Формальний аналіз індивідуального стимулювання

Розглянемо організаційну систему (ОС), що складається з одного керуючого органу – центра – на верхньому рівні ієрархії й одного керованого суб'єкта – агента –на нижньому рівні. Учасники організаційної системи (центр і агент) мають властивість активності, тобто здатність самостійного вибору дій (стратегій).

Стратегією агента є вибір дії у, що належить множині допустимих дій : . Дією агента може бути кількість годин, що відпрацьовуються, обсяг виготовленої продукції тощо. Множина допустимих дій є набором альтернатив, із яких агент виконує свій вибір, наприклад, діапазон можливої тривалості робочого часу, невід'ємний та який не перевищує технологічних обмежень обсяг виробництва тощо.

Стратегією центра є вибір функції стимулювання , яка належить допустимій множині : і яка ставить у відповідність дії агента певну невід’ємну винагороду, що виплачується центром. Множина допустимих винагород може обмежуватися як законодавчо (наприклад, як мінімальним розміром оплати праці), так і розуміннями економічної ефективності діяльності центра, тарифно-кваліфікаційними вимогами до оплати праці даного агента і т.п.

Вибір дії вимагає від агента витрат і приносить центру дохід . Інтереси учасників організаційної системи (центра та агента) відображаються їхніми цільовими функціями відповідно і (функціями виграшу, корисності і т.п.), які представляють: для агента – різницю між стимулюванням і витратами:

, (2.31)

і для центра – або дохід від діяльності агента (задача стимулювання першого роду):

, (2.32)

або різницю між доходом і витратами центра на стимулювання – винагородою, виплачуваною агентові (задача стимулювання другого роду чи детермінована задача теорії контрактів):

. (3.33)

Введемо ряд означень.

Механізмом функціонування організаційної системи називається сукупність правил, законів і процедур, які регламентують взаємодію учасників системи. Механізмом стимулювання називається правило прийняття рішень центром щодо стимулювання агента. Механізм стимулювання містить систему стимулювання, яка може бути визначеною функцією стимулювання. Надалі при побудові моделей терміни "механізм стимулювання", "система стимулювання" і "функція стимулювання" вживаються як синоніми.

Після того, як ввели цільові функції, що відображають переваги учасників організаційної системи, доцільно обговорити різницю в описі морального і матеріального стимулювання. Наявність скалярної цільової функції передбачає існування єдиного еквівалента, в якому виміряються всі компоненти цільових функцій (витрати агента, дохід центра і, природно, самостимулювання).

У випадку коли мова йде про матеріальну винагороду агента, таким еквівалентом є гроші. Інтерпретації доходу центра при цьому очевидні. Складніше справа йде із витратами агента, адже не завжди можна адекватно виразити в грошових одиницях, наприклад, задоволення агента роботою і т.п.

З економічної точки зору витрати агента можна інтерпретувати як грошовий еквівалент тих зусиль, які агент повинен витратити для виконання тієї чи іншої дії. В рамках такої інтерпретації цілком природно виглядає ідея компенсації витрат – винагорода з боку центра повинна, як мінімум, компенсувати витрати агента.

Якщо витрати агента вимірюються в певних одиницях «корисності» (яка враховує, наприклад, фізичну втому, моральне задоволення від результатів праці тощо), відмінних від грошових одиниць, то для можливості додавати чи віднімати корисності при введенні цільової функції типу (3.21) необхідно визначити корисність винагороди. Наприклад, якщо використовується матеріальне стимулювання, то можна ввести функцію корисності , яка відображала б корисність грошей для розглядуваного агента. Цільова функція агента при цьому набирає вигляду:

.

Введемо ряд припущень.

А. 1. Множина допустимих дій агента є невід'ємними дійсними числами (кількість відпрацьованих годин, обсяг виготовленої продукції тощо).

А.2. Функція витрат агента не є спадною. Звідси випливає, що вибір великих дій вимагає не менших витрат, наприклад, витрати можуть зростати зі зростанням обсягу продукції, яка випускається.

