Практические занятия № 18-19

Тема 1: «Повторение испытаний. Схема Бернулли»

 

Задача 1. Вероятность перерасхода воды на предприятии в течение одного дня равна 0,1. Каковы вероятности того, что в течение пятидневной рабочей недели перерасход воды произойдет от одного до пяти раз?

Решение. Воспользуемся формулой Бернулли: . Тогда вероятность того, что перерасход воды произойдет только один раз равна , вероятность того, что перерасход произойдет дважды, равна . Вероятность того, что перерасход воды произойдет три раза, равна ; четыре раза - . Вероятность того, что перерасход произойдет пять раз равна . Наконец вероятность того, что перерасхода воды не произойдет, равна .

 

Задание

1. Два равносильных противника играют в шахматы без ничьих. Что вероятнее: а) выиграть две партии из четырех или три партии из шести? б) выиграть не менее двух партий из трех или не менее трех партий из пяти? Ответ. а) две партии из четырех; б) одинаковая вероятность.

2. Монету бросают пять раз. Найти вероятность того, что «герб» выпадет:а) менее двух раз; б) не менее двух раз. Ответ. а) б) .

3. Какова вероятность выпадения хотя бы двух шестерок при трех бросках игральной кости? Ответ. .

4. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,25. Было произведено пять выстрелов. Какова вероятность а) не менее трех попаданий? б) хотя бы одного попадания? Ответ. а) б) .

Задача 2. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,4. Сколько выстрелов должен сделать стрелок, чтобы с вероятностью не менее 0,9 он хотя бы один раз попал в цель?

Решение. Вероятность того, что при n выстрелах не будет ни одного попадания равна . Вероятность того, что будет хоть одно попадание равна . Таким образом решение задачи сводится к решению неравенства ; . Имеем: ; . Следовательно, нужно сделать не менее пяти выстрелов.

5. Сколько раз надо бросить игральную кость, чтобы вероятность выпадения хотя бы одной шестерки была больше 0,8? Ответ. не менее 9.

6. В лотерее выигрывает каждый пятый билет. Сколько билетов надо приобрести, чтобы вероятность того, что хотя бы один билет выиграет, была больше 0,7? Ответ. Не менее 6.

7. Партия изделий содержит 1% брака. Каков должен быть объем контрольной выборки, чтобы вероятность обнаружить в ней хотя бы одно бракованное изделие была не меньше 0,95? Ответ. Не менее 299 изделий.

 

Задача 3. Товаровед осматривает 24 образца товаров. Вероятность того, что каждый из образцов будет признан годным к продаже, равна 0,6. Найти наивероятнейшее число образцов, которые товаровед признает годными к продаже.

Решение. Наивероятнейшее число наступления события в незави­симых испытаниях определяется двойным неравенством . По условию . Тогда или . Так как - целое число, то наивероятнейших чисел два: 14 и 15.

 

8. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,8. произведено 15 выстрелов. Найти наивероятнейшее число попаданий. Ответ. 12.

 

 

Тема 2: «Локальная и интегральная теоремы Лапласа»

 

Задача 1. Вероятность брака при штамповке деталей равна 0,05. Найти вероятность того, что в партии из 10000 деталей бракованными окажутся а) ровно 500 деталей; б) ровно 530 деталей.

Решение. а) Имеем . Для случая а) k =500; для случая б) k =530.

Воспользуемся формулой локальной теоремы Лапласа

где .

Тогда

.

Для случая а) х= 0. По таблице находим .

Тогда

. Ответ. а) 0,018; б) 0,007.

 

1. Вероятность рождения мальчика равна 0,51. Найти вероятность того, что среди 100 новорожденных будет ровно а) 50 мальчиков б) 51 мальчик. Ответ. а) 0,0782, б) 0,07978.

2. Посеяно 10000 семян. Вероятность того, что семя не прорастет, равна 0,0003. Какова вероятность того, что все семена прорастут?

Ответ. 0,0516.

3. Вероятность выхода из строя одного элемента в течение года равна 0,2. Какова вероятность того, что из 100 элементов в течение года выйдут из строя ровно 15? Ответ. 0,04565.

