Парадокс Рассела. Теория типов.

Обоснование математики по Расселу начинается с самой логики, которую он трактует как систему тавтологий, истинных без намёка на опыт (или, по Лейбницу, верных вообще во всех «возможных мирах»).[25]

Рассел считал, что только философ-аналитик может и должен отыскать логический способ избавления математики от сомнительных вещей, на которых основывается обычно метафизика.

Для начала поговорим вообще о знании как таковом. Так Бертран Рассел различал два типа знания — «знания-знакомства» и «знания по описанию». «Знание-знакомство» есть изначальное и непосредственное знание о чувственных данных и универсалиях. Те элементы языка, которые подтверждаются «знанием-знакомством», Рассел называл «именами».

«Знание по описанию» является вторичным: оно означает выводное знание о физических объектах и психических состояниях других людей с помощью «обозначающих фраз», именно ими, по его мнению, порождаются главные логические проблемы и недоразумения.[26]

Рассел разработал механизм анализа и исключения двусмысленности обозначающих фраз. Впоследствии, Рассел пришел к выводу, что язык связан с миром только с помощью указательных местоимений, которые суть «логически собственные имена».

Занимаясь теорией множеств, Рассел обнаружил парадокс, который впоследствии получил его имя. Именно его он увидел в работе Фреге «Основания арифметики». Этот парадокс касался особого «класса всех классов, не являющихся членами самих себя».

Тут возникал вопрос: является ли класс частью себя же? Именно ответ на данный вопрос приводил к противоречию. К этому парадоксу было привлечено широкое внимание, так как в начале XX века теория множеств Кантора считалась образцовым математическим основанием, способным быть непротиворечивым и полностью формализованным.

Позитивное решение, предложенное Расселом, получило название «теории типов». Парадокс Рассела строится на понятии множества всех множеств, которое содержит в себе (в качестве подмножеств) все без исключения множества и, в то же время, само является множеством.[27]

А это значит, что оно содержит само себя в качестве подмножества. Именно этот факт и обыгрывается в парадоксе Рассела. Если принять за условие то, что правильные множества не содержат в себе самих себя, а неправильные – наоборот, содержат, то можно выявить другое противоречие. Каким же можно назвать множество Рассела, правильным или нет, при этом учитывая, что в самом множестве все множества правильные (так как не содержат себя)? Здесь получается парадокс: если множество Рассела является правильным множеством, то должно содержать себя в качестве подмножества (поскольку содержит все правильные множества), что противоречит определению правильного множества (как множества, не содержащего себя в качестве подмножества). Но если множество Рассела является неправильным множеством (то есть содержит себя в качестве подмножества), то оно содержит, как минимум, одно неправильное множество, что противоречит его собственному определению (как множества, содержащего только правильные множества).

Простая теория типов устраняет парадокс Рассела, но не устраняет многие другие парадоксы (прежде всего, парадокс лжеца), как того добивался Рассел. По этой причине сегодня ее рассматривают как один из вариантов устранения данного парадокса.

Проблема в том, что подобная логическая грамматика не является пока что общепринятой. Настоящее решение этого парадокса будет найдено только тогда, когда будут поняты причины его возникновения. Так, например, введенный Расселом принцип порочного круга оказался недостаточным для объяснения этих причин.[28] Согласно этому принципу, совокупность объектов не может содержать членов, определяемых посредством этой же совокупности. Такое определение называется самоприменимым или циркулярным. Оно имеет место в таких парадоксальных высказываниях, как «Я лгу», «Множество, содержащее самого себя в качестве подмножества» и так далее. Проблема в том, что циркулярными являются и многие другие, непротиворечивые определения. Это означает, что кроме циркулярности необходим какой-то дополнительный критерий, отделяющий циркулярность, ведущую к парадоксу, от всех других ее случаев[29].

