков гиперболоидов, каждый из которых построен из прямолинейных металлических форм (см. рисунок).

5. Поверхность, определяемая каноническим уравнением ,

называется эллиптическим параболоидом.

6. Поверхность, определяемая каноническим уравнением

,

называется гиперболическим параболоидом.

Так же, как и однополостный гиперболоид, с помощью конструкций в виде гиперболического параболоида, составленных из прямолинейных балок осуществляют строительство перекрытий больших размеров, например, крыш над стадионами.

7. Определение. Поверхностью второго порядка называется множество точек пространства, декартовы координаты которых удовлетворяют уравнению

Здесь хотя бы один коэффициент должен быть отличен от нуля.

Рисунок

Заметим, что все рассмотренные выше поверхности подходят под это определение. Оказывается, что этими поверхностями и исчерпываются поверхности второго порядка.

Теорема. Любая поверхность второго порядка в пространстве является одной из следующих поверхностей:

1) одной из цилиндрических поверхностей второго порядка;.

2) конусом второго порядка

3) Эллисоидом

4) одно – или двуполостным гиперболоидом;

5) эллиптическим или гиперболическим параболоидом.

Найдется, такая декартова система координат , в которой уравнение поверхности принимает канонический вид.

 

Осн. лит.: 1, [135-172], [121-138], 19, [52-58]

Доп. лит.: 29, [206-209], 30, [143-204].

Контрольные вопросы:

1. Определение эллипса как геометрического места точек.

2. Определение уравнение параболы, гиперболы

3.Общее уравнение поверхности второго порядка

4. Какая поверхность называется цилиндрической?

5. Из какой поверхности составлено 1-ая телебашня в г. Москве?