Простейшие дифференциальные уравнения и

Простейшие дифференциальные уравнения и

Методы их интегрирования.

 

Опр. Дифференциальными уравнениями называются уравнения, содержащие неизвестные функции, их аргументы и производные от неизвестных функций по этим аргументам, или дифференциалы неизвестных функций. Д.у. называется обыкновенным, если неизвестные функции зависят только от одной переменной.

(1) F(x,y,y’, …, y⁽ⁿ⁾) = 0:

(2) Ф(x,y,dy, …,, d⁽ⁿ⁾ y) = 0.

Примеры.

 

Основные понятия теории дифференциальных уравнений.

 

Порядок старшей входящей в уравнение производной определяет порядок уравнения - n.

Любая функция, которая при подстановке в уравнение вместо неизвестной обращает его в тождество, называется решение этого уравнения. Например, sin(x) есть решение уравнения второго порядка . Дифференциальные уравнения имеют бесконечное множество решений, если имеется хотя бы одно. Обычно, при решении ставиться задача нахождения всех его решений. Процесс решения д.у. часто называют интегрирование д.у.. Если же решается конкретная задача (в физике, технике и т.д.) по нахождению решения д.у., то на неизвестную функцию налагаются как правило дополнительные условия. Например, функция должна принимать определенные значения при заданных значениях аргумента. Такие условия называют начальными условиями, а конкретное решение – частным решением д.у..

Совокупность всех частных решений называют общим решением. Отметим, что общее решение д.у. n-го порядка содержит n произвольных констант, т.е. имеет вид:

Для уравнения n-го порядка начальные условия чаще всего задаются следующим образом:

требуется найти решение д.у., которое при заданном значении принимает вместе со своими производными вплоть до (n-1) порядка, наперед заданные значения:

при .

Задача о решении д.у., удовлетворяющем начальным условия вида (*) называется задачей Коши.

Для уравнения 1-го порядка задача Коши сводится к поиску решения, которое при принимает значение .

 

Интегрирование простейших типов д.у. 1-го порядка.

 

Существование ФСР (2)

 

Теорема:

Любое однородное линейное дифференциальное уравнение имеет фундаментальную систему решений.

Доказательство:

Рассмотрим дифференциальное уравнение

и две системы начальных условий:

, , ,

, ,

где

.

Пусть и – частные решения соответствующих задач Коши. Докажем, что они образуют фундаментальную систему:

.

Теорема доказана.

 

Основная теорема:

Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения 2-го порядка является линейной комбинацией с произвольными постоянными коэффициентами любых двух решений этого уравнения, образующих фундаментальную систему решений. Другими словами, общее решение линейного однородного дифференциального уравнения 2-го порядка есть сумма двух частных решений линейно независимых решений, умноженных на произвольные постоянные.

Доказательство:

Пусть и – фундаментальная система решений. Составим линейную комбинацию

,

где , есть произвольные постоянные. Надо доказать, что любое частное решение можно получить из выбором и .

Пусть есть решение задачи Коши для начальных условий

, , .

Положим , тогда

,

,

отсюда

и .

Так как , то и есть общее решение.

Теоремы о частных решениях

 

Рассмотрим неоднородное уравнение

(1)

и соответствующее однородное уравнение

. (2)

 

Теорема 1:

Разность любых двух частных решений уравнения (1) есть частное решение соответствующего однородного дифференциального уравнения.

Доказательство:

Пусть и – частные решения уравнения (1). Подставим в соответствующее однородное дифференциальное уравнение функцию вместе с ее производными:

.

Теорема доказана.

 

Теорема 2:

Если – частное решение уравнения (1), – частное решение соответствующего однородного уравнения, то

есть новое частное решение уравнения (1).

Доказательство:

Справедливы следующие соотношения:

,

,

значит,

.

Теорема доказана.

 

Из теорем 1 и 2 следует, что, взяв любое одно частное решение неоднородного уравнения (1) и прибавляя всевозможные частные решения однородного уравнения (2), получим все без исключения частные решения уравнения (1).

Определение: Общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения 2-го порядка есть сумма любого частного решения данного уравнения и общего решения соответствующего однородного линейного дифференциального уравнения 2-го порядка:

,

где и есть линейно независимые частные решения уравнения (2).

 

Теорема 3:

Если правая часть уравнения (1) есть сумма двух функций и , и если есть частное решение уравнения (1) с правой частью , а – частное решение уравнения (1) с правой частью , то – частное решение уравнения (1) с правой частью .

Доказательство:

Рассмотрим уравнение , подставим и в уравнения и соответственно. После сложения последних уравнений и группировки слагаемых получим:

.

Теорема доказана.