Таким образом, главным новшеством системы Рассела — Уайтхеда явилось построение логики в виде «ступенчатого исчисления» или «теории типов». Однако для построения классической математики средствами математики Рассела к этой системе пришлось присоединить некоторые аксиомы, не являющиеся «аналитическими истинами», или, по Лейбницу, истинами, верными «во всех возможных мирах». Итак, не вся расселовская математика выводима из логики. Но более того, эта математика и не есть вся математика: как показал К. Гёдель такие системы могут обосновать только некоторую часть математики, но не её саму, а это означает, что они неполны — их средствами всегда можно сформулировать содержательно истинные, но не разрешимые (не доказуемые и не опровержимые) математические утверждения. [30]

Principia Mathematica

«Principia Mathematica», - это трёхтомный труд, а также грандиозный проект по сведению математики к логике Бертрана Рассела и Альфреда Уайтхеда. Она была бы также невозможна без Джузеппе Пеано и Готлоба Фреге, чьи достижения в этой области эта книга должна была объединить и подвести им некий итог.

Также одной из главных задач была попытка избежать парадокса в системе Фреге, который обнаружил Бертран Рассел. В этой книге авторы пытались создать универсальный логический язык, который мог бы преобразовать не только саму математику, но и математический анализ. Ещё одной целью было выкидывание из математики недоказуемых теорем (аксиом) и неопределяемых терминов, и, несомненно, логический язык должен был избавить логику и математику от парадоксов.

Работа была встречена с небывалым энтузиазмом и долго обсуждалась в научных кругах, так, к примеру, Анри Пуанкаре в связи с этой работой выдвинул опровержение самой концепции логицизма. Тем не менее, были получены результаты, которые сделали возможным строгое доказательство того, что «чистая» математика вообще не может быть сведена к логике, трактуемой, как этого хотел Рассел. [31]

Именно эта работа подтолкнула Гёделя к созданию своих теорий об их принципиальной неполноте и о невозможности доказать непротиворечивость такой системы средствами логики, формализуемыми в этой же системе. Позднее многие последователей логицизма пытались исправить недостатки системы Рассела с помощью «конструктивного номинализма», трактующего множества как коллективы, состоящие из отдельных конкретных вещей.

 

Заключение

Анализ рассмотренных основных направлений философского обоснования математики показывает, что ни одно из них не принесло удовлетворяющего решения. Вместе с тем каждое из них внесло многие уточнения в понимании математики как таковой.

Логицизмом был разработан важнейший для математики аппарат символической логики и, конечно же, теория типов, применение которой в анализе какой-либо области знания позволяет показательно разграничить уровни используемых понятий.

Интуиционистское, а том числе и конструктивное направления, показали возможность другого построения математических объектов, тем самым выявив неизученные области в понимании математики и ее реальном значении. Особенно эффективными явились идеи конструктивной ветви течения, существенно уточнившие методы построения объектов. Нельзя забывать и о разработках алгоритма и теории доказательств, с помощью которой разрабатывали новые способы проверки знания. Самое интересное, что эти методы ни в коей мере не мешает аксиоматическим.

Многим современная наука обязана Брауэру и Вейлю, в особенности пробуждением интереса к интуитивным аспектам математического творчества. Если рассматривать интуицию не с математической точки зрения, определение которой появилось благодаря интуиционистам, то кажется, что сама интуиция противостоит строгим методам логики. При более внимательном же рассмотрении обнаруживается, что обе стороны научного творчества дополняют друг друга, содействуя, каждая своими средствами, единой цели поиска истины.

Критика заставила математику задуматься о себе самой, провести анализ над своим содержанием, принципами, методами. Это повлекло за собой глубокий анализ природы науки. В связи с этим Г. Вейль заметил, что под ударами Брауэра и его последователей многое казавшееся ранее бесспорным, было поставлено под сомнение, и математик со скорбью смотрел на то, «как словно туман расплывалась большая часть его высоко вознесшихся теорий».

Нельзя также умолчать об успехах формализма, ведь именно его усилиями была развита новая область математического метода – метаматематика.

Когда А. Гильберт, формализуя аксиоматическое построение, ввел в качестве исходных объекты, лишенные какого бы то ни было конкретного содержания и в данном отношении «бессмысленные», этим еще не исключалась возможность формулировать о таких объектах содержательные высказывания. Такие высказывания о вроде бы лишенных смысла объектах формализованной математики принадлежат уже не ей самой, а метаматематике, то есть теории, в которой говорим о математических терминах и высказываниях. Гильберт и обосновывает метаматематику, как науку о символах системы, их упорядочении, соединении в формулы и так далее.