А.2'. Функція витрат агента неперервна, витрати від вибору нульової дії дорівнюють нулю. З цього припущення випливає, що крім зростання витрат, "нульова" дія (відсутність діяльності агента) не вимагає витрат.

А.2". Функція витрат агента неперервно диференційована, опукла і має в нулі нульове значення похідної. Припущення А.2" додатково вимагає, аби витрати змінювалися досить плавно, причому граничні витрати зростають зі зростанням дії, тобто кожний наступний приріст дії на ту саму величину вимагає все більших витрат. При цьому слід зазначити, що на сьогоднішній день ні в економіці, ні в психології, ні в теорії управління не існує задовільних методів побудови подібних функцій корисності. Крім того, необхідно підкреслити, що згадана функція корисності не має явного відношення до аксіоматики фон‑Неймана і функцій корисності, які відображають відношення агента до ризику у ймовірнісних задачах стимулювання.

А.3. –множина додатнозначних кусково-неперервних функцій.

А.3'. – множина додатнозначних кусково-неперервних функцій, обмежених зверху .

Припущення А.3 і А.3' накладають обмеження на можливі залежності винагороди агента від його дії – ці залежності повинні бути або "не дуже" розривними (припущення А.3), або, на додаток, обмежені зверху (припущення А.3'). Величина (обмеження механізму стимулювання) може інтерпретуватися як фонд заробітної плати.

А.4. Функція доходу центра неперервна і . Це припущення накладає мінімальні обмеження на функцію доходу центра, вимагаючи, аби при виборі агентом нульової дії (яка через припущення А.2' вимагає від останнього нульових витрат, тобто відповідає відсутності взаємодії з центром) центр не мав доходу, але й не мав збитків.

Раціональна поведінка учасника організаційної системи полягає в максимізації вибором стратегії цільової функції з урахуванням усієї наявної інформації.

Визначимо інформованість гравців і порядок функціонування. Будемо вважати, що на момент ухвалення рішення (вибору стратегії) учасникам організаційної системи відомі всі цільові функції і всі допустимі множини. Специфіка теоретико-ігрової задачі стимулювання полягає в тому, що в ній фіксований порядок ходів. Центр – метагравець – має право першого ходу, повідомляючи агенту вибрану ним функцію стимулювання, після чого при відомій стратегії центра агент вибирає свою дію, яка максимізує його цільову функцію.

В економіці граничними витратами прийнято називати похідну функції витрат.

Інформованістю гравця називається та інформація, яку він має на момент прийняття рішень. Порядком функціонування називається послідовність одержання інформації і вибору стратегій учасниками організаційної системи.

Приклад 1. Розглянемо спрощену модель трудового контракту, який укладається між працівником (агентом) і певною організацією (центром), який є, як правило, документом, у якому відображене таке: центр зобов'язується забезпечити умови роботи і виплатити винагороду, прямо або опосередковано залежну від результатів діяльності (дій) агента. Крім цього, в контракті обумовлюються права та обов'язки працівника, в тому числі – які дії він може і зобов'язується виконувати і т.п.

Таким чином, стратегією центра є вибір системи стимулювання, стратегією агента – вибір дії. Умови контракту (його зміст) відомі обом сторонам. Інформованість учасників така. На момент прийняття рішень про встановлювану систему стимулювання для того чи іншого працівника центр має певну інформацію про те, які дії цей працівник може виконувати (множину його допустимих (можливих) дій) і про переваги працівника (його цільової функції) на цій множині. Крім цього, центрові, безумовно, відомі власні переваги та обмеження на множині допустимих функцій стимулювання. Агент на момент ухвалення рішення про те, яку дію йому варто виконати, знає свої переваги і множину своїх можливих дій, а також вибрану центром систему стимулювання, тобто функціональну залежність винагороди від дій. Порядок функціонування такий: складається контракт, потім працівник виконує свою дію, після чого відбуваються виплати.

