Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.

Дифференциальное уравнение первого порядка называется линейным, если оно линейно относительно искомой функции и ее производной. В общем случае линейное уравнение записывается в виде , где коэффициенты a(x), b(x) и правая часть f(x) считается заданными функциями на некотором интервале (α, β). Если f(x) ≡ 0 на интервале (α, β), то заданное линейное уравнение называется однородным в том смысле, что тогда левая часть этого уравнения является однородной функцией относительно переменных y и y'. Будем предполагать, что а(х) ≠ 0 на (α, β) и запишем уравнение в виде где .

Рассмотрим однородное линейное уравнение Y’+p(x)Y = 0. Это уравнение с разделяющимися переменными которое легко интегрируется (1) - общее решение уравнения.

Метод вариации произвольной постоянной.

Сущность этого метода заключается в том, что постоянную С, входящую в общее решение (1) заменяют функцией от x, т.е. считают (2) и предполагая что (2) есть решение неоднородного уравнения находят С(х), а вместе с тем и общее решение этого уравнения. Имеем

Откуда , (3), где С – произвольная постоянная.

Подставляя (3) в (2), получим общее решение неоднородного уравнения в виде

Метод подстановки.

В уравнение положим у = uv, где u – новая неизвестная функция, а v будем рассматривать как вспомогательную переменную и выбирать её по своему усмотрению. В результате указанной подстановки имеем . (4) Выберем v таким образом, чтобы . Откуда , где С – произвольная постоянная. Так как нам достаточно только одного значения v, то будем считать С = 1. Подставляя найденное значение v при C = 1 в уравнение (4) получим дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными относительно u . Откуда . Зная u и v, можем записать теперь общее решение начального уравнения в виде .

18. Системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Рассмотрим систему ДУ: (1), где -постоянные коэффициенты.

Будем искать решение по методу Эйлера в виде: (2), где - постоянные, не все равные нулю, которые следует подобрать, если это возможно так, чтобы функции (2) удовлетворяли системе (1). Подставим (2) в (1). После сокращения на , получим: (3). Систему уравнений (3) будем рассматривать как однородную систему -алгебраических уравнений с -неизвестными . Чтобы система (3) имела отличное от нуля решение, необходимо и достаточно, чтобы определитель этой системы равнялся нулю, т.е. (4). Уравнение (4) называется характеристич. уравнением для сист. (1). Уравнение (4) яв-ся алгебраическим уравнением -ой степени относительно . Нетривиальное решение однородной системы (1) существует тогда и только тогда, когда корень характер. ур-ия (4).