С успехами формалистского направления связано также развитие аксиоматического метода. Он требует лишь одного, чтобы объекты удовлетворяли нужным правилам. Этим формализм обратил внимание на необходимость уточнения математических отношений, тем самым очищая их от лишних значений.

Несмотря на то, что Гёдель доказал неполноту учения формалистов, это не означает, что его теоремы отвергают полностью то, что сделано представителями этого течения. Теоремы утверждают лишь невозможность абсолютно полной формализации теоретической системы.

Вот такие главные результаты, полученные ведущими течениями в области обоснований математики. Каждое из этих направлений показали разные взгляды на математический метод, что помогло ему расшириться и обрести свою полноту, раскрывая новые стороны монументального здания математики. Тем самым можно подвести итог, что кризисы помогают посмотреть на вещи с другой стороны и, если и не найти точный ответ на проблему, но тем самым подготовить всё для её решения.

 

 

Список литературы

1. Вейль Г., О философии математики, М.—Л., 1934

2. Вилейтнер Г. История математики от Декарта до середины XIX столетия — М.: ГИФМЛ, 1960

3. Гейтинг А. Интуиционизм. — М.: Мир, 1965

4. Гильберт Д. Основания геометрии. М.; Л., 1948

5. Канке В.А. Философия. - М.: Логос, 2001

6. Клейн Ф. Лекции о развитии математики в XIX столетии — М.-Л.: ГОНТИ, 1937

7. Перминов В.Я. Философия и основания математики. — М.: Прогресс-Традиция, 2001

8. Пуанкаре А. О науке. — М., 1983

9. Рассел Б. Введение в математическую философию. Избранные работы: пер. с англ. — Новосибирск: Сиб. унив. изд-во, 2007

10. Светлов В. А. Философия математики. Основные программы обоснования математики XX столетия — М., 2006

11. Целищев В.В. Философия математики — М.: Наука, 2002

 

[1] Канке В.А. Философия – 359 с.

[2] Гильберт Д. Основания геометрии. М.; Л., 1948 – 315 с.

 

[3] Гильберт Д. Основания геометрии. М.; Л., 1948 – 316 с.

[4] Канке В.А. Философия – 359 с.

[5] Светлов В. А. Философия математики. – 135 с.

[6] Это утверждение также рассматривается В.А. Светловым (Светлов В. А. Философия математики.– 8 с.)

[7] Гильберт Д. Основания геометрии. М.; Л., 1948 – 349 с.

[8] Клейн Ф. Лекции о развитии математики в XIX столетии 135 с.

[9] Светлов В. А. Философия математики.– 86 с.

[10] Гейтинг А. Интуиционизм – 23 с.

[11] Гейтинг А. Интуиционизм – 14 с.

[12] Канке В.А. Философия – 59 с.

[13] Вейль Г., О философии математики – 116 с.

[14] Светлов В. А. Философия математики.– 87-88 с.

[15] Перминов В.Я. Философия и основания математики – 132 с.

[16] Целищев В.В. Философия математики – 51 с.

[17] Перминов В.Я. Философия и основания математики – 181, 272 с.

[18] Вилейтнер Г. История математики от Декарта до середины XIX столетия – 37 с.

[19] Вилейтнер Г. История математики от Декарта до середины XIX столетия – 39 с.

[20] Светлов В. А. Философия математики. – 39 -40 с.

[21] Светлов В. А. Философия математики. – 41 с.

[22] Перминов В.Я. Философия и основания математики – 188 с.

[23] Светлов В. А. Философия математики. – 45 с.

[24] Перминов В.Я. Философия и основания математики – 137-138 с.

[25] Вилейтнер Г. История математики от Декарта до середины XIX столетия – 49 с.

[26] Светлов В. А. Философия математики. – 75 с.

[27] Перминов В.Я. Философия и основания математики – 116-117 с.

[28] Светлов В. А. Философия математики. – 70 с.

[29] Рассел Б. Введение в математическую философию – 119-122 с.

[30] Светлов В. А. Философия математики. – 77 с.

[31] Светлов В. А. Философия математики. – 77 с.