Оскільки значення цільової функції агента залежить як від його власної стратегії – дії, так і від функції стимулювання, то в рамках прийнятої гіпотези раціональної поведінки агент буде виконувати дії, які при заданій системі стимулювання максимізують його цільову функцію. Зрозуміло, що множина таких дій, яка називається множиною реалізованих дій, залежить від використовуваної центром системи стимулювання. Основна ідея стимулювання саме й полягає в тому, аби, варіюючи систему стимулювання, центр міг спонукати агента виконати ті чи інші дії.

Оскільки цільова функція центра залежить від дії, вибраної агентом, то ефективністю системи стимулювання називається максимальне або мінімальне значення цільової функції центра на множині дій агента, реалізоване даною системою стимулювання.

Отже, задача стимулювання полягає в тому, аби вибрати оптимальну систему стимулювання, тобто систему стимулювання, яка має максимальну ефективність. Наведемо формальні означення. Множина дій агента, яка забезпечує максимум його цільовій функції, називається множиною рішень гри або множиною дій, реалізованих даною системою стимулювання:

(2.34)

Знаючи, що агент вибирає дії з множини (3.24), центр повинен знайти систему стимулювання, яка максимізувала б його власну цільову функцію. Оскільки множина може містити більше однієї точки, необхідно довизначити (з погляду припущень центра про поведінку агента) вибір агента. Якщо виконано гіпотезу доброзичливості, яка, будемо вважати, має місце, то агент вибирає з множини (2.34) найбільш сприятливу для центра дію. Альтернативою для центра є розрахунок на найгірший для нього вибір агента з множини розв'язків гри.

Гіпотеза доброзичливості полягає в наступному: якщо агент байдужий між вибором декількох дій (наприклад, дій, на яких досягається глобальний максимум його цільової функції), то він вибирає з цих дій ту, яка найбільш сприятлива для центра, тобто дію, яка надає максимум цільовій функції центра.

Відповідно, розрізняють ефективність системи стимулювання :

(2.35)

і її гарантовану ефективність

, (2.36)

де визначається або із (2.32), або із (2.33) (відповідно, до задачі стимулювання першого чи другого роду).

Пряма задача синтезу оптимальної системи стимулювання полягає у виборі допустимої системи стимулювання, яка має максимальну ефективність (або максимальну гарантовану ефективність):

; (2.37)

. (2.38)

Відзначимо, що розв'язки задач (2.37) і (2.38) у загальному вигляді не збігаються.

Обернена задача стимулювання полягає у пошуку множини систем стимулювання, які реалізують задану дію, або в більш загальному випадку - задану множину дій . Наприклад, у рамках допущення А.3' при обернена задача може полягати в пошуку множини систем стимулювання, які реалізують цю дію, тобто . Визначивши ,центр має можливість знайти в цій множині "мінімальну" систему стимулювання, тобто реалізуючу задану дію з мінімальними витратами на стимулювання, або систему стимулювання, якій притаманні якісь інші задані властивості, наприклад – монотонність, лінійність і т.п.

Варто зазначити, що введені припущення погоджені в такому розумінні. Агент завжди може вибрати нульову дію, яка не вимагає від нього витрат (припущення А.2’) і яка приносить нульовий дохід центру (припущення А.4). В той же час, центр має можливість нічого не платити агенту за вибір цієї дії (припущення А.3).

В усіх змістовних інтерпретаціях теоретико-ігрових моделей стимулювання передбачається, що в агента є альтернатива зберегти статус-кво, тобто не вступати у взаємини з центром (не укладати трудового контракту). Відмовляючись від участі в даній організаційній системі, агент не одержує винагороди від центра і завжди має можливість вибрати нульову дію, забезпечивши собі не додатне (точніше – нульове) значення цільової функції.

Якщо поза даною організаційною системою агент може гарантовано одержати корисність (обмеження допомоги з безробіття або обмеження резервної заробітної плати в термінології теорії контрактів), то і при участі в даній організаційній системі йому повинен бути гарантований не менший рівень корисності.

