Практические занятия № 3 – 4

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 1

Тема: «Двойные интегралы в декартовых координатах»

Задача 1. Перейдя к повторным интегралам, расставить пределы инте­грирования в интеграле , если область D ограничена прямыми .

Решение. Проведем указанные линии и нарисуем область D:

Если взять интеграл по как внешний, а по как внутренний, то переменная х будет меняться от 0 до 2, а у – от функции (линия входа ОА) до функции (линия выхода АВ). Тогда

.

Если же внешний интеграл взять по переменной у, а внутренний – по переменной х, то у будет изменяться от 0 до 2, а х – от функции (линия входа ОВ) до функции (линия выхода АВ). Тогда

.

Ответ. .

 

Задание. Представить двойной интеграл в виде повторных, предварительно изобразив область D, если D ограничена заданными линиями:

1. . 2.

3. . 4.

Задача 2. Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле

.

Решение. Проведя линии , изобразим область D:

Если за внешнюю переменную взять , то будет меняться от 0 до 4, при этом линией входа будет линия ОВ, заданная уравнением , а линией выхода – ломанная О – А – В, причем для линией выхода будет прямая ОА, заданная уравнением , а для линией выхода будет прямая АВ, заданная уравнением .

Таким образом, при изменении порядка интегрирования интеграл разбивается на два интеграла:

.

Ответ. = .

Задание. Изменить порядок интегрирования, предварительно изобразив область интегрирования D:

1. . 2. . 3. . 4. .

Задача 3. Вычислите интеграл , если область D ограничена заданными линиями: .

Решение. Изобразим область D на чертеже и перейдем к повторному интегралу, взяв в качестве внешней переменной переменную х:

 

.

Задание. Вычислить двойные интегралы

1. , если область D ограничена линиями: . Ответ. -6,4.

2. , если область D ограничена линиями: . Ответ. .

3. , если область D ограничена линиями: . Ответ. .

4. , если область D ограничена линиями: . Ответ. 0.

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 2

Тема 2: «Вычисление тройных интегралов в декартовых координатах»

 

Задача 1. Вычислить интеграл , если тело V ограничено поверхностями .

Решение. Для данного тела , поэтому

=

= = Ответ: .

Задание. Вычислить тройные интегралы.

1. , если V - параллелепипед ограниченный плоскостями . Ответ: 24.

2. , если тело V - ограничено плоскостями . Ответ: .

3. , если тело V ограничено поверхностями . Ответ: 12.

4. , если тело V – ограничено поверхностью и плоскос­тями . Ответ: 8.

5. , если тело V ограничено плоскостями . Ответ: .

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 7

Тема: «Абсолютная и условная сходимость числовых рядов»

 

Задача 1. Исследовать сходимость ряда (определить, является ли он абсолютно сходящимся, условно сходящимся, расходящимся) .

Решение. Для этого знакочередующегося ряда выполнены условия признака Лейбница: 1) 2) .

Следовательно, указанный ряд сходится. Однако ряд, составленный из модулей членов данного ряда, т.е. ряд расходится (гармонический ряд). Значит исходный ряд условно сходящийся.

 

Задание. Исследовать сходимость ряда.

1. . Ответ. Абсолютно сходится.

2. . Ответ. Расходится.

3. . Ответ. Условно сходится.

4. . Ответ. Абсолютно сходится.

5. . Ответ. Абсолютно сходится.

6. . Ответ. Абсолютно сходится.

7. . Ответ. Расходится.

8. . Ответ. Расходится.

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 8

Тема: «Степенные ряды»

Задача 1. Найти область сходимости ряда .

Решение. Имеем

.

Следовательно ряд сходится при любом значении .

Задача 2. Найти область сходимости ряда .

Решение. Имеем

. .

Исследуем поведение ряда на концах интервала сходимости .

При имеем ряд , который расходится (гармониче­ский ряд). При имеем ряд , который сходится по признаку Лейбница.

Следовательно, областью сходимости исходного ряда является полуотре­зок .

Задача 3. Найти область сходимости cтепенного ряда .

Решение. Имеем

. .

Следовательно, ряд сходится при , т.е. при .

При имеем ряд

,

который сходится по признаку Лейбница.

При имеем ряд

,

который расходится (гармонический ряд).

Следовательно, областью сходимости исходного ряда является полу-отрезок .

 

Задание. Найти область сходимости ряда.

