Практическое занятие №15. Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка 


Мы поможем в написании ваших работ!



ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

Практическое занятие №15. Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка



Задания. АЗ-2.2 [14] часть 1, №№1-7, АЗ-2.3 [14], №№1-7.

Методические рекомендации. При нахождении решения линейного уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка надо знать их типы:

1.Общее решение уравнения вида находим методом n- кратного интегрирования. После n- кратного интегрирования получаем общее решение уравнения.

2.Пусть дифференциальное уравнение n-го порядка не содержит искомой функции и ее производных до (к-1) –го порядка включительно. Вводим новую известную функцию z(x) по формуле z=y(k).

3.Дифференциальное уравнение n-го порядка, не содержащее явно аргумент x. В этом случае порядок уравнения всегда можно понизить на единицу, введя новую функцию p(y)=y\

Пример 1. Найти общее решение уравнения .

Согласно формуле и правилам интегрирования, имеем

.

Далее в соответствии с решением находим

Проинтегрировав последнее равенство еще два раза, получим общее уравнение исходного уравнения

,

Осн. лит. 14, часть 2, [259-264]

Доп. лит. 29, [ 330-342], [344-350].

Контрольные вопросы:

1. Типы уравнений высших порядков, допускающие понижение порядка.

2. Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка

2.4 Планы занятий в рамках самостоятельной работы студентов (СРСП)

Задания Форма проведения Методические рекомендации Рекомен. литература
  Вычисление определителей высших порядков. Вычисления ранга матрицы.   Тренинг Необходимо понизить порядок определителя обнуляя элементы строки или столбца. При вычислении ранга можно применить метод нулей и единиц. осн.: 15, [.40-43], доп.:29, [182-188]
  Системы линейных однородных алгебраических уравнений Тренинг. Контроль Рассмотреть случай когда ранг матрицы системы меньше числа неизвестных (т.е. < ). осн.:15, [44-46], доп.:29, [189-192]
  Линейные операции над векторами. Проекции вектора на ось. Тренинг Использование правил треугольника и параллело-грамма. Использование определение проекции. осн.:15, [48-50], доп.:30, [41-109]
  Приложение скалярного, векторного и смешанного произведения векторов. Тренинг Контроль Вычисление равнодейст-вующей и вращающего момента силы. Вычисление объемов фигур. осн.:15, [51-55], доп.:30, [110-142]
  Решение геометрических задач алгебраическими методами. Тренинг   Определение составляю-щих геометрических фигур на плоскости. осн.:15, [15-25], доп.:29, [37-239]
  Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве. Тренинг Контроль Рассматривается взаимное расположение между направляющими векторами прямых и нормальными векторами плоскостей. осн.:15, [57-65], доп.:29, [244-247].  
  Построение кривых и поверхностей второго порядка. Тренинг Параметры входящие в канонические уравнения позволяют построить кривые и поверхности второго порядка. осн.:15, [26-30], [68-73], доп.: 29, [239-243], [247-251].
  Сложная, обратная и неявная функция. Устный опрос. Тренинг По виду аналитического задания функции определить свойства. осн.: 15, [150-154], доп.:29, [255-261].
  Применение теорем о пределах. Исследование функции на непрерывность. Консультация Тренинг Использовать методы вычисления пределов. Применять определения односторонних пределов oсн.: 15, [155-164], доп.:29, [261-267].
  Вычисление производной неявной функции. Метод логарифмического дифференцирования. Тренинг. Контроль Метод основан на последо-вательном применении ло-гарифмирования и диффе-ренцирования функции. осн.:15, [165-174], доп.:29, [272-275]
  Вычисление пределов с применением правило Лопиталя. Разложение многочлена по формуле Тейлора. Консуль-тация Тренинг Рассмотреть устранение не-определенностей путем многократного дифферен-цирования функции. осн.:15, [181-188], доп.:29, [264-277].
  Построение графиков функции по характерным точкам. Тренинг. Контроль Целесообразно выполнение операций исследования сопровождать постепенным построением графика функции. осн.:15, [196-197], доп.:29, [277-279].  
  Интегрирование простейших рациональных дробей. Консультация. Тренинг При вычислении интегралов вида (, ) использовать рекуррентную формулу. oсн.:15, [235-240], доп.:29, [297-301].  
  Интегрирование иррациональных выражений с помощью тригонометрических подстановок Тренинг Интегралы приводятся к интегралам от рациональной функции тригонометрическими подстановками и , соответственно. oсн.:15, [246-259], доп.:29, [297-305]
  Системы дифференциальных уравнений. Тренинг. Контроль Рассмотреть метод инте-грирования системы диф-ференциальных уравнений с постоянными коэффи-циентами с помощью матриц (видоизмененный метод Эйлера) осн.:15, [.264-268] доп.:29, [305-310].  