 

Пример:

, (1)

, , (2)

, . (3)

Тогда – частное решение уравнения (1).

Случай 1.

, , – .

Этот случай соответствует . будем искать в виде . Подставим в (8), получим

,

где есть:

1) многочлен -ной степени, если .

2) многочлен -й степени, если , .

3) многочлен -й степени, если .

В первом случае приходим к тождеству

, (*)

из которого можно найти неопределеные коэффициенты .

Во втором случае, , , то есть когда есть корень характеристического уравнения, тождество (*) невозможно, так как степень на 1 меньше степени . Чтобы их сравнять, надо умножить на . При этом степень повышается на 1. То есть мы будем искать решение в виде

.

В третьем случае умножается на , то есть

.

Правило 1. Если есть , то частное решение надо искать в виде

,

где – многочлен -й степени, а – кратность корня . Для вычисления неопределенных коэффициентов надо подставить в (8) и затем приравнять коэффициенты при одинаковых степенях .

Пример.

, , корень – однократный, тогда

,

, , и

.

Случай 2.

, ,

. (*)

Сделаем замену ,

, где

, .

Таким образом, уравнение (*) сведено к частному случаю, рассмотренному выше. Следовательно:

 

1. Если , тогда , где коэффициенты следует определить.

2. , , то есть если – простой корень характеристического уравнения, то .

3. , то есть – двойной корень характеристического уравнения, то .

Правило 2.

Если , то

,

где – кратность корня в характеристическом уравнении.

Пример.

,

и .

, подставляя в дифференциальное уравнение, получим:

, , .

.

 

Перейдем теперь к общему случаю:

.

 

Вспомогательная теорема.

Пусть в уравнении

(*)

– принимает комплексные значения и пусть – некоторое решение. Тогда

есть решение уравнения ,

есть решение уравнения .

 

Положим , . Дважды дифференцируя и подставляя в (*), получим:

,

отсюда, по равенству комплексных чисел, следует доказательство теоремы.

Следствие.

Если есть решение уравнения , то есть решение уравнения .

 

Заменим теперь в общем уравнении и по формулам Эйлера:

, ,

перегруппируем и введем новые обозначения:

, , ,

тогда

.

Замечание.

При использовании (**) надо помнить, что вид подобен виду , но является более полным. Так, если , то в (**) мы должны брать , если , то в (**) следует взять , и если , то в (**) возьмем , и т. д.

Пример.

,

, , , ,

, так как не корень характеристического уравнения,

,

, , , , и т. д.

9.4.3. Линейные дифференциальные уравнения, приводящиеся к урав­нениям с постоянными коэффициентами

 

Теорема.

Линейное дифференциальное уравнение преобразуется снова в линейное дифференциальное уравнение при всяком линейном преобразовании неизвестной функции и любом преобразовании аргумента (и только при таких преобразованиях).

Доказательство.

В уравнении

положим , где – новая искомая функция, а и – известные функции. Тогда

,

,

и исходное уравнение преобразуется к виду

,

и это уравнение снова является линейным, так как все коэффициенты и правая часть есть функции только . отметим, что входит только в правую часть.

Положим, что , тогда и

, .

Подставляя эти значения, получим опять линейное уравнение:

,

заменяя на найдем, что все коэффициенты и правая часть есть функции только . На этом доказательство первой части закончено.

Предположим теперь, что . Тогда

, .

Подставляя , и в исходное уравнение, получим в общем случае нелинейное уравнение

. (*)

Чтобы (*) было линейным, нужно, чтобы и не зависели от , , а содержало лишь в первой степени или было функцией только от . Выполнение этих требований превращает в линейную функцию. Если

,

и тогда не зависит от , а . При этом

есть функция от в первой степени. Таким образом, теорема доказана.

 

Очевидно, что для преобразования линейного дифференциального уравнения с переменными коэффициентами в линйое дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами достаточно рассмотреть соответствующее однородное уравнение.

Согласно теореме, сохранение линейности возможно только в двух случаях: при линейном преобразовании функции (, так как она не входит в коэффициенты в левой части) и при произвольном преобразовании .

Теперь выведем условия, налагаемые на и линейного дифференциального уравнения 2-го порядка, при которых это уравнение может быть приведено к линейному дифференциальному уравнению 2-го порядка с постоянными коэффициентами с помощью преобразования или .

Необходимое и достаточное условие для преобразования .

Итак, пусть дано уравнение

(1)

и подстановка , тогда

,

,

подставляя в уравнение, получим:

, (2)

и потребуем, чтобы коэффициенты при и были константами:

.

Тогда . Отсюда или

или

.

Последнее равенство можно записать, как

, где . (3)

(3) и есть условие приводимости (1) к (2), в котором коэффициенты являются постоянными.

