Устойчивость автономных систем.

Устойчивость автономных систем.

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений: (1), где функции определены для всех и из некоторой области и удовлетворяют условиям теоремы существования и единственности решения задачи Коши в некоторой замкнутой окрестности точки .

Опред. Решение системы диф. ур-ий называется устойчивым по Ляпунову, при , если такое, что для всякого решения системы из неравенств (2) следуют неравенства (3), при . Если хотя бы для одного решения системы (1) из (2) не следует (3) при всех , то - неустойчивое решение системы. Решение системы (1) называется асимптотически устойчивым, если оно устойчиво и ,

Рассмотрим автономную системы , (4), для которой . Это значит, что точка есть точка покоя системы (4), а следовательно, точка .

Обозначим ч/з шар . Будем предполагать, что правые части системы (4) в удовлетворяют условиям теоремы существования и единственности решения задачи Коши.

Опред. Точка покоя системы дифференциальных уравнений (4) называется устойчивой, если , что любая траектория системы (4), начинающаяся в момент времени в точке , все время затем остается в шаре .

Опред. Точка покоя системы (4) наз-ся асимптотически устойчивой, если: 1) она устойчива и 2) , что каждая траектория системы (4), начинающаяся в момент времени в точке , стремится к точке покоя, когда время бесконечно возрастает.

Рас-им систему ДУ: (5). Будем считать, что . Это означ., что система имеет единственную точку покоя . Исследуем поведение траекторий в окрестности этой точки. Решение системы будем искать в виде: . Для определения получаем систему: . Система имеет ненулевое решение, когда . Харак-ое уравнение м\б составлено по матрице системы : . Тогда решение системы имеет вид: (6). Рассмотрим случаи:

1) Корни характер. ур-ия действительные и различные

1. Пусть . Устойчивый узел (асимптотическая устойчивость). Предположим, что . Тогда . Это означает, что траек-ми. сист. (5) яв-ся два луча, входящие в нач. коор. с угловым коэф. . При получаем еще два луча, вход. в нач. коор. под углом . В общем случае , что означает, что все траек-ии (за искл. лучей с угл. коэф. ) имеют направ. лучей .

2. Пусть . Неустойчивый узел

3. Пусть . Седло (точка покоя неустойчива). При получаем два луча , выходящие из начала координат (т.к. ). При - два луча , входящие в начало координат. В общем случае: . Т.е. траектории удаляются от начала координат при по направлению лучей .

2) Корни - комплексные, т.е. . а) - устойчивый фокус, б) - неустойчивый фокус, в) - центр

3) Корни - кратные. Вырожденный узел.

3) Корни - кратные. Вырожденный узел.

Устойчивость автономных систем.

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений: (1), где функции определены для всех и из некоторой области и удовлетворяют условиям теоремы существования и единственности решения задачи Коши в некоторой замкнутой окрестности точки .

Опред. Решение системы диф. ур-ий называется устойчивым по Ляпунову, при , если такое, что для всякого решения системы из неравенств (2) следуют неравенства (3), при . Если хотя бы для одного решения системы (1) из (2) не следует (3) при всех , то - неустойчивое решение системы. Решение системы (1) называется асимптотически устойчивым, если оно устойчиво и ,

Рассмотрим автономную системы , (4), для которой . Это значит, что точка есть точка покоя системы (4), а следовательно, точка .

Обозначим ч/з шар . Будем предполагать, что правые части системы (4) в удовлетворяют условиям теоремы существования и единственности решения задачи Коши.

Опред. Точка покоя системы дифференциальных уравнений (4) называется устойчивой, если , что любая траектория системы (4), начинающаяся в момент времени в точке , все время затем остается в шаре .

Опред. Точка покоя системы (4) наз-ся асимптотически устойчивой, если: 1) она устойчива и 2) , что каждая траектория системы (4), начинающаяся в момент времени в точке , стремится к точке покоя, когда время бесконечно возрастает.

Рас-им систему ДУ: (5). Будем считать, что . Это означ., что система имеет единственную точку покоя . Исследуем поведение траекторий в окрестности этой точки. Решение системы будем искать в виде: . Для определения получаем систему: . Система имеет ненулевое решение, когда . Харак-ое уравнение м\б составлено по матрице системы : . Тогда решение системы имеет вид: (6). Рассмотрим случаи:

1) Корни характер. ур-ия действительные и различные

1. Пусть . Устойчивый узел (асимптотическая устойчивость). Предположим, что . Тогда . Это означает, что траек-ми. сист. (5) яв-ся два луча, входящие в нач. коор. с угловым коэф. . При получаем еще два луча, вход. в нач. коор. под углом . В общем случае , что означает, что все траек-ии (за искл. лучей с угл. коэф. ) имеют направ. лучей .

2. Пусть . Неустойчивый узел

3. Пусть . Седло (точка покоя неустойчива). При получаем два луча , выходящие из начала координат (т.к. ). При - два луча , входящие в начало координат. В общем случае: . Т.е. траектории удаляются от начала координат при по направлению лучей .

2) Корни - комплексные, т.е. . а) - устойчивый фокус, б) - неустойчивый фокус, в) - центр

3) Корни - кратные. Вырожденный узел.

3) Корни - кратные. Вырожденный узел.