1. . Ответ. (-7, 7). 2. . Ответ. [1, 3].

3. . Ответ. [2, 8). 4. . Ответ. .

5. . Ответ. .

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 9

Тема: «Разложение функций в степенные ряды»

 

Задача 1. Разложить в ряд Маклорена функцию .

Решение. Найдем значения функции и ее производных при .

………………………………..

Получим:

.

Задача 2. Выписать ряд Маклорена функции .

Решение. В разложении

заменим на ; получим:

Задача 3. Разложить в ряд Маклорена функцию .

Решение. Воспользуемся формулой

Так как

,

то заменив на , получим:

где , т.е. .

 

Задание. Разложить в ряд Маклорена.

1. . Ответ.

2. . Ответ. .

3. Разложить в ряд по степеням .

Ответ.

4.Разложить в ряд по степеням .

Ответ. .

5. Выписать ряд Маклорена для функции .

Ответ. .

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 10

Тема: «Некоторые приложения степенных рядов»

 

Задача 1. Вычислить с точностью 0,0001.

Решение. Преобразуем корень

.

Полагаем в разложении функции и умножая его на 3 получим

.

Здесь частичная сумма обеспечивает заданную точность, т.к.

 

Задание.

1. Вычислить с точностью 0,0001. Ответ. .

2. Вычислить с точностью до 0,001. Ответ. .

3. Вычислить с точностью до 0,0001. Ответ. .

Задача 2. Вычислить интеграл с точностью до 0,001.

Решение.

4. Вычислить интеграл с точностью до 0,0001.

Ответ.

5. Вычислить интеграл с точностью до 0,001.

Ответ.

 

 

Задание.

1.Разложить в ряд Фурье периодическую функцию при . Ответ. .

2.Разложить в ряд Фурье периодическую функцию при . Ответ. .

3. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию в интервале . Ответ. .

4. Разложить в ряд Фурье функцию периода , заданную формулой

Ответ. .

Задача 2. Разложить в ряд Фурье функцию, заданную формулой

Решение. Продолжим функцию на отрезок четным образом, затем периодически продолжим ее с периодом на всю ось Ох. Для получен­ной функции имеем

 

Таким образом,

.

Замечание. Можно было продолжить исходную функцию нечетным образом.

5. Разложить в ряд Фурье по косинусам функцию , .

Ответ. , где .

6. Разложить в ряд Фурье по синусам функцию

Ответ. , где .

6. Разложить в ряд Фурье по косинусам функцию

Ответ. .

 

 

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 13

Тема: «Элементы комбинаторики»

 

Задача 1. Вычислить а) б) в)

Решение. а) Воспользуемся формулой . Тогда

.

б) Воспользуемся формулой . Тогда

.

в) Воспользуемся формулой . Тогда

.

 

Задание.

1. Вычислить: 1) 3!; 2) 5!; 3) 6!; 4) 7!. Ответ. 1) 6; 2) 120; 3) 720; 4) 5040.

2. Вычислить: 1) ; 2) ; 3) . Ответ. 1) 60; 2) 10; 3) 30.

3. Вычислить: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Ответ. 1) 4; 2) 6; 3) 4; 4) 1; 5) 28; 6) 10.

4. Имеется 5 видов конвертов без марок и 4 вида марок одного достоинства. Сколькими способами можно выбрать конверт с маркой для отправки письма? Ответ. 20.

5. В магазине имеется 5 видов рубашек, 3 вида брюк и 6 видов галстуков. Сколькими способами можно подобрать набор брюки – рубашка – галстук?

Ответ. 90.

6. Группа студентов из 30 человек решила обменяться фотокарточками. Сколько всего фотокарточек понадобилось для этого? Ответ. 870.

7. Сколько вариантов хоккейной команды можно составить из 9 нападающих, 5 защитников и 3 вратарей, если в состав команды входят 3 нападающих, 2 защитника и 1 вратарь? Ответ. 2520.

8. На плоскости имеется 8 точек, из которых 3 лежат на одной прямой. Сколько различных прямых линий можно провести, если брать различные пары из имеющихся точек? Ответ. 26.

9. Кодовый замок открывается набором из четырех цифр. Сколько может быть различных комбинаций набора? Ответ. .

10. Сколько существует шестизначных чисел, все цифры которых различны?

Ответ. 136080.

11. Сколько существует «зеркальных» шестизначных чисел, которые одинаково читаются слева направо и справа налево? Ответ. 648.

