Свойства смешанного произведения.

1⁰ Смешанное произведение векторов равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах:

Здесь знак “+” берется в случае, если тройка векторов - правая, “-” если она левая.

2⁰ Векторы - являются компланарными только в том случае, когда их смешанное произведение равно 0:

3⁰ При перестановке местами любых двух векторов смешанного произведения оно меняет свой знак на противоположный; т.е.

4. Постоянный сомножитель можно выносить из любого сомножителя смешанного произведения, т.е. для любых векторов и числа .

5. Смешанное произведение дистрибутивно для любого сомножителя, т.е. для любых векторов верно: .

Теорема. Пусть в базисе векторы имеют координаты соответственно , и , тогда их смешанное произведение записывается в виде определителя:

.

Осн. лит.: 1, [34-48], 19, [12-20, 66-72, 83-87]

Доп. лит.: 30, [41-109].

Контрольные вопросы

1.В чем отличие скалярного произведения от векторного произведения векторов? Перечислите основные свойства скалярного и векторного произведений.

2. Что называется смешанным произведением?

3. Укажите условие коллинеарности двух векторов.

Лекция № 4. Аналитическая геометрия.

Плоскость

Пусть плоскость проходит через три точки , и , не лежащие на одной прямой. Тогда векторы и являются направляющими для плоскости , подставив их координаты в уравнение с направляющими векторами, получим: .

Это уравнение называется уравнением плоскости, проходящей через три заданные точки.

Теорема. Любая плоскость в пространстве определяется своим общим уравнением вида , где , задает некоторую плоскость в пространстве.

Определение. Вектор , перпендикулярный плоскости , называется нормальным вектором этой плоскости.

Теорема о нормальном векторе плоскости. Вектор с координатами является нормальным для плоскости с уравнением в пространстве .

Следствие 1. Косинус угла между плоскостями

и

с нормальными векторами и находится по формуле:

.

Следствие 2. Эти плоскости перпендикулярны только в том случае, когда

.

Следствие 3. Эти плоскости параллельны только в том случае, когда

.

Если же , то плоскости и совпадают.

Пусть плоскость проходит через точку перпендикулярно вектору . Возьмем на плоскости произвольную точку M(x,y,z) и составим вектор = . При любом расположении точки М на плоскости вектора и взаимно перпендикулярны, поэтому их скалярное произведение равно нулю. =0. Тогда .

Это уравнение называется уравнением плоскости с нормальным вектором.

Пусть плоскость не проходит через начало координат и пересекает оси в точках с координатами и соответственно. Тогда уравнение этой плоскости имеет вид: .

Это уравнение называется уравнением плоскости в отрезках

Теорема. Расстояние от точки до плоскости определяется формулой:

.

Осн. лит.: 1, [49-71], 9, [23-33]

Доп. лит.: 29, [199-206]

Контрольные вопросы

1. Условие параллельности плоскостей.

2. Условие перпендикулярности плоскостей.

3. Расстояние от точки до плоскости