Теоремы о пределах. Раскрытие некоторых типов неопределенностей.

Постоянное число а называется пределом последовательности {xn}, если для любого сколь угодно малого положительного числа e существует номер N, что все значения xn, у которых n>N, удовлетворяют неравенству

 

|xn - a| < e. (6.1)

 

 

Записывают это следующим образом:

или xn→ a.

Неравенство (6.1) равносильно двойному неравенству

a- e < xn < a + e, (6.2)

которое означает, что точки x n, начиная с некоторого номера n>N, лежат внутри интервала (a-e, a+e), т.е. попадают в какую угодно малую e-окрестность точки а.

 

Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, в противном случае - расходящейся.

 

Понятие предел функции является обобщением понятия предел последовательности, так как предел последовательности можно рассматривать как предел функции xn = f(n) целочисленного аргумента n.

 

Пусть дана функция f(x) и пусть a - предельная точка области определения этой функции D(f), т.е. такая точка, любая окрестность которой содержит точки множества D(f), отличные от a. Точка a может принадлежать множеству D(f), а может и не принадлежать ему.

 

Определение 1. Постоянное число А называется предел функции f(x) при x→a, если для всякой последовательности {xn} значений аргумента, стремящейся к а, соответствующие им последовательности {f(xn)} имеют один и тот же предел А.

Это определение называют определением предел функции по Гейне, или “на языке последовательностей”.

 

Определение 2. Постоянное число А называется предел функции f(x) при x→a, если, задав произвольное как угодно малое положительное число ε, можно найти такое δ >0 (зависящее от ε), что для всех x, лежащих в ε-окрестности числа а, т.е. для x, удовлетворяющих неравенству

0 < x-a < ε, значения функции f(x) будут лежать в ε-окрестности числа А, т.е. |f(x)-A| < e.

 

Это определение называют определением предел функции по Коши, или “на языке ε - δ“.

 

Определения 1 и 2 равносильны. Если функция f(x) при x → a имеет предел, равный А, это записывается в виде

(6.3)

В том случае, если последовательность {f(xn)} неограниченно возрастает (или убывает) при любом способе приближения x к своему пределу а, то будем говорить, что функция f(x) имеет бесконечный предел, и записывать это в виде:

переменная величина (т.е. последовательность или функция), предел которой равен нулю, называется бесконечно малой величиной.

 

Переменная величина, предел которой равен бесконечности, называется бесконечно большой величиной.

Чтобы найти предел на практике пользуются следующими теоремами.

Теорема 1. Если существует каждый предел

Замечание. Выражения вида 0/0, ∞/∞, ∞-∞, 0*∞, - являются неопределенными, например, отношение двух бесконечно малых или бесконечно больших величин, и найти предел такого вида носит название “раскрытие неопределенностей”.

 

Замечательные пределы.

Замеча́тельные преде́лы — термин, использующийся в советских и российских учебниках по математическому анализу для обозначения некоторых широко известных математических тождеств со взятием предела. Особенно известны:

Первый замечательный предел:

Второй замечательный предел:

Первый замечательный предел

Доказательство