Устойчивость и асимптотическая устойчивость по Ляпунову.

Рассмотрим ДУ: (1)

Опред. Решение ур-ия называется устойчивым по Ляпунову, при , если такое, что для всякого решения этого уравнения из неравенства (2) следуют неравенство (3), при . Если хотя бы для одного решения уравнения (1) из (2) не следует (3) то - неустойчивое решение.

Геометрически устойчивость означает: какой бы не была -полоска, содержащая кривую , достаточно близкие к ней в начальный момент времени интегральные кривые уравнения (1) целиком содержатся в указанной -полоске при всех .

Решение уравнения (1) называется асимптотически устойчивым, если 1) оно устойчиво и 2) такое, что для любого решения уравнения (1), удовлетворяющего условию имеем .

Исследовать на устойчивость тривиальное решение уравнений:

Пример 1.

Решение. Решение уравнения, удовл. нач. условию , имеет вид . Покажем, что для произвольного фиксированного и не существует положительного такого, что из условия следует . Действительно, если при любом фиксированном : , то . Т.е. не существует такого , чтобы выполнялось условие устойчивости

тривиального решения.

Пример 2.

Решение. Общее решение уравнения имеет вид: . Тривиальное решение удовлетворяет нач. условию . След-но, -решение уравнения, удовлет. нач. усл-ию . Имеем при : . Если примем , то из условия следует . По определению, это означает, что решение устойчивое. Кроме того, . Т.е. тривиальное решение асимптот. устойчиво.

 

Пример 3.

Решение. -общее решение уравнения. Решение удовлет. нач. условию . Решение , удовлет. нач. условию имеет вид: . В этом случае такое, что , если для всех . Следовательно, устойчивое решение уравнения.

Асимптотической устойчивости здесь нет, так как прямая не стремится к прямой при .

9. Оценка погрешности метода последовательных приближений для уравнения .

Рассмотрим ДУ: с НУ: . Метод последовательных приближений имеет вид: . Считая выполненными условия теоремы существования и единственности решения, получим оценку метода последовательных приближений. Пусть . Обозначим через -погрешность -го приближенного решения к решению и воспользуемся условием Липшица:

(*). Т.е. зная погрешность -го приближения, можно получить оценку погрешности -го приближения. Имеем, используя теорему Лагранжа: , где . По формуле (*), находим:

. Методом мат. индукции получаем оценку -го приближ. решения: .

Пример. Методом послед. приближений найти второе приближение к решению задачи Коши: в квадрате .

Решение. Ф-ия непрерывна вместе со своей производной в рассматриваемом квадрате . Поэтому удовлетворяет условию Липшица с постоянной . Так как , то . Следовательно, пикаровские приближения сходятся по крайней мере в промежутке . Приближения вычисляем по формуле: . Имеем: . Разность м/у точным решением и найденным вторым последовательным приближением:

. Таким образом, теорема существования и единственности гарантирует сходимость последовательных приближений на интервале . Погрешность второго приближения .

10. Решение систем ДУ методом исключения.

Рассмотрим систему ДУ: (1). Метод исключения заключается в следующем: из уравнений системы (1) и из уравнений, получающихся дифференцированием уравнений, входящих в систему, исключаем все неизвестные функции, кроме одной, для определения которой получаем одно ДУ порядка выше первого. Интегрируя это уравнение, находим одну из неизвестных функций, а остальные неизвестные функции по возможности без интегрирования получаем из исходных в результате дифференцирования найденной первой неизвестной функции.

Пример. .

Решение. Дифференцируем первое уравнение системы: . Подставляем второе уравнение системы: . Откуда, получаем решение: . Из первого уравнения системы дифференцированием найденного значения получаем: .

11. Структура общего решения линейной однородной системы ДУ с непрерыв. на коэф.

Рассмотрим систему:

Теорема. Линейная комбинация фундаментальной системы решений однородной системы ДУ (1) с непр. на коэф. есть общее решение этой системы на .

Док-во. Так как коэф. системы (1) непрерывны на , то эта система имеет единственное решение на , удовлет. произвольно заданным нач. условиям. Составим функцию (2). При любых постоянных она является решением системы (1). Произвольно зададим начальные условия . В силу равенства (2) имеем: или в развернутом виде: . Получили неоднородную систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных , определитель которой есть . Следовательно, эта система имеет единственное решение . Это означает, что решение , опред. рав-ом (2), есть общее решение системы (1).

Опред. Векторы называются линейно-зависимыми на , если существуют постоянные , не все равные нулю, такие, что (*) на . Если тожд. (*) справедливо только при , то вектор-функции наз-ся линейно независимыми.

Теорема. Если вектор-функции линейно зависимы на , то определитель на .

Теорема. Для того, чтобы частные решения системы (1) были линейно независимы на , необходимо и достаточно, чтобы опред. Вронского не обращался в нуль ни в одной точке отрезка .

Опред. Система линейно независимых решений системы (1) наз-ся фундаментальной системой решений на .

Опред. Система функций (**), зависящая от и произвольных постоянных называется общим решением системы (1) в нек. области существования и единственности задачи Коши, если: 1) При любых допустимых значениях система функций (**) обращает систему ДУ в тождество; 2) какими бы ни были нач. условия существуют постоянные , такие, что . Решение, полученное из общего при конкретных значениях постоянных наз-ся частным решением.