Зробивши маленький відступ, обговоримо більш детально модель процесу прийняття рішень агентом. Вважаємо, що якийсь агент прагне влаштуватися на роботу на певне підприємство. Йому пропонується контракт , у якому обумовлюється залежність винагороди від результатів його діяльності , а також те, які конкретні результати від нього очікуються . При яких умовах агент підпише контракт, якщо обидві сторони – і агент, і підприємство (центр) – приймають рішення про підписання контракту самостійно і добровільно? Розглянемо спочатку принципи, якими може керуватися агент.

Перша умова – умова погодженості стимулювання, яка полягає в тому, що при участі в контракті вибір саме дії (а не якоїсь іншої допустимої дії) доставляє максимум його цільовій функції (функції корисності). Іншими словами, це умова того, що система стимулювання погоджена з інтересами і перевагами агента.

Друга умова – умова участі в контракті (іноді її називають умовою індивідуальної раціональності), яка полягає в тому, що, укладаючи даний контракт, агент очікує одержати корисність, більшу, ніж він міг би одержати, уклавши інший контракт на іншому підприємстві (з іншим центром). Уявлення агента про свої можливі доходи на ринку праці відображає резервна заробітна плата. Зупинимося на цьому понятті більш докладно.

Нехай агент (безробітний або особа, що збирається змінити роботу) має свої суб'єктивні уявлення про розподіл пропонованої на ринку праці заробітної плати (або ставки заробітної плати). Позначимо щільність цього розподілу ймовірності , –рівень кваліфікації даного агента. Гіпотетична крива розподілу наведена на рисунку 2. 23.

Рис. 2.23. Резервна, очікувана та максимальна заробітна плата

 

Зрозуміло, що в середньому більш високій кваліфікації відповідає більш висока оплата. Якби агент мав повну інформацію про вимоги до кваліфікації, які пропонуються на ринку праці для одержання відповідної заробітної плати, і якби достовірна інформація про його кваліфікацію була доступною всім потенційним роботодавцям (центрам), то він був би, фактично, позбавлений вибору і погоджувався б на існуючий однозначний ринковий рівень заробітної плати , що відповідає його кваліфікації. Вся проблема полягає в тому, що інформація про ринок праці недосконала, тобто і агент, і центр діють в умовах неповної інформованості.

Нехай агент має свої суб’єктивні уявлення про мінімальний рівень заробітної плати , за якої він згодний працювати при його кваліфікації. Величина називається резервною заробітною платою. Тоді процес пошуку роботи можна уявити так: одержуючи інформацію про пропоновані умови роботи і її оплати, агент погоджується з першою пропозицією, яка перевищує його резервну заробітну плату (у випадку зміни роботи за резервну заробітну плату може виступати, наприклад, величина зарплати на старому місці роботи або величина допомоги з безробіття і т.п.).

Оскільки одержання заробітної плати, більшої за , для даного агента неможливе (тому величина іноді називається максимальною заробітною платою), то очікувана заробітна плата буде дорівнювати такій величині:

.

Повернемося до аналізу умов взаємовигідності укладання трудового контракту.

Аналогічні наведеним для агента умови погодженості та індивідуальної раціональності можна сформулювати для центра. Якщо є єдиний агент –претендент на укладання контракту, то контракт буде вигідним для центра, коли виконані дві умови.

Перша умова відображає погодженість системи стимулювання з інтересами і перевагами центра, тобто застосування фігуруючої в контракті системи стимулювання повинне доставляти максимум цільовій функції (функції корисності) центра (порівняно з використанням будь-якої іншої допустимої системи стимулювання).

Друга умова для центра аналогічна умові участі для агента, а. саме –укладання контракту з даним агентом вигідно для центра порівняно зі збереженням статус-кво, тобто відмовленню від укладання контракту взагалі. Наприклад, коли вважати, що прибуток підприємства (значення цільової функції центра) без укладання контракту дорівнює нулю, то при укладанні контракту прибуток повинен бути невід'ємним.

Якісно обговоривши умови укладання взаємовигідного трудового контракту, повернемося до формального аналізу.

