Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Д.у. в полных дифференциалах.
Уравнения вида: , где называется д.у. в полных дифференциалах. Левая часть уравнения, в этом случае, есть полный дифференциал от некоторой функции U(x,y): , т.к. тогда - общий интеграл д.у. Функция может быть найдена следующим образом: , проинтегрируем его по x, считая y- фиксированным. Однако и , т.е. (*) Затем, из равенства находим , подставив которую в (*), определим U(x,y). Пример. 1) Убедимся, что это уравнение в полных дифференциалах:
2)
Д.у. 1-го порядка не разрешенные относительно a) б) Предполагается, что: 1) Они не могут быть разрешены относительно 2) Они не могут быть разрешены относительно x (a) или y (б), либо обе – - могут быть выражены через некоторый параметр “ t ”. Иными словами ) ) ) ) Причем в последних случаях: Метод показывается на примерах: 1) Обозначим , тогда , но , следовательно 2) тогда , но и т.д.
3. Д.у. 2-го порядка. Интегрирование методом понижения порядка.
3.1. Общие положения.
Д.у. 2-го порядка в общем случае имеет вид: График всякого решения – интегральная кривая. Д.у. 2-го порядка устанавливает связь между x, y интегральной кривой, угловым коэффициентом касательной к этой кривой и ее производной в этой же точке. Проинтегрировать – найти вес решения. Задача Коши: при Теорема Коши. Если в д.у. 2-го порядка, разрешенном относительно , т.е. , - непрерывна во всей области , а ее частные производные и - существуют и ограничены то для любого существует решение д.у. 2-го порядка, удовлетворяющее начальным условиям и такое решение единственное. Решение задачи Коши – частное решение д.у. 2-го порядка. Если менять , т.е. ………, то любому при фиксированных будет соответствовать своя интегральная кривая. Получаем пучок, образующий однопараметрическое семейство . Одновременное изменение дает двухпараметрическое семейство: Это семейство является общим решением д.у. 2-го порядка.
Опр. Общим решением д.у. 2-го порядка называют такое его решение, содержащее 2 произвольных константы, из которого выбором значений можно получить решение любой задачи Коши, поставленной для этого д.у. в области, где такое решение существует. Отсюда следует, что для получения нужного решения задачи Коши следует определить .
Пример. , чтобы найти решение …….. получим - частное решение.
3.2. Интегрирование простейших д.у. 2-го порядка.
К двум типам д.у. 2-го порядка: не содержащим явно неизвестную функцию или аргумент применяют метод понижения порядка: 1-й Тип: (*) Введем (**) - д.у. 1-го порядка относительно p. Допустим, что (**) можно проинтегрировать и его общий интеграл Заменяя в нем p на получим д.у. 1-го порядка относительно Если и это д.у. можно проинтегрировать, то его общее решение и будет решением (*). При интегрировании (*) этим методом решение находят часто в виде или в параметрическом виде: (Параметром может служить и )
Фактически данный метод сводится к интегрированию системы: Примеры. 1) Т.к. требуется найти только частное решение 2) - с разделяющимися перемнными 2-й Тип: Введем новую переменную , а - за новую переменную. Тогда: тогда (***) Допустим, что (***) проинтегрировано, тогда или - уравнение 1-го порядка. Интегрируя последнее, получим: - или общее решение - общий интеграл Либо в параметрической форме: Примеры. - Это уравнение в полных дифференциалах. Интеграл тогда запишется следующим образом: или т.к. , то получим: (A) Введем параметр следующим образом: подставляя в (А), получим: и тогда Дифференцируем y по t Но Пример 2. Проинтегрируем задачу Коши: - уравнение с разделяющимися переменными. - общий интеграл. Определяем : или или
9. Линейные д.у..
9.1. Введение.
Линейное д.у. n-го порядка имеет вид: (1) где y – неизвестная функция аргумента x, - заданные непрерывные функции. Линейное д.у. называется однородным, если . При - уравнение неоднородно, или уравнение с правой частью. Задачу нахождения решения, отвечающего условиям: при называют задачей Коши для д.у. n- го порядка. Теорема Коши: Если в д.у. n-го порядка функция F непрерывна, а ее частные производные по ограничены во всех точках (n+1) – мерной области , то для любого существует единственное решение данного д.у., удовлетворяющее начальным условиям.
Такое решение называют частным решением, соответствующим заданным начальным условиям.
Общим решением д.у. n-го порядка (определенным на D, где выполнены условия теоремы Коши) называют решение этого уравнения, зависящего от n произвольных постоянных и являющихся совокупностью всех частных решений данного д.у.. Существование общего решения также гарантируется теоремой Коши, при соблюдении ее условий. Для получения частного из общего необходимо найти . Естественно, что условия теоремы Коши выполняются для линейного д.у. n-го порядка в области непрерывности его коэффициентов. Расшифровать!
9.2. Линейные однородные д.у. 2-го порядка.
9.2.1. Теоремы о частных решениях.
Рассмотрим линейное однородное д.у. 2-го порядка: (2) Имеют место следующие теоремы: Теорема 1. Всякая линейная комбинация нескольких частных решений однородного д.у. 2-го порядка также является его решением. Доказательство: Подставляя y в (2) и группируя: т.к теорема доказана. В частности сумма и разность 2-х частных решений также является решеиями. Например - являются решениями д.у. , т.к. и - решения.
Теорема 2. Если известно одно частное решение д.у. однородного (ненулевое), то можно понизить порядок этого д.у. на единицу. Док-во: Подстановка , где z – новая неизвестная функция приведет к: подставляя получим: Далее, пусть и и разделим все уравнение на тогда: , где т.е. получили д.у. 1-го порядка относительно u.
9.2.2. Фундаментальная система решений однородного линейного д.у.
Определение: Ф.С.Р. однородного д.у. 2-го порядка называется всякая пара частных решений этого уравнения, отношение которых не равно постоянной. Такие решения также называют линейно-независимыми. Например: и частные решения образуют Ф.С.Р., а и - нет.
Если - Ф.С.Р. то - также будет Ф.С.Р.
Действительно, пусть , где , но тогда , что и требовалось доказать. Таким образом, если уравнение имеет одну ФСР, то оно имеет их бесконечно много. Всякое дифференциальное линейное однородное уравнение имеет нулевое решение , но оно не входит ни в одну фундаментальную систему. Определение: Определителем Вронского (вронскинианом) системы двух частных решений и уравнения (2) называют . Свойства определителя Вронского: 1. Если и не образуют фундаментальной системы (т.е. являются линейно зависимыми, то их определитель Вронского тождественно равен нулю: . 2. Если , то решения и – линейно зависимы. Пусть или . Если .
|
||||||
Последнее изменение этой страницы: 2017-01-19; просмотров: 135; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.88.254.50 (0.061 с.) |