Пример. .

Решение. Ищем решение в виде: . Подставив в исходную систему, получим: . Характеристическое уравнение имеет корни . При , получаем: . Приняв , имеем . То есть , . Таким образом, общее решение системы имеет вид:

Так как, вронскиан , то решения и -линейно независимы.

12. Уравнение Бернулли. Метод решения.

Уравнением Бернулли называется уравнение (1), где . Уравнение (1) при -однородное линейное уравнение, при -неоднородное линейное уравнение. Поэтому будем предполагать в дальнейшем, что и . Для нецелого будем считать . Уравнение Бернулли имеет очевидное решение . Считая , разделим обе части уравнения (1) на : (2) и введем замену . Тогда и уравнение (2) записывается в виде: . Это линейное однородное уравнение первого порядка относительно . Его общее решение имеет вид: Возвращаясь к переменной , получаем: - общий интеграл уравнения Бернулли.

Пример. Решить уравнение .

Решение. Разделим уравнение на , получим: (*). Положим . Тогда . Подставляя в (*), получим: или . Т.о. получили линейное уравнение первого порядка, решение которого имеет вид: - общее решение.

13. Особые решения ДУ (*). Найти особые решения ур-ия Клеро .

Особые решения – это решения, в каждой точке которых нарушена единственность решения. В точках особого множества одновременно должны выполняться условия: и (1). Эти условия являются необходимыми условиями существования особого решения ДУ. Обычно условия (1) записываются в виде: и (2). Кривая , полученная исключением параметра из (2), называется - дискриминантной кривой. Если какая-либо ветвь -дискриминантной кривой яв-ся интегральной кривой ДУ (*), причем в каждой ее точке нарушена единственность решения, то -особое решение ур-ия (*).

Ур-ие Клеро имеет вид: . Полагая , получаем . Откуда дифференцируя по , находим: . Здесь или . В первом случае, исключая из уравнений и , получаем общее решение (3). Если , то . В этом случае решения определяются из уравнений: (4). Интегральная кривая, определенная уравнениями (4) яв-ся огибающей семейства интегральных прямых (3). Действительно, огибающая некоторого семейства определяется уравнениями и , которые для сем-ва (3) имеют вид и только обозначением параметра отличаются от (4).

Пример. . Заменяя в уравнении на произвольную постоянную , получаем общее решение (**). Кроме того, интегральной кривой яв-ся огибающая семейства (**). Она определяется из ур-ий: . Исключая , получаем , т.е. огибающую семейства прямых (**).

Найдем особые решения: и . Откуда - яв-ся решением, а т.к. огибающая, то единственность нарушается, следовательно яв-ся особым решением.

14. Решение неоднородной системы линейных ДУ методом вариации произвольной постоянной.

Рассмотрим неоднородную систему линейных ДУ: (1) с непрерывными на коэффициентами и функциями . Покажем, что если известно общее решение соответствующей однородной системы (2), то общее решение системы можно определить методом вариации произвольной постоянной. Пусть - общее решение системы (2), где - фундаментальная система решений этого уравнения. Решение системы (1) будем искать в виде: (3), где -неизвестные функции от . Подставляя (3) в (1) и учитывая, что , получаем: (4). Равенство (4) при каждом фиксированном представляет собой систему линейных неоднородных алгебраических уравнений относительно неизвестных . Определитель этой системы есть при любом . Следовательно, система (4) имеет единственное решение: . Откуда , где -произвольные постоянные. Подставляя найденные значения в (3), определим общее решение системы (1): .

Пример. (*).

Решение. Общее решение соответствующей однородной системы имеет вид:

Решение системы (*) будем искать в виде: . Подставляя эти значения и в систему (*), получаем:

Откуда находим , где -произв. постоянные.

Общее решение системы (*) имеет вид:

16. Дифференциальные уравнения порядка выше первого. Методы понижения порядка.

Рассмотрим некоторые виды ДУ:

1) . Полагаем , так, чтобы . Так как , то . Откуда .

и т.д.

2) . В этом случае порядок уравнения может быть понижен до порядка заменой , т.е. введением новой неизвестной функции. После такой замены уравнение примет вид: . Допустим, что мы сумели найти общий интеграл уравнения , или . Последнее уравнение принадлежит к виду , которое интегрируется в квадратурах.

3) . Порядок уравнения можно понизить на единицу, если за независимую переменную принять , полагая , где -новая неизвестная функция. В этом случае все производные можно выразить через производные функции по и т.о. понизить порядок уравнения на единицу. Действительно, ,

и т.д.

Подставляя эти значения производных, получим уравнение, порядок которого не единицу ниже исходного.

4) Левая часть уравнения есть однородная функция аргументов измерения , т.е. . В этом случае порядок может быть понижен на 1 с помощью подстановки: , где -неизвестная ф-ия. Тогда

. Подставляя эти значения в исходное уравнение, получаем: .

Пример 1.

Решение. Полагаем . Тогда и исходное уравнение примет вид: . Разделяем переменные: или . Интегрируя, получаем: или , откуда . Тогда .

Пример 2. (*)

Решение. Полагаем . Тогда . Уравнение записывается в виде: (**). Если , то - общее решение уравнения (**). При , получаем . Откуда находим общий интеграл уравнения (*): . При : , входит в решение .