 

2.5 Планы занятий в рамках самостоятельной работы студентов (СРС)

Задания Методические рекомендации Рекомен. литература
  Определители и их свойства. Вычисление определителей. Матрицы и операции над ними. Обратные матрицы. Для решения данных задач можно использовать формулы для вычисления определителей второго и третьего порядков. А также использовать методы вычисления определителей. 14, часть 1, ИДЗ-1.1 (1,2)
  Методы решения систем линейных алгебраических уравнений Использовать алгоритмы метода Крамера, матричного метода и Гаусса. 14, часть 1, ИДЗ-1.2 (1,4)
  Векторы. Линейные операции над векторами При решении задач рекомендуется использовать правила вычисления координат векторов их длин, проекции вектора на ось а также линейные операции над векторами. 14, часть 1, ИДЗ- 2.1 (2)
  Скалярное произведение векторов. И его приложения. Векторное и смешанное произведения векторов и их приложения Для вычисления скалярного, векторного и смешанного произведения использовать их определения и формулы вычисления через координаты перемножаемых векторов. 14, часть 1, ИДЗ-2.2 (1,2,3)
  Прямая на плоскости. Для прямой на плоскости использовать различные виды уравнений прямой. 14, часть 1, ИДЗ-3.2 (1)
  Прямая в пространстве. Прямая и плоскость Уравнение плоскости в пространстве составляется в зависимости от способа ее задания. 14, часть 1, ИДЗ-3.1 (1)
  Линии второго порядка. Поверхности второго порядка Вид кривых и поверхностей второго порядка определяет их каноническое уравнение. 14, часть 1, ИДЗ-4.1 (1), ИДЗ-4.2 (1).
  Предел функций При нахождении предела функции используются методы непосредственного вычисления и устранения неопределенностей путем преобразования данного выражения. 14, часть 1, ИДЗ-5.1 (1-9)
  Непрерывность функций Непрерывность функции в точке устанавливается согласно определению. Для анализа возможных точек разрыва вычисляются односторонние пределы. 14, часть 1, ИДЗ-5.2 (1-4)
  Производная функции. Дифференциал При нахождении производной функции необходимо применять правила дифференцирования и таблицу производных. 14, часть 1, ИДЗ-6.1 (1-10) ИДЗ-6.2 (1-4)
  Правило Лопиталя Правило Лопиталя. нужно использовать для раскрытия неопределенностей вида и . 14, часть 1, ИДЗ-6.3 (1-4)
  Исследование поведения функций и их графиков Для полного исследования поведения функции необходимо определить все характерные точки и характерные линии. 14, часть 1, ИДЗ-6.4 (2)
  Неопределенный интеграл. Метод подстановки. Интегрирование по частям При нахождении неопределенных интегралов используются их свойства и таблица интегралов. 14, часть 2, ИДЗ 8.1 (1-14); ИДЗ 8.2 (1-3);
  Интегрирование рациональных, иррациональных и тригонометрических функций Для интегрирования рациональных, иррациональных и тригонометрических функций от иррациональностей нужно выбрать правильную подстановку. 14, часть 2, ИДЗ 8.2 (4-10); ИДЗ 8.4 (1-9)
  Определенный интеграл и его приложение. Несобственные интегралы. При вычислении определенного интеграла нужно использовать формулу Ньютона-Лейбница. Вычисление несобственных интегралов основано на его определении. 14, часть 2, ИДЗ 9.1 (1-8), ИДЗ 9.2 (1-2),

Варианты тестовых заданий для самоконтроля

1. Определитель второго порядка равен

A) ; B) ; C) ; D) ; E) .

2. Если к элементам какой-либо строки прибавить соответствующие элементы другой строки умноженные на число , то определитель

A) не изменится; B) изменит знак; C) не изменит знак; D) увеличится в -раз;

E) уменьшится в -раз.

3. Система линейных уравнений называется однородной, если

A) свободные члены всех уравнений системы равны нулю;

B) свободные члены всех уравнений системы не равны нулю;

C) она имеет единственное решение; D) она имеет бесконечное множество решений;

E) имеет тривиальное решение.

4. Скалярное произведение векторов то равно

A) ; B) ; C) ; D) ; E) .

5. Указать необходимое и достаточное условие коллинеарности векторов и

A) ; B) ; C) ; D) ; E) .

6. Тангенс угла между прямыми и равен:

A) ; B) ; C) ; D) ; E) .

7. Если плоскость проходит через точку перпендикулярна вектору , то ее уравнение

A) ; B) ;

C) ; D) ; E) .

8. Найти , если ;

A) ; B) ; C) ; D) ; E) .

9. Найти , если

A) ; B) ; C) ; D) ; E) .

10. Найти , если даны: .

A) ; B) ; C) ; D) ; E) .

11. Написать уравнение прямой, проходящей через точку параллельно вектору

A) ; B) ; C) ;

D) ; E) .

12. Определить расстояние от точки до плоскости

A) 2; B) -2; C) 1; D) 0; E) -1.

13. Найти точку пересечения плоскости с осью

A) ; B) ; C) ; D) ; E) .

14. Найти точку пересечения прямых

A) ; B) ; C) ; D) ; E) .

15. Вычислить предел:

A) 0; B) 1; C) -1; D) 2; E) 3.

16.Вычислить предел:

A) ; B) C) D) E)

17.Вычислить предел:

A) B) C) D) 0 Е)

18. Вычислить предел:

A) –2; B) 0; C) 5; D) ; E)

19. Указать формулу дифференциала функции

A) ; B) ; C) ; D) ; E) .

