Рассмотрим односторонние пределы

Пусть

Отложим этот угол на единичной окружности (R = 1).

 

Точка K — точка пересечения луча с окружностью, а точка L — с касательной к единичной окружности в точке (1;0). Точка H — проекция точки K на ось OX.

 

Очевидно, что:

(где SsectOKA — площадь сектора OKA)

(из

: | LA | = tgx)

Подставляя в (1), получим:

Так как при

Умножаем на sinx:

Перейдём к пределу:

Найдём левый односторонний предел:

Правый и левый односторонний пределы существуют и равны 1, а значит и сам предел равен 1.

 

Следствия:

Понятие непрерывности функций. Непрерывность элементарных функций. Основные свойства непрерывных функций: существование наименьших и наибольших значений, существование промежуточных значений. Примеры разрывных функций.

Непрерывная функция — функция без «скачков», то есть такая у которой малые изменения аргумента приводят к малым изменениям значения отображения.

 

Непрерывная функция вообще говоря, — синоним понятия непрерывное отображение, тем не менее, чаще всего этот термин используется в более узком смысле — для отображений между числовыми пространствами, например, на вещественной прямой. Эта статья посвящена именно непрерывным функциям, определённым на подмножестве вещественных чисел и принимающих вещественные значения.

 

Определение непрерывности по Гейне

Говорят, что функция действительного переменного f (x) является непрерывной в точке

 

 

(

множество действительных чисел), если для любой последовательности

 

 

такой, что

 

выполняется соотношение

 

На практике удобно использовать следующие 3 условия непрерывности функции f (x) в точке x = a:

 

Функция f (x) определена в точке x = a;

2. Предел

существует;

 

3. Выполняется равенство

 

 

 

 

Определение непрерывности по Коши (нотация

 

Рассмотрим функцию f (x), которая отображает множество действительных чисел

 

на другое подмножество B действительных чисел. Говорят, что функция f (x) является непрерывной в точке

 

если для любого числа

 

 

существует число

 

 

 

такое, что для всех

 

удовлетворяющих соотношению

 

выполняется неравенство

 

 

Определение непрерывности в терминах приращений аргумента и функции

Определение непрерывности можно также сформулировать, используя приращения аргумента и функции. Функция является непрерывной в точке x = a, если справедливо равенство

 

 

 

 

где

 

 

Приведенные определения непрерывности функции эквивалентны на множестве действительных чисел.

 

Функция является непрерывной на данном интервале, если она непрерывна в каждой точке этого интервала.

 

 

Асимптоты графика функции.

Асимптоты графика функции

Назовём асимптотами прямые линии, к которым неограниченно приближается график функции, когда точка графика неограниченно удаляется от начала координат. В зависимости от поведения аргумента при этом, различаются два вида асимптот: вертикальные и наклонные. Определение 7. 1 Вертикальной асимптотой графика функции

 

 

называется вертикальная прямая

 

 

, если

 

или

 

 

при каком -либо из условий

 

 

 

 

Заметим, что мы при этом не требуем, чтобы точка принадлежала области определения функции

 

 

однако она должна быть определена по крайней мере в какой-либо из односторонних окрестностей этой точки:

 

 

или

 

 

где