4. Вероятность прерывания телефонного соединения равна 0,03. Какова вероятность того, что среди 100 телефонных соединений будет ровно одно прерывание? Ответ. 0,118.

 

Задача 2. Телефонная станция обслуживает 600 абонентов. Вероятность любого абонента позвонить в течение часа равна 0,05. Какова вероятность того, что в течение часа позвонят от 5 до 45 человек?

Решение. Искомую вероятность найдем с помощью интегральной теоремы Лапласа:

,

где , ,

а значение функции Φ находится по специальной таблице.

Имеем: n = 600, p = 0,05, q = 1- p =0,95, .

Вычислим: ,

, .

По таблице находим: , .

Тогда Ответ. 0,996.

 

5. Газета содержит 20000 букв. Каждая буква может быть неправильно напечатана с вероятностью 0, 004. Какова вероятность того, что в газете будет не менее двух опечаток? Ответ. 0, 9830.

6. При штамповке деталей вероятность брака составляет 1%. Какова вероятность того, что среди 10000 случайно отобранных деталей не более 110 окажутся бракованными? Ответ. 0,8413.

7. Завод отправил в магазин 5000 лампочек. Вероятность того, что лампочка при транспортировке разобьется, равна 0,0002. Найдите вероятность того, что в магазин привезут не более трех разбитых лампочек.

Ответ. 0,8185.

8. В страховой компании застраховано 10000 автомобилей. Страховой взнос в год составляет 30 у.е., а в случае аварии компания выплачивает пострадавшему 3000у.е. Вероятность аварии для одного автомобиля в течение года составляет0,006. Найти вероятность следующих событий: А – в течение года компания потерпит убыток; В – прибыль компании за год превысит 60000у.е.; С - прибыль компании за год превысит 120000у.е.; D - прибыль компании за год превысит 180000у.е.

Ответ. Р(А)=0; Р(В)=0,9952; Р(С)=0,5; Р(D)=0,0048.

 

 

Тема 3: «Отклонение относительной частоты от теоретической вероятности»

 

При решении задач по этой теме используется формула:

1. Вероятность появления события в каждом из 900 испытаний равна 0,5. Найти вероятность того, что относительная частота отклонится от вероятности по абсолютной величине не более чем на 0,02. Ответ. 0,7698.

2. Вероятность появления события в каждом из 10000 испытаний равна 0,75. найти вероятность того, что относительная частота появления события отклонится от вероятности по абсолютной величине не более чем на 0,04. Ответ. 0,979.

 

Задача 1. Вероятность появления события в опыте равна 0,2. Найти число испытаний n, при котором с вероятностью примерно 0,99 можно ожидать, что отклонение относительной частоты от теоретической вероятности по абсолютной величине не превзойдет 0,04.

Решение. Имеем: . Так как по формуле , то , откуда . По таблице находим: , откуда , .

Ответ. 666.

 

3. В урне содержатся белые и черные шары в соотношении 4:1 (белых к черным). Из урны наудачу вынимается шар, регистрируется его цвет, после чего шар возвращается обратно. Чему равно минимальное число опытов, при котором с вероятностью 0,95 можно ожидать, что относительная частота появления белого шара отклонится от вероятности по абсолютной величине не более чем на 0,01. Ответ. 6147.

4. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,7. Сколько выстрелов надо сделать, чтобы отклонение относительной частоты попаданий от вероятности не превышало бы 0,01 с вероятностью а) 0,96? б) 0,9? Ответ. а) 8826; б) 5718.

5. Вероятность появления события в каждом из 400 независимых испытаний равна 0,8. Найти такое положительное число ε, чтобы с вероятностью 0,99 отклонение относительной частоты от вероятности не превысило бы ε. Ответ. 0,05.

6.Вероятность появления события в каждом из 10000 независимых испытаний равна 0,75. Найти такое положительное число ε, чтобы с вероятностью 0,98 отклонение относительной частоты от вероятности не превысило бы ε. Ответ. 0,01.

