Структура і класифікація систем масового обслуговування

Деколи виникає необхідність у вирішенні імовірнісних завдань, пов'язаних з роботою систем масового обслуговування (СМО), прикладами яких можуть служити квиткові каси, ремонтні майстерні, торгові, транспортні, енергетичні системи, системи зв'язку та ін. Спільність таких систем виявляється в єдності математичних методів і моделей, що застосовуються при дослідженні їх діяльності.

На вхід в СМО надходить потік вимог на обслуговування. Наприклад, клієнти або пацієнти, поломки в обладнанні, телефонні виклики. Вимоги надходять нерегулярно, у випадкові моменти часу. Випадковий характер носить і тривалість обслуговування. Це створює нерегулярність в роботі СМО, служить причиною її перевантажень чи недовантаження. Системи масового обслуговування мають різної структури, але звичайно в них можна виділити чотири основних елементу: вхідний потік вимог, накопичувач, канали обслуговування, потік, що виходить.

Залежно від правил утворення черги розрізняють такі СМО:

1) системи з відмовами, в яких при зайнятості всіх каналів обслуговування заявка залишає систему, яка є необслугованою;

2) системи з необмеженою чергою, в яких заявка встає в чергу, якщо в момент її надходження всі канали обслуговування були зайняті;

3) системи з очікуванням і обмеженою чергою, в яких час очікування обмежений будь-якими умовами або існують обмеження на кількість заявок, що стоять в черзі.

Розглянемо характеристики вхідного потоку вимог.

Означення 1. Потік вимог називається стаціонарним, якщо ймовірність попадання того чи іншого числа подій на проміжок часу певної довжини залежить тільки від довжини цього проміжку.

Означення 2. Потік подій називається потоком без наслідків, якщо число подій, які потрапляють на деякий промижок часу, не залежить від числа подій, що потрапляють на інші.

Означення 3. Потік подій називається ординарним, якщо неможливо одночасний наступ двох або більше подій.

Означення 4. Потік вимог називається пуассоновським (або найпростішим), якщо він володіє трьома властивостями: стаціонарний, ординарний і не має наслідків.

Назва пов'язана з тим, що при виконанні зазначених умов число подій, які потрапляють на будь-який фіксований інтервал часу, буде розподілений за законом Пуассона.

Означення 5. Інтенсивністю потоку заявок називається середнє число заявок, що надходять з потоку за одиницю часу.

Для стаціонарного потоку інтенсивність постійна. Якщо - середнє значення інтервалу часу між двома сусідніми заявками, то .

У випадку пуассонівського потоку ймовірність надходження на обслуговування заявок за проміжок часу визначається за законом Пуассона:

.

Час між сусідніми заявками розподілено по експоненціальним законом з щільністю ймовірності . Час обслуговування є випадковою величиною і підпорядковується показовому закону розподілу з щільністю ймовірності , де – інтенсивність потоку обслуговування, тобто середнє число заявок, що обслуговуються в одиницю часу, .

Означення 6. Відношення інтенсивності вхідного потоку до інтенсивності потоку обслуговування називається завантаженням системи .

Завантаження - це середня кількість заявок, що приходять за середній час обслуговування однієї заявки.