12. Группа из десяти мальчиков и десяти девочек размещается в ряд на скамейке. Сколько существует вариантов размещения при которых: а) ни­какие два мальчика не сидят рядом? б) все мальчики сидят одной группой? в) Коля сидит рядом с Олей?

Ответ. а) 2∙10!∙10! б) 11 ∙10! ∙10! в) 2 ∙19 ∙18!

13. В гостиницу прибыло семь командированных мужчин. Имеются свободные номера: одноместный, двуместный и четырехместный. а) Сколько существует вариантов размещения прибывших?б) Сколько вариантов того, что Иванов и Петров попадут в один номер? Ответ. а) 105; б) 35.

14. На первую горизонталь шахматной доски (8 клеток) расставляются пять фигур. Сколько существует различных вариантов расстановки, если эти фигуры: а) король, ферзь, конь, слон, ладья? б) король, ферзь, конь и два слона? в) король, два коня и два слона? г) пять пешек?

Ответ. а) 6720. б) 3360. в) 1680. г) 56.

15. Сколько существует шестизначных чисел, в записи которых есть хоть одна четная цифра? Ответ. 884375.

16. Сколько существует семизначных чисел, в записи которых есть хоть одна единица? Ответ. .

17.Из колоды в 52 карты (4 масти по 13 карт) вынимаются четыре карты. а) Сколько существует вариантов выбора, при которых среди выбранных карт будет хоть одна карта «красной» масти? б) Сколько существует вариантов выбора, при которых среди выбранных карт будет хоть один туз? Ответ. а) . б) .

 

Задание.

1. Бросают две игральные кости, Найти вероятность того, что сумма выпавших очков будет не более 3. Ответ. .

2. Бросают 4 игральные кости. Найти вероятность того, что на них выпадет по одинаковому числу очков. Ответ. .

3. В партии из 20 деталей 16 стандартных. Наудачу выбираются три детали. Найти вероятности событий А- все три детали стандартны; В – все детали нестандартны. С – две детали стандартны; D – одна деталь стандартна. Ответ.

4. Кубик с окрашенными гранями разрезан на 1000 одинаковых маленьких кубиков, которые затем перемешиваются. Наудачу вынимается один кубик. Найти вероятности событий А – у кубика окрашена одна грань; В – у кубика окрашены две грани; С – у кубика окрашены три грани; D – кубик не окрашен. Ответ. .

5. В ящике находятся 6 красных, 5 синих и 4 желтых шара. Наудачу вынимаются два шара. Найти вероятности событий: А – вынуты два шара одного цвета; В – вынуты два шара разного цвета; С – среди вынутых шаров нет синих. Ответ. .

6. На складе находятся 10 телевизоров, из них 4 фирмы «Витязь». Найти вероятность того, что из 5 наудачу отобранных телевизоров ровно 2 будут фирмы «Витязь». Ответ. .

7. Найти вероятность того, что дни рождения 12 случайно выбранных людей придутся на разные месяцы года. Ответ. .

8. Для уменьшения общего числа игр 16 хоккейных команд разбиты на две подгруппы по 8 команд в каждой. Найти вероятность того, что две наиболее сильные команды а) окажутся в разных подгруппах; б) окажутся в одной подгруппе. Ответ. а) б) .

9. В урне 10 шаров занумерованных числами 1, 2,…,10. Из урны наудачу вынимается шар и записывается его номер. Затем шар откладывается в сторону и из урны вынимается второй шар. Найти вероятность того, что номер второго шара больше, чем номер первого шара. Ответ. 0,5

10. Монета бросается три раза. Найти вероятность того, что герб выпадет хотя бы один раз. Ответ. .

11. В коробке 5 одинаковых изделий, причем 3 из них окрашено. Найти вероят­ность того, что из 2 наугад отобранных изделий а) ровно одно окрашено; б) хотя бы одно окрашено. Ответ. а) 0,6 б) 0.9.

12. Из 12 лотерейных билетов 4 выигрышных. Наудачу берут 6 билетов. Какова вероятность того, что среди них будет хоть один выигрышный? Ответ. 0,96.

 

Тема 3: «Геометрическая вероятность»

 

Задача 4. На отрезок L длиной 20см наудачу помещен отрезок l длиной 5см. Найти вероятность того, что точка, наудачу поставленная на L попадет также и на отрезок l.

Решение. .