 

Задача 2. Небольшой городок ежедневно посещает 100 туристов, которые независимо друг от друга идут обедать в один из двух ресторанов. Владелец одного из ресторанов хочет, чтобы с вероятностью, близкой к 0,99 все клиенты, пришедшие к нему, могли бы пообедать без очереди. Сколько мест должен он держать в ресторане?

Решение. Определим границы числа посетителей ресторана с точностью 0,99. Имеем: . Воспользуемся формулой отклонения относительной частоты от вероятности: . Тогда ; ; , откуда . Обратимся к левой части формулы: , где m – число происшедших событий, в данном случае число посетителей ресторана. Отсюда ; ; ; . Следовательно, с вероятностью 0,99 число посетителей ресторана лежит между 37 и 63. Чтобы все посетители могли пообедать без очереди, в ресторане должно быть 63 места. Ответ. 63.

 

7. ОТК проверяет на брак 475 деталей. Вероятность того, что деталь бракованная, равна 0,05. Найти с вероятностью 0,95 границы, в которых будет заключено число бракованных деталей. Ответ. От 14 до 34.

8. Игральную кость бросают 80 раз. Найти с вероятностью границы, в которых будет заключено число выпадений шести очков а) с вероятностью 0,99; б0 с вероятностью0,8. Ответ. а) от 4 до 22; б) от 9 до 12.

9. При штамповке деталей вероятность брака составляет1%. Найти с вероятностью 0,9 границы, в которых будет заключено число бракованных деталей в партии из 1000 деталей. Ответ. От 9 до 15.

 

 

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 20

Тема: «Дискретные СВ и их характеристики»

Задача 1. Устройство состоит из трех независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента равна 0,1. Случайная величина Х – число отказавших элементов. Составить закон распределения СВ Х и найти математическое ожидание и дисперсию Х.

Решение. Очевидно, что СВ Х может принимать значения от 0 до 3. Для нахождения вероятности того, что Х примет значение k, воспользуемся формулой Бернулли: . Имеем: . Тогда

;

;

.

Составим таблицу:

Х
р	0,729	0,243	0,027	0,001

 

Проверим выполнение условия . Действительно 0,729 + 0,243 + 0,027 + 0,001 = 1. Следовательно получен закон распределения СВ Х.

Вычислим математическое ожидание Х, воспользовавшись формулой . Тогда

.

Для вычисления дисперсии воспользуемся формулой:

.

Тогда

.

. Ответ. .

 

1. В ящике 4 годных и 2 бракованных детали. Наудачу из ящика вынимают две детали. СВ Х – число годных деталей среди вынутых. Найти закон распределения СВ Х.

2. В ящике 4 годных и 2 бракованных детали. Детали достаются по одной, пока не будут отобраны две годных детали. СВ Х – число вынутых деталей. Найти закон распределения СВ Х.

3. Стрелку выдано три патрона. Стрелок стреляет в цель до первого попадания или пока не кончатся патроны. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,8. СВ Х – число выстрелов. Найти закон распределения СВ Х.

4. В партии деталей 10% нестандартных. Наудачу отобраны 4 детали. СВ Х – число нестандартных деталей среди отобранных. Найти закон распределения СВ Х и его математическое ожидание.

5. Дискретная СВ задана законом распределения

Х	4	6	х3
р	0,5	0,3	р3

Известно, что математическое ожидание этой СВ равно 8. Найти х₃ и р₃

Ответ. х₃=21, р₃=0,2.

6. Дискретная СВ задана таблицей распределения

Х	0
р

Написать закон распределения СВ .

7. Найти математическое ожидание и дисперсию СВ Х, где Х – число выпавших на игральной кости очков при одном броске. Ответ.

8. Найти математическое ожидание и дисперсию СВ Х, заданной таблицей распределения

Х	-2	-1	0	1
р

Ответ. .

9. По заданной таблице распределения найти дисперсию СВ Х

Х	-1	1	2	3
р				р

Ответ. .

 

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 21

Тема: «Непрерывные СВ и их характеристики»

 

Задача 1. Случайная величина Х задана плотностью распределения

Найти 1) коэффициент a; 2) функцию распределения ; 3) математи­ческое ожидание и дисперсию Х; 4) вероятность попадания Х в интервал [0, 2].