Легко бачити, що в рамках введених допущень при участі агента в розглянутій організаційній системі йому гарантується мінімальне нульове значення корисності. Умова невід'ємності корисності агента:

якщо то (2.39)

є "умовою участі" або "умовою індивідуальної раціональності". Отже, як мінімум, реалізованими будуть такі дії, при виборі яких значення цільової функції агента будуть невід'ємними:

. (2.40)

З цього випливає, що вибір величини витрат від нульової дії агента та обмежень в умовах індивідуальної раціональності може бути виконаний відносно довільно, щоправда, при погодженні з умовою індивідуальної раціональності та обмеженнями на стимулювання.

Пояснимо останнє твердження. Більш коректно (тобто з урахуванням умови індивідуальної раціональності) множину реалізованих дій варто визначити як множину таких точок максимуму цільової функції агента, в яких виконується умова індивідуальної раціональності:

. (2.41)

Розглянемо двох агентів. Нехай витрати першого агента задовольняють припущення А.2', а втрати другого агента всюди на ту саму величину (додатну чи від'ємну, причому, як правило, вважають, що ) відрізняються від витрат першого агента, тобто (величина іноді називається індивідуальним нулем корисності). Позначимо і –відповідні множини реалізованих дій при одних і тих же обмеженнях на стимулювання. Якщо певна дія належить множині , то вона належить і множині , і навпаки, що випливає безпосередньо з означення (2.40) реалізованої дії – відповідних систем нерівностей, які називаються "умовами узгодження":

якщо то , (2.42)

і не змінюються від додавання до обох частин константи (рис. 3.13, на якому - обмеження механізму стимулювання, - права межа множини реалізованих дій).

Рис. 2.24. Інваріантність множини реалізованих дій відносно

“зрушення” функції витрат агента

 

Складнішим залишається питання щодо індивідуальної раціональності. Якщо розуміти під множиною реалізованих дій (2.41), то (2.40) отримає вигляд

.

Зрозуміло, що для того, аби зміна обмеження індивідуальної раціональності і "вертикальне зрушення" витрат не змінювали множину , варто змінювати використовувану центром систему стимулювання так: додати до неї відповідну константу і/або ).При цьому треба мати на увазі, що при фіксованих обмеженнях на функцію стимулювання збільшення, наприклад, величини може призвести до звуження множини реалізованих дій (припущення А.3).

Таким чином, справедливе наступне твердження.

Твердження 1. Всі агенти, функції витрат і/або резервні зарплати яких відрізняються на одну й ту ж величину, еквівалентні з погляду умов реалізованості за умови відповідних змін механізму стимулювання.

Отже, врахування змін індивідуального нуля корисності агента ("зрушення" його витрат по вертикалі) і врахування змін обмежень індивідуальної раціональності призводять до незначної, легко виконуваної в кожному конкретному випадку, модифікації основних характеристик задачі стимулювання (множини реалізованих дій, обмежень на фонд заробітної плати і т.п.). Тому в подальшому будемо вважати, що , і обмежимося введеними припущеннями, в рамках яких умову індивідуальної раціональності можна не враховувати.

Повернемося до аналізу задачі синтезу оптимальної функції стимулювання.

Той факт, що реалізованими є ті дії, які щонайменше забезпечують агентові невід'ємну корисність, істотно спрощує аналіз задачі стимулювання. Фіксуємо довільну дію агента і розглянемо таку систему стимулювання:

, (2.43)

яка називається квазікомпенсаторною ( - типу).

Очевидно, що . Якщо виконується припущення А.3, тобто на абсолютні значення заохочень не накладено ніяких обмежень, то дія реалізується системою стимулювання (2.43) (іншими словами, в рамках А.3 реалізується будь-яка допустима дія агента). Якщо ж виконане припущення А.3^’, то повинне виконуватися:

.

Позначимо максимальну множину дій, які реалізуються при заданих обмеженнях:

. (2.44)

В рамках припущення А.3' виконано: (рис. 2.24), де .

