Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
В силу следствия достаточно найти решение уравнения
, но последнее было уже рассмотрено. Из этого следует, что его решение нужно искать в виде , – с неопределенными комплексными коэффициентами, – кратность в характеристическом уравнении. На основании теоремы о наложении решений и следствия из вспомогательной теоремы, , где сопряжен с . Снова используем формулы Эйлера: , . Приводим к виду , (**) где , – многочлены с вещественными коэффициентами. Замечание. При использовании (**) надо помнить, что вид подобен виду , но является более полным. Так, если , то в (**) мы должны брать , если , то в (**) следует взять , и если , то в (**) возьмем , и т. д. Пример. , , , , , , так как не корень характеристического уравнения, , , , , , и т. д. 9.4.3. Линейные дифференциальные уравнения, приводящиеся к уравнениям с постоянными коэффициентами
Теорема. Линейное дифференциальное уравнение преобразуется снова в линейное дифференциальное уравнение при всяком линейном преобразовании неизвестной функции и любом преобразовании аргумента (и только при таких преобразованиях). Доказательство. В уравнении положим , где – новая искомая функция, а и – известные функции. Тогда , , и исходное уравнение преобразуется к виду , и это уравнение снова является линейным, так как все коэффициенты и правая часть есть функции только . отметим, что входит только в правую часть. Положим, что , тогда и , . Подставляя эти значения, получим опять линейное уравнение: , заменяя на найдем, что все коэффициенты и правая часть есть функции только . На этом доказательство первой части закончено. Предположим теперь, что . Тогда , . Подставляя , и в исходное уравнение, получим в общем случае нелинейное уравнение . (*) Чтобы (*) было линейным, нужно, чтобы и не зависели от , , а содержало лишь в первой степени или было функцией только от . Выполнение этих требований превращает в линейную функцию. Если , и тогда не зависит от , а . При этом есть функция от в первой степени. Таким образом, теорема доказана.
Очевидно, что для преобразования линейного дифференциального уравнения с переменными коэффициентами в линйое дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами достаточно рассмотреть соответствующее однородное уравнение.
Согласно теореме, сохранение линейности возможно только в двух случаях: при линейном преобразовании функции (, так как она не входит в коэффициенты в левой части) и при произвольном преобразовании . Теперь выведем условия, налагаемые на и линейного дифференциального уравнения 2-го порядка, при которых это уравнение может быть приведено к линейному дифференциальному уравнению 2-го порядка с постоянными коэффициентами с помощью преобразования или . Необходимое и достаточное условие для преобразования . Итак, пусть дано уравнение (1) и подстановка , тогда , , подставляя в уравнение, получим: , (2) и потребуем, чтобы коэффициенты при и были константами: . Тогда . Отсюда или
или . Последнее равенство можно записать, как , где . (3) (3) и есть условие приводимости (1) к (2), в котором коэффициенты являются постоянными. Найдем теперь , с помощью которой это приведение выполняется:
. Положим и , тогда и . Таким образом, преобразование выполняется, если выполнено (3). Пример. . Условие (3) выполняется и приводит к уравнению . Необходимое и достаточное условие для преобразования . Пусть , тогда и . () Далее,
Из (*), считая , имеем . Кроме того, . Подставляя эти результаты в (**), получим: или , . () () и есть искомое условие. Найдем теперь . Из (*):
, где , а – одна из первообразных от . Таким образом, если выполняется (), то (1) можно привести к уравнению с постоянными коэффициентами с помощью преобразования . Пример. Рассмотрим уравнение Эйлера , здесь , , , – , тогда или – нужная подстановка.
|
|||||
Последнее изменение этой страницы: 2017-01-19; просмотров: 102; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.226.96.61 (0.021 с.) |