Решение. 1) Для нахождения коэффициента а используем формулу

. Тогда

.

Приравняв вычисленное значение к 1, получим , откуда .

2) Для вычисления функции распределения воспользуемся формулой

.

Тогда при имеем ; при имеем

.

при имеем

.

Окончательно, .

3) Математическое ожидание М(X) найдем по формуле

.

Тогда .

Дисперсию найдем, воспользовавшись формулой

.

Тогда

.

Откуда .

4) Для нахождения вероятности попадания СВ Х в интервал [0, 2] воспользуемся формулой .

Тогда .

Ответ. 1) ; 2) ,

3) , 4) .

Задание.

1. Дано: . Найти .

2.Дано: . Найти и .

Ответ. .

3.По заданной функции распределения .

Найти плотность распределения . Построить графики функций и .

4.По заданной функции распределения .

Найти плотность распределения и вероятность попадания X в интервал . Ответ. .

5.Найти коэффициент c, если . Ответ. 1.

6. Дано . Найти коэффициент c. Ответ. .

7. Дано: . Найти вероятность . Ответ. .

8. Дано: .Найти вероятность . Ответ. .

9. По заданной плотности вероятности .

Найти математическое ожидание М(X). Ответ. .

10. Дано: . Найти коэффициент с и М(X). Ответ. .

11. По заданной функции распределения .Найти математическое ожидание М(X). Ответ. .

12. По заданной функции распределения .

Найти дисперсию . Ответ. .

13. По заданной плотности вероятности . Найти дисперсию . Ответ. .

14. СВ х задана плотностью вероятности .

Найти дисперсию СВ . Ответ. .

 

 

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 22

Тема: «Основные распределения СВ»

 

1. Две игральные кости бросаются до первого выпадения шести очков хотя бы на одной кости. Найти вероятность того, что первый раз шесть очков выпадет при k –ом броске . Ответ.

2. Проводятся испытания по схеме Бернулли с вероятностью успеха в одном испытании p. Вычислить вероятность того, что все k успехов в n испытаниях появятся подряд. Ответ. .

3. Вероятность отказа каждого прибора в испытаниях не зависит от отказов остальных приборов и равна 0,2. Испытываются серии по девять приборов. Найти наиболее вероятное число отказавших приборов в серии. Ответ. 2.

4. Устройство состоит из 1000 элементов, работающих независимо друг от друга. Вероятность отказа одного элемента в течение времени Т равна 0,002. Найти вероятность того, что за время Т откажут ровно три элемента.

Ответ.

5. Среднее число вызовов, поступающих на АТС за минуту равно 120. Найти вероятности следующих событий: А – за две секунды не поступило не одного вызова; В - за две секунды поступило менее двух вызовов; С – за одну секунду поступило ровно три вызова; D – за три секунды поступило более трех вызовов.

Ответ.

6.Найти среднее число λ бракованных изделий в партии, если вероятность того, что в партии есть хоть одно бракованное изделие, равна 0,95. Ответ. 3.

7. Ошибка округления в экспериментах по измерению подчинена равномерному распределению. Цена деления шкалы измерительного прибора равна 0,2. Найти: а) среднюю ошибку округления; б) вероятность того, что ошибка округления при одном измерении будет меньше 0,04. Ответ. а) 0,1; б) 0,4.

8.Ребро куба Х измерено приблизительно: . Найти математическое ожидание и дисперсию объема куба.

Ответ. .

9.Диаметр диска d измерен приближенно: . Найдите математическое ожидание площади диска. Ответ. .

10.Время ожидания у бензоколонки АЗС подчинено показательному распределению со средним временем ожидания 6 минут. Найти вероятности событий: А – время ожидания не менее трех и не более шести минут; В – время ожидания более двенадцати минут.

Ответ.

11.Время безотказной работы прибора распределено по показательному закону с параметром λ. Вычислить вероятность того, что прибор не выйдет из строя в течение времени . Ответ.