Оскільки в означенні ефективності системи стимулювання максимум обчислюється на множині реалізованих дій, то чим ширша ця множина, тим більше відповідне максимальне значення. Отже, з розширенням множини реалізованих дій збільшується ефективність стимулювання. Іншими словами, якщо одна система стимулювання (точніше – клас систем стимулювання) має більш широку множину реалізованих дій, ніж інша система стимулювання (інший клас систем стимулювання), то й ефективність першої системи стимулювання вища, ніж другої. Отже, максимальну ефективність має клас систем стимулювання, який має максимальну множину реалізованих дій.

З цього випливає, що розв'язування задачі стимулювання можна поділити на два етапи. На першому етапі розв'язується задача узгодження – визначаються множини реалізованих при заданих обмеженнях дій. На другому етапі розв'язується задача оптимального погодженого планування - відшукується реалізована дія, найкраща з погляду центра. Подібна ідеологія розв'язування задачі управління організаційними системами широко використовується в теорії активних систем і в теорії контрактів.

З того, що система стимулювання -типу має максимальну множину реалізованих дій, випливає, що вона є розв'язком задачі синтезу оптимальної функції стимулювання в прямій задачі стимулювання першого роду.

Відзначимо, що вираз (3.33) задає параметричний (параметр )клас систем стимулювання. Тому твердження про оптимальність тих чи інших систем стимулювання (класів систем стимулювання, у даному випадку – квазікомпенсаторних) варто розуміти так: існує значення параметра, при якому функція стимулювання із заданого класу має максимальну на множині ефективність.

Знаючи, що оптимальну систему стимулювання варто шукати в класі квазікомпенсаторних, а також те, що при використанні системи стимулювання агент вибирає дію, яка збігається з дією , центр може "забути" про умови узгодження і розв'язувати задачу оптимального погодженого планування, тобто шукати реалізуючу дію агента, яка максимізує дохід або цільову функцію центра:

. (2.45)

В оптимальній (що максимізує ефективність) квазікомпенсаторній системі стимулювання параметр у* є розв'язком задачі (2.45).

В задачах стимулювання першого роду оптимальними виявляються не тільки квазікомпенсаторні системи стимулювання, а й компенсаторні, стрибкоподібні і квазістрибкоподібні.

Квазікомпенсаторні системи стимулювання реалізують дії з мінімальними витратами на стимулювання: ,тобто , тому вони є оптимальними в задачах стимулювання другого роду. Задача оптимального погодженого планування в цьому випадку полягає в пошуку реалізуючої дії агента, яка максимізує різницю між доходом центра і мінімальними витратами на стимулювання, які збігаються в розглядуваній моделі з витратами агента:

. (2.46)

Якщо відсутні обмеження на величину винагороди агента (припущення А.3), то максимуми в (2.45) і (2.46) варто знаходити для всієї множини допустимих дій агента.

При використанні систем стимулювання ( -типу центр компенсує витрати агента при виборі зазначеної дії, не виплачуючи ніякої винагороди при виборі агентом інших дій, тобто квазікомпенсаторні системи стимулювання погоджені з умовою індивідуальної раціональності: при їх використанні корисність агента дорівнює нулю принаймні у двох точках – при виборі реалізованої дії і нульової дії, причому корисність агента ніде не набуває строго додатних значень.

Істотним "плюсом" квазікомпенсаторних систем стимулювання є їх простота і висока ефективність, істотним "мінусом" – абсолютна нестійкість відносно можливих збуджень параметрів моделі. Дійсно, якщо центр неточно знає функцію витрат агента, то як завгодно мала неточність може призвести до значних змін реалізованих дій.

Уміючи розв'язувати пряму задачу стимулювання, досить просто знайти розв'язок відповідної оберненої задачі. Наприклад, вираз (2.44) дозволяє визначити мінімальні обмеження на стимулювання, які дозволяють реалізовувати задані дії.

Якщо одна й та ж дія може реалізовуватися декількома системами стимулювання, то, мабуть, що більшу ефективність має та з них, яка характеризується меншими витратами на стимулювання. Іншими словами, оптимальним є клас систем стимулювання, який реалізує будь-яку дію агента з мінімальними витратами центра на стимулювання. Це твердження, незважаючи на свою очевидність, дає універсальний інструмент розв'язування задач стимулювання. Наведемо коректне обґрунтування.

