Доказательство существования решения.

Докажем сначала что решение задачи (1), (2) равносильно решению интегрального уравнения (5)

В самом деле пусть y = y(x) – решение задачи Коши (1), (2) в некоторой окрестности точки x₀. Тогда в этой окрестности имеет место тождество (6). Интегрируя это тождество в пределах от х₀ до х и учитывая условие (2) получаем (7) т.е. решение задачи (1), (2) удовлетворяет интегральному уравнению (5)

При доказательстве существования решения уравнения (5) будем пользоваться методом последовательных приближений (методом Пикара). За нулевое последовательное приближение к решению возьмем произвольно заданное число y₀, n-ое последовательное приближение определим по формуле (8)

Сначала докажем, применяя метод математической индукции. Что ни одно из последовтельных приближений не выходит из области D. Если x₀ - h ≤ x ≤ x₀ + h, где

Рассмотрим первое приближение (9)

Так как функция под знаком интеграла известна, то y1(x) вычисляется квадратурой. Если ограничить изменение х в формуле (9) интервалом | x - x₀ | ≤ h, то значения аргументов x и y₀ функции, а будут принадлежать области D, в которой выполнено условие (3). Из формулы (9) получаем |y₁(x) – y₀| ≤ M|x –x₀| ≤ Mh ≤ M = b, т.е. y₁(x) не выходит из области D. Предположим теперь что y_n-1(x)не выходит из области D при

Тогда из равенства находим |y_n(x) – y₀| ≤ Mh ≤ b при т.е. n-ое приближение к решению при любых n = 1, 2, … не выходит из области D, при этом y_n(x₀) = y₀, n = 1, 2, …

Покажем что существует предел полученных последовательных приближений {y_n(x)} и что этот предел удовлетворяет интегральному уравнению (5), а следовательно и задаче (1), (2). Для этого достаточно показать сходимость ряда y₀ + (y₁(x) – y₀) + (y₂(x) – y₁(x)) + … (10) так как частная сумма этого ряда S_n(x) = y_n(x). Имеем Используя неравенство Липшица и полученную оценку разности | y₁(x) – y₀ |, находим Применяя метод математической индукции, получаем, что для всех n = 1, 2, … справедливая оценка

Таким образом, доказано, что ряд (10) на сегменте мажорируется сходящимся числовым рядом (11)

В сходимости ряда (11) легко убедится применяя признаки Даламбера. Это означает по теореме Вейерштрасса, что ряд (10) сходится на сегменте абсолютно и равномерно. Каждый член ряда (10) непрерывная функция от x.

Следовательно - непрерывная функция на сегменте . При этом у(х) удовлетворяет заданному начальному условию т.к.

При функция у(х) не выходит из области D так как , если

 

Докажем что есть решение интегрального уравнения (5), а следовательно и задачи (1), (2). Для этого n-ое последовательное приближение перепишем в виде (12)

Используя условия Липшица и сходимость последовательности {y_n(x)} к пределу y(x), имеем при

Переходя в (12) к пределу при , получаем . Существование решения задачи Коши (1), (2) доказано.

Доказательство единственности

Допустим что кроме решения y(x) задачи (1), (2) существуют по крайней мере ещё одно решение z(x) этой задачи. В этом случае имеем ,

Без ограничения общности будем предполагать, что значения x, для которых y(x) ≠ z(x) находятся вправо от точки х₀ на некотором достаточно малом интервале (x₀, x₀ + ε), где ε > 0. В противном случае за точку x₀ можно взять другую точку, в любой близости которой y(x) ≠ z(x) или заменить х на –х. Функция | y(x) - z(x) | непрерывна на отрезке [x₀, x₀ + ε], следовательно, на этом отрезке она достигает своего наибольшего значения в некоторой точке ξ ≠ x₀. Обозначим , где θ – не равна нулю. В силу условия Липшица имеем или 1 ≤ Nε. Так как ε можно выбрать как угодно малым, например, взять , то приходим к противоречию 1 < 1. Следовательно, решение задачи Коши (1), (2) единственное.