Задание.

13. На отрезке ОА длины L наугад ставится точка В. Найти вероятность того, что меньший из отрезков ОВ и ВА имеет длину не меньше чем L/3. Ответ. 1/3.

14. В круг радиуса R наудачу помещен круг меньшего радиуса r. Найти вероятность того, что точка, наудачу поставленная в круг R, попадет также и в круг r. Ответ. .

15. Плоскость разграфлена параллельными прямыми, расстояние между которыми равно 2а. На плоскость наудачу брошена монета радиуса . Найти вероятность того, что монета не пересечет ни одну из параллельных прямых. Ответ. .

16. На плоскость с нанесенной сеткой квадратов со стороной а наудачу брошена монета радиуса . Найти вероятность того, что монета не пересечет ни одну из сторон квадрата. Ответ. .

17. Внутри квадрата с вершинами в точках (0; 0), (0; 1), (1; 0), (1; 1) наудачу выбрана точка М с координатами (х; у). Найти вероятность событий

А: , В: , С: .

Ответ. .

18. На отрезок АВ длиной 10см наугад бросают точку М. Какова вероятность того, что площадь квадрата со стороной АМ будет больше 25см² и меньше 64см²? Ответ. 0,09.

19. На отрезке ОА длины L числовой оси ОХ наудачу ставятся точки В(х) и С(у), причем . Найти вероятность того, что длина отрезка ВС меньше L/2. Ответ. 3/4.

 

 

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 16

Тема:« Теоремы сложения и умножения вероятностей»

 

При решении задач этой темы используются формулы:

Задача 1. Два стрелка стреляют по одной и той же цели. Вероятности поражения ими цели равны соответственно 0,7 и 0,8. Какова вероятность поражения цели?

Решение. Пусть событие А – поражение цели первым стрелком, событие В – поражение цели вторым стрелком. Тогда Р(А) =0,7, Р(В) =0,8, . Событие С – поражение мишени описывается через события А и В следующим образом: . Так как слагаемые представляют собой несовместные события, то

.

Ответ. 0,94

Задание.

1. Два стрелка стреляют по одной мишени. Вероятность попадания в мишень равна 0,6 для первого стрелка и 0,7 для второго стрелка. Найти вероятность того, что в мишень попадет только один стрелок.

Ответ. 0,46.

2. Вероятность одного попадания в цель при одном залпе двух стрелков равна 0,38. Известно, что вероятность попадания в цель при одном выстреле для первого стрелка равна 0,8. Найти вероятность попадания в цель при одном выстреле для второго стрелка. Ответ. 0,7.

3. Для предупреждения пожара установлено два сигнализатора, работающих независимо друг от друга. Вероятность того, что при пожаре сработает первый сигнализатор, равна 0,9, для второго сигнализатора эта вероятность равна 0,95. Найти вероятность того, что при пожаре сработает только один сигнализатор. Ответ. 0,14

4. Вероятность того, что при одном измерении некоторой физической величины будет допущена ошибка, превышающая заданную точность, равна 0,4. Произведено три независимых измерения. Найти вероятность того, что только в одном из них будет допущена ошибка, превышающая заданную точность. Ответ. 0,432.

5. При стрельбе из пистолета вероятность попадания в «десятку» равна 0,25; в «девятку» - 0,30; в «восьмерку» - 0,15; в «семерку» - 0,12. Найти вероятность того, что стрелок, сделав один выстрел, выбьет: а) не менее 8 очков; б) не более 8 очков? Ответ. а) 0,70; б) 0,45.

6. Студент разыскивает нужную ему формулу в трех справочниках. Вероятность того, что формула находится в первом справочнике, равна 0,6; во втором – 0,7; в третьем – 0,8. Найти вероятность того, что нужная формула находится: а) только в одном справочнике; б) только в двух справочниках; в) во всех трех справочниках; г) нет ни в одном справочнике. Ответ. а) 0,188; б) 0,452 в) 0,336; г) 0,024.

Задача 2. Сколько надо бросить игральных костей, чтобы с вероятность того, что ни на одной из костей не выпадет 6 очков, стала бы меньше, чем 0,3?

Решение. Пусть событие состоит в том, что на i- ой кости не выпало 6 очков. Тогда .Вероятность того, что при бросании n костей на них не выпадет ни одной «6», равна . Чтобы найти n, надо решить неравенство , откуда . Ответ. .