Мінімальними витратами на стимулювання з реалізації дії . У класі допустимих систем стимулювання називається така величина:

, (2.47)

тобто мінімальна допустима винагорода, яка спонукає агента вибрати задану дію. Для тих дій, які у рамках припущення А.2 не можуть бути реалізованими в класі ,віднесемо мінімальні витрати на стимулювання, що дорівнюють нескінченності.

Очевидно, що в рамках припущення А.2 виконується:

якщо то , (2.48)

Мінімальні витрати на стимулювання є надзвичайно важливим поняттям. їх дослідження дозволяє розв'язувати задачу синтезу оптимальної функції стимулювання, вивчати властивості оптимального розв'язку тощо.

Якщо для задачі стимулювання першого роду критерієм порівняння ефективностей систем стимулювання є максимальні множини реалізованих ними дій, то мінімальні витрати на стимулювання є критерієм для задач і першого, і другого роду. Обґрунтуємо це твердження. Для цього позначимо максимальну в класі ефективність управління:

Твердження 2. Нехай , - два класи допустимих систем стимулювання і виконано:

якщо то , (2.49)

Тоді для задач стимулювання першого і другого роду справедливо:

Дійсно, позначимо – максимальні множини дій, які реалізуються відповідними класами систем стимулювання. Нехай .Оскільки виконано (2.49), то за означенням мінімальних витрат на стимулювання маємо:

Іншими словами, якщо виконано умову твердження 2, то на основі означення мінімальних витрат на стимулювання має місце співвідношення:

,

тобто системи стимулювання, які характеризуються меншими витратами на стимулювання, реалізують більші множини дій, що доводить справедливість твердження 2 для задач першого роду. Розглянемо задачу стимулювання другого роду. Ефективність стимулювання може бути визначена і через мінімальні витрати на стимулювання, причому на підставі (3.39) має місце співвідношення, яке доводить справедливість сформульованого твердження:

.

Відзначимо, що за умов твердження 2 потрібно, аби певне співвідношення між мінімальними витратами на стимулювання виконувалося для будь-яких допустимих дій агента.

Отже, модель досліджуваної організаційної системи задається такими параметрами: . Розв'язування задачі стимулювання передбачає знаходження величини:

де – оптимальна система стимулювання, – оптимальна реалізована дія, - ефективність оптимальної системи стимулювання.

Якщо фіксувати всі компоненти організаційної системи, за винятком множини допустимих систем стимулювання, то, коли виконано (2.49), задача порівняння ефективностей управлінь у різних організаційних системах, тобто ефективностей різних класів систем стимулювання, зводиться до оцінки величин:

(2.50)

або

(2.51)

або

(2.52)

Зупинимося більш докладно на обговоренні обмежень на стимулювання, що накладаються припущеннями А.3. і А.3'. При визначенні мінімальних витрат на стимулювання (2.47) передбачалося, що витрати на стимулювання з реалізації нереалізованих у рамках А.3’ дій дорівнюють нескінченності. В той же час, з погляду формального аналізу, бажано, аби мінімальні витрати на стимулювання не залежали від абсолютних обмежень на величину індивідуального заохочення. Це можна виконати, згадавши, що дотепер не накладалися обмеження на функцію доходу центра.

Розглянемо таку задачу – нехай для певної організаційної системи виконане припущення А.3. Тоді в ній реалізуються будь-які дії агента, а мінімальні витрати на стимулювання (2.47) можуть бути нескінченними лише при нескінченних витратах агента. Якщо в тій же організаційній системі на систему стимулювання накладене обмеження , то мінімальні витрати на стимулювання є нескінченченими не тільки при нескінченних витратах агента, а й при його витратах, які перевищують величину обмеження на стимулювання (2.44).

Цього можна уникнути так: визначимо "нову" функцію доходу центра:

. (2.53)