Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка

 

Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка содержат все основные, типичные черты уравнений -го порядка.

Однородное линейное дифференциальное уравнение -го порядка имеет вид:

. (1)

Для него, как и для линейного дифференциального уравнения 2-го порядка, справедливы теоремы о частных решениях 1 и 2. То есть линейные комбинации частных решений также являются решениями и если известно одно или несколько решений, то можно понизить порядок на одну или более единиц.

Определение. Фундаментальной системой решений уравнения (1) называется всякая система частных решений , которая обладает следующим свойством: ни при каких , , одновременно не равных нулю, линейная комбинация

. (а)

В этом случае , удовлетворяющие (а), называют линейно независимыми.

Из определения ледует, что нулевое решение не входит в фундаментальную систему решений. Например, , . Тогда, положив , …, , получим

,

что противоречит определению фундаментальной системы решений. Таким образом, фундаментальная система решений не может содержать ни одного . При новое определение тождественно старому.

Далее, вронскиниан фундаментальной системы решений (и только фундаментальной системы решений) отличен от тождественного нуля. Вронскиниан в общем случае имеет вид:

.

Формула Остроградского-Лиувилля также имеет место в общем случае:

.

Из нее также следует, что либо тождественно равен нулю, либо не равен нулю ни при каком . Первый случай соответствует не фундаментальной системе решений, второй – фундаментальной системе решений.

Существование фундаментальной системы решений доказывается аналогично дифференциальному уравнению 2-го порядка. Основная теорема устанавливает, что общее решение однородного линейного дифференциального уравнения -го порядка имеет вид:

, где .

Неоднородное линейное дифференциальное уравнение -го порядка имеет вид:

.

Теоремы о частных решениях справедливы и в эом случае. Также, как и метод Лагранжа вариации произвольных постоянных:

Однородное линейное дифференциальное уравнение -го порядка с постоянными коэффициентами имеет вид:

,

, действительные числа.

Характеристическое уравнение:

.

Любому действительному -кратному корню соответствуют решения:

, , .

Так как – действительные числа, то комплексные корни характеристического уравнения встречаются только сопряженными парами и имеют одинаковую кратность. Любой паре кратности соответствует частных решений:

, , …, ,

, , …, .

Таким образом, в общем случае решение однородного линейного дифференциального уравнения -го порядка имеет вид:

,

где и – кратности корней, а , , – многочлены соответствующих степеней.

И, наконец, 2 теоремы о приведении к дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами.

Теорема 1.

Если линейное дифференциальное уравнение -го порядка

(*)

допускает приведение к дифференциальному уравнению с постоянными коэффициентами при помощи замены независимой переменной вида , то такой цели служит только подстановка

, где .

 

Теорема 2.

Если (*) допускает приведение к дифференциальному уравнению с постоянными коэффициентами при помощи подстановки , преобразующей неизвестную функцию , то такое преобразование выполняется только, если положить

 

Для неоднородных линейных дифференциальных уравнений приведение осуществляется по тем же формулам.