Найдем теперь , с помощью которой это приведение выполняется:

.

Положим и , тогда и

.

Таким образом, преобразование выполняется, если выполнено (3).

Пример.

.

Условие (3) выполняется и приводит к уравнению

.

Необходимое и достаточное условие для преобразования .

Пусть , тогда

и

. ()

Далее,

Из (*), считая , имеем

.

Кроме того, . Подставляя эти результаты в (**), получим:

или ,

. ()

() и есть искомое условие.

Найдем теперь . Из (*):

,

где , а – одна из первообразных от .

Таким образом, если выполняется (), то (1) можно привести к уравнению с постоянными коэффициентами с помощью преобразования .

Пример. Рассмотрим уравнение Эйлера

,

здесь , , , – , тогда или – нужная подстановка.

Теорема 1.

Если линейное дифференциальное уравнение -го порядка

(*)

допускает приведение к дифференциальному уравнению с постоянными коэффициентами при помощи замены независимой переменной вида , то такой цели служит только подстановка

, где .

 

Теорема 2.

Если (*) допускает приведение к дифференциальному уравнению с постоянными коэффициентами при помощи подстановки , преобразующей неизвестную функцию , то такое преобразование выполняется только, если положить

 

Для неоднородных линейных дифференциальных уравнений приведение осуществляется по тем же формулам.

 

Теорема Коши.

Если – непрерывные функции по , , …, в некоторой области , то любой внутренней точке области соответствует, и притом единственное, решение , , …, , удовлетворяюще этим начальным условиям. Такое решение называется частным.

 

Произвольно изменяя , получим бесконечное множество решений, или:

, …,

– такое решение называется общим. Частное решение всегда можно получить из общего.

Системы дифференциальных уравнений типа (1) и дифференциальные уравнения -го порядка можно преобразовывать друг в друга с помощью введения дополнительных переменных или их исключения.

Нормальная система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами имеет вид:

(2)

– действительные числа, – известные непрерывные функции. Если , то система называется однородной.

Рассмотрим метод интегрирования системы (2) приведением е к одному линейному дифференциальному уравнению -го порядка с одной искомой функцией (например). Для этого продифференцируем первое уравнение из (2) по и заменим получившиеся в правой части их выражениями из (2):

.

Затем продифференцируем и его по и снова сделаем замены. После -го шага получим систему:

(*)

Выражая из первых уравнений , , …, через , , , , …, (предполагая ) и подставляя в -е уравнение, получим

(**)

– линейное дифференциальное уравнение -го порядка с постоянными коэффициентами и одной неизвестной функцией.

Найдя общее решение (**) и используя производные от него из (*) найдем , , …, .

Пример.

,

Получим систему

,

.

Дифференцируя и подставляя в , найдем:

.

 

 

Простейшие дифференциальные уравнения и

Методы их интегрирования.

 

Опр. Дифференциальными уравнениями называются уравнения, содержащие неизвестные функции, их аргументы и производные от неизвестных функций по этим аргументам, или дифференциалы неизвестных функций. Д.у. называется обыкновенным, если неизвестные функции зависят только от одной переменной.

(1) F(x,y,y’, …, y⁽ⁿ⁾) = 0:

(2) Ф(x,y,dy, …,, d⁽ⁿ⁾ y) = 0.

Примеры.

 

Основные понятия теории дифференциальных уравнений.

 

Порядок старшей входящей в уравнение производной определяет порядок уравнения - n.

Любая функция, которая при подстановке в уравнение вместо неизвестной обращает его в тождество, называется решение этого уравнения. Например, sin(x) есть решение уравнения второго порядка . Дифференциальные уравнения имеют бесконечное множество решений, если имеется хотя бы одно. Обычно, при решении ставиться задача нахождения всех его решений. Процесс решения д.у. часто называют интегрирование д.у.. Если же решается конкретная задача (в физике, технике и т.д.) по нахождению решения д.у., то на неизвестную функцию налагаются как правило дополнительные условия. Например, функция должна принимать определенные значения при заданных значениях аргумента. Такие условия называют начальными условиями, а конкретное решение – частным решением д.у..

Совокупность всех частных решений называют общим решением. Отметим, что общее решение д.у. n-го порядка содержит n произвольных констант, т.е. имеет вид:

Для уравнения n-го порядка начальные условия чаще всего задаются следующим образом:

требуется найти решение д.у., которое при заданном значении принимает вместе со своими производными вплоть до (n-1) порядка, наперед заданные значения:

при .

Задача о решении д.у., удовлетворяющем начальным условия вида (*) называется задачей Коши.

Для уравнения 1-го порядка задача Коши сводится к поиску решения, которое при принимает значение .