 

7. Вероятность выигрыша лотерейного билета равна . Сколько надо купить лотерейных билетов, чтобы вероятность того, что хотя бы один билет выиграет, стала бы больше, чем 0,8? Ответ. Не менее 8.

8. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Сколько надо сделать выстрелов, чтобы вероятность того, что не будет ни одного промаха, стала бы меньше, чем 0,4? Ответ. Не менее 5.

Задача 3. Найти вероятность работы схемы, если вероятность работы каждого отдельного элемента равна 0,8.

 

Решение. Схема представляет собой параллельное соединение подсхем А и В

Подсхема А представляет собой последовательное соединение двух элементов, а подсхема В представляет собой последовательное соединение трех элементов.

 

Тогда: вероятность работы подсхемы А: Р(А)=0,8 ∙0,8=0,64

вероятность отказа подсхемы А: .

вероятность работы подсхемы В: .

вероятность отказа подсхемы В: .

вероятность отказа всей схемы: .

вероятность работы всей схемы: .

Ответ. 0,82432.

 

Задание. Найти вероятность работы схем (рис. 1 – 6), если вероятность работы каждого отдельного элемента равна 0,8. Ответ округлить до 0,0001.

Ответ. 1) 0,974; 2) 0,952; 3) 0,737; 4) 0,788; 5) 0,733; 6) 0,594.

 

 

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 17

Тема: «Формула полной вероятности. Формула Бейеса»

 

Задача 1. В коробке находятся 3 новых и 3 уже использованных теннисных мяча. Для первой игры наудачу берут из коробки 2 мяча, затем их возвращают в коробку. Какова вероятность для второй игры вынуть наудачу из этой коробки два новых мяча?

Решение. Пусть событие А= {вынуть два новых мяча для второй игры}. Ситуация перед второй игрой описывается следующими гипотезами: ={в коробке один новый мяч}, если для первой игры вынули два новых мяча; ={в коробке два новых мяча}, если для первой игры вынули один новый и один уже использованный мяч; ={В коробке три новых мяча}, если в первой игре играли уже использованными мячами. Гипотезы , и образуют полную группу гипотез, так как они несовместны и в сумме составляют все возможные исходы. Найдем вероятности каждой гипотезы:

; ; .

Найдем условные вероятности события А в случае осуществления каждой гипотезы:

; ; .

Теперь, используя формулу полной вероятности, найдем

.

Ответ. .

Задание.

1.В первом ящике было 3 белых и 8 черных шаров, во втором ящике – 6 белых и 5 черных. Из первого ящика во второй переложили наудачу взятый шар. Какова теперь вероятность вынуть черный шар: а) из первого ящика? б) из второго ящика? Ответ. а) ; б) .

2. В первом ящике 10 шаров, из них 8 белых; во втором ящике 20 шаров, из них 4 белых. Из каждого ящика наудачу извлекли по шару, после чего из этих двух шаров выбрали один. Какова вероятность того, что был выбран белый шар? Ответ. 0,5

3. В ящике было 9 шаров. В ящик положили белый шар, шары перемешали, после чего из ящика наудачу вынули один шар. Какова вероятность того, что вынутый шар белый, если все предположения о цвете шаров в ящике равновероятны? Ответ. 0,45.

4. В ящике содержатся 12 деталей, изготовленных на заводе №1, 20 деталей производства завода №2 и 18 деталей завода №3. Вероятность того, что деталь отличного качества равна для 1-го, 2-го т 3-го заводов 0,9, 0,6 и 0,9 соответственно. Найти вероятность того, что наудачу извлеченная из ящика деталь будет отличного качества. Ответ. 0,78.

5. Из 12 лотерейных билетов было 4 выигрышных. Какова вероятность вытянуть выигрышный билет, если перед этим было вытянуто два билета? Ответ. 0, 26.

6. Группа состоит из двух отличных, 4 хороших и 4 посредственных стрелков. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,9, 0,75 и 0,6 для отличного, хорошего и посредственного стрелка соответственно. Наугад выбранный стрелок выстрелил в цель. Какова вероятность поражения мишени? Ответ. 0,72.

 

Задача 2. В коробке находятся 3 новых и 3 уже использованных теннисных мяча. Для первой игры наудачу берут из коробки 2 мяча, затем их возвращают в коробку. Для второй игры вынули два новых мяча. Какова вероятность того, что при этом для первой игры вынули два уже использованных мяча?