20. Найти производную функции

A) ; B) ; C) ; D) ; E) .

21. Используя правило Лопиталя, найти предел

A) -1; B) ; C) 1; D) ; E) 0.

22. Найти производную функции , заданной параметрически:

A) ; B) ; C) ; D) ; E) .

23. Чему равен , если

A) ; B) ; C) ; D) ;

E) .

24. Вычислить интеграл

A) ; B) ; C) ; D) ;

E) .

25. Вычислить интеграл

A) ; B) ; C) ; D)

Е) .

26. Вычислить интеграл

A) ; B) ; C) ; D) ; E) .

27. Вычислить интеграл

A) ; B) ; C) ;

D) ; E)

28. Найдите интеграл

A) ; B) ; C) ; D) ; E) правильного ответа нет

29. Вычислите интеграл

A) ; B) ; C) ; D) ; E) .

30. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями .

A) ; B) ; C) 1; D) 1,5; E) правильного ответа нет.

 

                                 
ответы А А А А А А А А А А А А А А А А А

 

                         
ответы А А А А А А А А А А А А А

 

2.9 Экзаменационные вопросы по курсу

1. В чем отличие матрицы от определителя? Укажите действия над матрицами.

2. В каком случае возможно умножение двух матриц?

3. Что такое вектор? Дайте определение модуля вектора.

4. В чем отличие скалярного произведения от векторного произведения векторов? Перечислите основные свойства скалярного и векторного произведений.

  1. В чем заключается механический смысл скалярного произведения?
  2. Что называется смешанным произведением?

7. В чем заключается геометрический смысл смешанного произведения?

8. Укажите условие коллинеарности двух векторов.

9. В чем заключается метод Гаусса решения систем линейных уравнений?

10. Матричный способ решения систем линейных уравнений. Когда он применяется?

11. Что называется рангом матрицы? Какой цели служит ранг матрицы?

12. Какие системы линейных уравнений называются совместными?

14. Геометрический смысл углового коэффициента в уравнении прямой

на плоскости.

15. Условие параллельности двух прямых на плоскости. Условие

перпендикулярности прямых на плоскости.

16. Угол между плоскостью и прямой.

17. Каноническое уравнение параболы. Что такое директриса?

18. Определение эллипса как геометрического места точек.

19 В чем заключается метод сечений?

20. Какая поверхность называется цилиндрической?

21. Дайте определение функции. Что называется областью определения функции?

22. Какая функция называется элементарной, сложной? Приведите примеры.

23. Сформулируйте определения предела последовательности, предела функции при стремлении аргумента к некоторому конечному пределу и предела функции при стремлении аргумента к бесконечности.

24. Какая функция называется бесконечно малой и каковы ее основные свойства?

25. Основные теоремы о пределах функций.

26. Первый замечательный предел. Сформулируйте определение числа е (второй замечательный предел).

27. Сформулируйте определения непрерывности функции в точке и на отрезке. Какие точки называются точками разрыва функции.

28. Сформулируйте основные свойства функций, непрерывных на отрезке и дайте геометрическое истолкование этим свойствам.

29. Сформулируйте определение производной. Каков ее механический и геометрический смысл?

30. Сформулируйте правило логарифмического дифференцирования. Приведите пример.

31.Теорема о производной обратной функции. Формулы дифференцирования обратных тригонометрических функций.

32.Сформулируйте определение дифференциала функции. В чем заключается свойство инвариантности формы дифференциала функции? На чем основано применение дифференциала в приближенных вычислениях?

33.Сформулируйте определения производной и дифференциала высших порядков.

34.Сформулируйте теорему Ролля, теорему Лагранжа. Геометрический смысл.

35.Сформулируйте определение точки экстремума функции. Два правила для отыскания экстремумов функции.

36.Изложите схему общего исследования функции и построения ее графика.

37. Что называется кругом и центром кривизны, эволютой и эвольвентой плоской линии? Приведите пример.

38.Что такое первообразная?

39.Дайте определение неопределенного интеграла.

40.Формула интегрирования по частям.

41.Интегрирование функций, содержащих квадратный трехчлен.

42.Интегрирование рациональных функций.

43.Интегрирование иррациональных функций.

44.Какая подстановка называется универсальной тригонометрической?

45.Дайте определение определенного интеграла.

46.Формула Ньютона-Лейбница.

47.Вычисление площадей с помощью определенного интеграла.

48.Длина дуги кривой.

49.Вычисление объема тела вращения.

50.Вычисление площади поверхности вращения.

51. Из каких условий можно получить формулы для определения коэффициента линейной зависимости?

52. Общий вид дифференциального уравнения первого порядка, записанной через дифференциалы.

53. Как запишется дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными?

54. Дайте определение однородной функции степени .

55. Каким способом можно решить линейное дифференциальное уравнение 1- порядка?

56. Напишите общий вид линейного однородного уравнения второго порядка.

 

 

ГЛОССАРИЙ



Поделиться:


Последнее изменение этой страницы: 2017-01-19; просмотров: 231; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 44.223.31.148 (0.178 с.)