Практические занятия № 23-24

Тема: «Нормальное распределение»

 

1.Случайная величина Х подчинена нормальному закону распределения с математическим ожиданием М(Х) = 2 и средним квадратичным отклонением σ(Х)=3. Запишите плотность вероятности Х.

2. Случайная величина Х подчинена нормальному закону распределения с математическим ожиданием М(Х) = 2 и дисперсией . Запишите плотность вероятности Х.

3. Х- нормальная случайная величина, плотность вероятности которой опреде­ляется формулой . Найти математическое ожидание и дисперсию Х.

Задача 4. Случайная величина Х подчинена нормальному закону распределения с математическим ожиданием М(Х) =10 и средним квадратичным отклонением σ(Х)=2. Найти вероятность попадания Х в интервал [12; 14].

Решение. Воспользуемся формулой:

.

Имеем: . Тогда

Ответ. 0,1359.

 

5.Случайная величина Х подчинена нормальному закону распределения с ма­тематическим ожиданием М(Х) =20 и средним квадратичным отклонением σ(Х)=5. Найти вероятность попадания Х в интервал [15; 25]. Ответ. 0,6826.

6. Случайная величина Х подчинена нормальному закону распределения с математическим ожиданием М(Х) =2 и средним квадратичным отклонением σ(Х)=1. Найти вероятность следующих неравенств: а) 1 < Х < 3; б) 0 < Х < 2; в) ; г) X < 3; д) X > 0. Ответ. а) 0,6826; б) 0,4772; в) 0,84129; г) 0,8413; д) 0,9772.

7. Автомат штампует детали. Контролируется длина детали Х, которая имеет нормальное распределение с математическим ожиданием М(Х)=50мм (проектная длина) и средним квадратичным отклонением . Деталь считается годной, если ее отклонение от проектной величины не превышает 10мм. Сколько процентов годных деталей изготовляет автомат? Ответ. 90,3%.

8. Случайные ошибки измерения Х подчинены нормальному распределению с а =0. Найти среднее квадратичное отклонение Х, если известно, что вероятность события равна 0,6626. Ответ. ≈1,04.

9. Случайная величина Х подчинена нормальному распределению с а =0. Найти среднее квадратичное отклонение Х, если известно, что вероятность события равна 0,0288. Ответ. ≈1,58.

 

Задача 10. Производится взвешивание некоторого вещества без систе­матических ошибок. Случайные ошибки измерения подчинены нормальному распределению с а =0 и σ =20г. Найти вероятность того, что взвешивание будет произведено с ошибкой, не превышающей 10г.

Решение. Воспользуемся формулой: . Имеем: . Тогда . Искомая вероятность равна 2∙0,1915=0,383. Ответ. 0,383.

 

11. Случайная величина Х подчинена нормальному закону распределения с математическим ожиданием М(Х) =10 и средним квадратичным отклонением σ(Х)=5. Найти интервал, симметричный относительно математического ожидания, в котором Х будет заключена с вероятностью а) 0,9974; б) 0,5. Ответ. а) (-5; 25); б) (6,6; 13,4)

12. Случайные ошибки измерения подчинены нормальному распределе­нию с а = 0 и σ = 20. Найти вероятность того, что из трех независимых измерений хотя бы в одном измерении ошибка по абсолютной величине не превзойдет 4. Ответ. 0,404.

13. Случайная величина Х подчинена нормальному закону распределения с математическим ожиданием М(Х) =10 и средним квадратичным отклонением σ(Х)=3. Пользуясь правилом «3σ» найти интервал, симметричный относительно математического ожидания, куда Х попадет с вероятностью 0,9973. Ответ. (1; 19).

14. Автомат изготавливает диски проектным диаметром 2,5см. Случайные ошибки (точность автомата) подчинены нормальному распределению с М(Х) =0 и D(Х)=0,0001. Пользуясь правилом «3σ» найти интервал, симметричный относительно математического ожидания, куда Х попадет с вероятностью 0,9973. Ответ. (2,47; 2,53).

15. Станок-автомат штампует плитки. Контролируется толщина плитки Х. Проектная толщина плитки равна 5мм. Фактически толщина плитки колеблется от 2,3 до7,7мм. Плитка признается стандартной, если ее толщина от 4 до 6мм. Сколько процентов стандартной плитки изготовляет автомат? Ответ. 73,3%.

 

 

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 25

Тема 1.: «Гистограмма и полигон»

 

Задача 1. Для заданных выборок найти: а) распределение относительно частот; б) эмпирическую функцию распределения; в) построить полигон частот и полигон относительных частот

1)

xi
ni

2)

xi
ni

3)

xi
ni

4)

xi
ni

Задача 2. Для следующих выборок найти: а) распределение относительно частот; б) функцию распределения; в) построить гистограмму частот; г) построить полигон частот

1)

№ интервала
xi,хi+1	2 - 7	7 - 12	12 - 17	17 - 22	22 - 27
ni

2)

№ интервала
xi,хi+1	2 - 5	5 - 8	8 - 11	11 - 14
ni

3)

№ интервала
xi,хi+1	10 - 15	15 - 20	20 - 25	25 - 30	30 - 35
ni

4)

№ интервала
xi,хi+1	-0,2;-0,1	-0,1;0	0;0,1	0,1;0,2	0,2;0,3	0,3;0,4
ni

 

Тема 2.: «Точечные оценки статического распределения»

 

По данным выборкам найти выборочное среднее, выборочную дисперсию, исправленную дисперсию.

Задача 1. Приводятся результаты наблюдений за числом неправильных соединений на телефонной станции за каждую минуту в течение часа; х_i – количество неправильных соединений, n_i – число минутных интервалов

 

хi
ni

 

Задача 2. Приводятся ошибки 40 измерений некоторой физической величины n_i – количество ошибок, лежащих в интервале (x_i,x_i+1)

 

xi, xi+1	(-1,0; -0,6)	(-0,6; -0,2)	(-0,2; 0,2)	(0,2; 0,6)	(0,6; 1,0)	(1,0; 1,4)
ni

 

Задача 3. Приводятся данные ежедневных измерений температуры в течение месяца t_i, t_i+1 – температурный интервал, n_i – число наблюдений

 

ti, ti+1	12 - 13	13 – 14	14 - 15	15 - 16	16 - 17	17 - 18	18 - 19
ni