Схема исследования и построения графика функции

Чтобы исследовать функцию y=f (x) и построить ее график, действия рекомендуется проводить в следующем порядке.

1.Нахождение области определения функции. Исследование на четность, нечетность, периодичность. Нахождение точек пересечения графика с осями координат.

2. Исследование функции на непрерывность. Вычисление пределов функции при , стремящемся к границам области определения и к точкам разрыва.

3.Нахождение асимптот функции.

4.Вычисление f ' (x) и исследование ее знаков. Нахождение интервалов возрастания, убывания и экстремумов.

5.Вычисление f ''(x) и исследование ее знаков. Нахождение интервалов направления выпуклости и точек перегиба.

6.Построение таблицы, в которой указываются все найденные точки разрыва, критические точки первого и второго порядка и интервалы между ними. В каждом интервале характеризуется поведение функции.

7.Построение графика функции с учетом ее асимптот и таблицы. При необходимости можно вычислить промежуточные значения функции.

Пример. Исследовать функцию и построить ее график.

1. Функция определена в области D=(-¥,0) È (0, ¥). С осями координат график не пересекается, так как при х=0 она не определена и f(x)>0"xÎD. Функция не является четной, нечетной и периодичной.

2. Функция непрерывна в своей области определения, х₀ = 0 – ее точка разрыва.

Следовательно, прямая х = 0 – вертикальная асимптота

3. , . Поэтому прямая y==1 является правой и левой наклонной асимптотой функции.

4. Знаки этой производной следующие (рис.1).

 

 

 

Поэтому на промежутках (-¥,0) и (0,¥) функция убывает.

Критических точек и экстремумов нет.

Знаки f ''(x) (рис.2)

 

o

 

 

В промежутке функция выпукла вверх, в промежутках , она выпукла вниз. Критическая точка второго порядка является точкой перегиба функции.

X	(-¥,- )	-	(- ,0)		(0, +¥)
f '(x)	¾	¾	¾	не $	¾
f ''(x)	¾		+	не $	+
f (x)				не $

точка точка
перегиба разрыва 2-го рода

Построение графика начинаем с асимптот и критических точек, затем пользуемся таблицей (рис.3).

 

Осн. лит.: 2, [178-203], 19, [209-219]

19, [52-58].

Контрольные вопросы:

1.Нахождение экстремума функции с помощью первой производной

2. Нахождение точки перегиба функции

3. Формула нахождения асимптоты графика функции

4. Изложите схему общего исследования функции и построения ее графика.

 

Лекция № 10. Первообразная. Неопределенный интеграл, его свойства. Таблица основных интегралов.

Основные определения

Определение.Первообразной для функции , определенной в интервале , называется такая функция , производная которой совпадает с в интервале , т.е. .

Другими словами, нахождение первообразной для данной функции есть задача обратная к задаче нахождения ее производной.

Пример 1. Первообразной для функции , на является функция , т.к. . Заметим, что это не единственная первообразная у данной функции. Функции , , а также любая функция (С-число), являются первообразными для функции .

Теорема 1. Если и две первообразные для функции на , то найдется такое число С, что .

Определение. Множество всех первообразных для функции на интервале называется неопределенным интегралом этой функции.

Он обозначается символами , где знак интеграла, - дифференциал переменной . Если какая-либо первообразная функции , то

, .

В дальнейшем для краткости мы не будем упоминать интервал определения первообразной.

Неопределенные интегралы являются основным инструментом для нахождения определенных интегралов, имеющих широкие применения практически во всех приложениях математики. В этой главе мы рассмотрим методы нахождения различных неопределенных интегралов. Сразу следует заметить, что в отличие от производных, нет алгоритма нахождения любого неопределенного интеграла, а некоторые интегралы вообще нельзя выразить с помощью элементарных функций.