Программа радикальной перестройки математики.

В 1908 в работе «О недостоверности логических принципов» Брауэр доказывал положение о том, что классическая логика является результатом невозможного для точной дисциплины обобщения на бесконечные совокупности тех законов, которые были получены на небольших конечных множествах. Затем в течение 15 лет он пытался перестроить классическую математику на основе другой логики и другой интерпретации формул как задач на мысленные построения.

В отличие от других концепций, Брауэр стремится не просто перестроить старую математику, так как она привела к парадоксам, но и вообще начать её заново. Он выдвигал радикальнейшие возражения против классической математики и вместе с тем максимально осторожно подходил к задаче ее перестройки, пытаясь сохранить все, что можно переинтерпретировать на новой основе.

Одной из причин таких радикальных действий было то, что, по мнению Брауэра, математика отошла от объекта к субъекту, начав ориентироваться на язык и мышление. Одно из основных правил неклассической математики – Истинно то, что доказуемо. При отказе от теории множеств возникло еще одно правило: управлять только финитными, то есть конечными объектами, что позволяет обеспечить эффективность доказательства. Соответственно этому, противоречивость означает ложь.

Брауэр также делал ставку на еще некоторые правила, такие как:

1) Объекты математики – ментальные конструкции, очевидные для разума. Брауэр пересмотрел отношение математики к языку. Математика — автономный и самодостаточный вид деятельности, не зависящий от языка. Вообще язык и мышление – второстепенные факторы, влияющие лишь на трансляцию знаний. Математические идеи имеют более глубокое основание в разуме, чем язык. Они не зависят от словесного восприятия и куда богаче его. Естественный язык способен, по Брауэру, создать лишь копию идей, соотносимую с ней самой, как фотография с пейзажем.

2) Математика не зависит от опыта, языка и логики. Есть также понятия последовательности свободного (не алгорифмического) выбора.

3) Математика основана на интуиции времени. Её основу составляет базисное единство интуиции времени. [14]

Основной тезис интуиционистов гласит, что существование в математике — это то же самое, что конструктивность, или «построяемость»[15]. Из существования математического объекта вытекает его непротиворечивость, но не наоборот: не каждый непротиворечивый объект существует. Это построение является единственным средством обоснования в математике.

Согласно Брауэру, логические законы не являются абсолютными истинами, не зависящими от того, к чему они прилагаются. «Брауэр открыл нам глаза и показал, как далеко классическая математика, питаемая верой в абсолют, превосходящий все человеческие возможности реализации, выходит за рамки утверждений, которые могут претендовать на реальный смысл и истинность, основанную на опыте» - так оценил значение интуиционизма Герман Вейль.

Брауэр считал, что алгоритмическая вычислимость не исчерпывает умственных построений и выдвинул ряд идей, ставших популярными в современной логике, в частности, идею последовательностей, зависящих от решения проблем и «беззаконных последовательностей». Он впервые показал, что математика, а также другие точные науки могут опираться не только на «позитивные» знания, но и на осознанное незнание. Тем самым он обосновал альтернативу позитивной методологии науки в рамках точных наук.

Брауэр высоко оценивал программу Гильберта и, однако, подчеркивал те ее стороны и следствия, о которых предпочитал умалчивать Гильберт. Когда мировая научная и философская общественность расценила теорему Гёделя как провал программы Гильберта, Брауэр выступил в защиту Гильберта, подчеркнув, что эта теорема никак не касается существа программы и означает лишь неудачу одной из попыток реализовать ее. Брауэр еще до Гёделя подчеркивал неформализуемость любого нетривиального человеческого знания, доводя это до идеи неформализуемости интуиционистской логики, и сам же инициировал работы по ее формализации [16].

Брауэр отличался глубоким радикальным критическим мышлением и формулировал свои идеи в столь острой форме, что они стимулировали развитие альтернативных концепций. Он отдал дань радикальным политическим увлечениям, поддерживая нацистов вплоть до момента, когда они предательски оккупировали его родину.

Ученые и их труды (Г. Вейль, Н.А. Васильев)

Герман Вейль (полное имя Вейль Герман Клаус Хуго) родился в Эльмсхорне 9 ноября 1885 года. Получил степень доктора философии, когда окончил Гёттингский университет в 1908. Работал там же, где и познакомился с Давидом Гильбертом, под шефством которого потом писал научные работы. Также провел некоторое время в Мюнхене у Ф. Клейна и А. Зоммерфельда. К 1913 стал профессором Цюрихского политехнического института, откуда ушел в 1930. В 1933г. эмигрировал в США, где работал в Принстоне в Институте перспективных исследований. Вейль занимался различными областями математики.

В теории функций комплексного переменного Вейль впервые дал строгое построение тех разделов этой теории, которые опираются на понятие «риманова поверхность» (теоремы и область Вейля). В математическом анализе Вейль занимался дифференциальными и интегральными уравнениями, в частности создал спектральную теорию дифференциальных операторов[17].

Введенные Вейлем в теории чисел суммы Вейля имели большое значение для аддитивной теории чисел. Наиболее значителен комплекс работ Вейля по теории непрерывных групп и их представлений с применениями к проблемам геометрии и физики. Вейль доказал полноту системы неприводимых представлений компактной группы и изучил представления и характеры полупростых групп. Введенное им понятие пространства аффинной связности играет существенную роль в современной дифференциальной геометрии. В ряде работ Вейль популяризовал значение идей теории групп и современной дифференциальной геометрии для физики. С помощью методов теории групп Вейль получил некоторые результаты, относящиеся к теории атомных спектров.

Николай Александрович Васильев – выдающийся русский логик-философ, один из основоположников неклассической логики. Родился 29 июня 1880 г. в г. Казани. Основной вклад Васильева в отечественную и мировую науку содержится в трёх его развёрнутых статьях по логике, опубликованных в короткий временной интервал – в период с 1910 г. по 1913 г. Первая работа – «О частных суждениях, о треугольнике противоположностей, о законе исключенного четвертого» («Ученые записки Казанского университета», 1910) – содержит критику частных суждений в их аристотелевском понимании (где квантор «некоторые» трактуется как «по крайней мере один, а может быть, и все»). Во второй работе – «Воображаемая (неаристотелева) логика» («Журнал Министерства народного просвещения», 1912) – Васильев, вдохновленный идеей неевклидовой геометрии Лобачевского, предпринимает попытку построения логической системы, в котором отсутствует закон непротиворечия, а именно, допускается, что предмет может одновременно обладать и не обладать неким свойством. Основной тезис третьей работы – «Логика и металогика» («Логос», 1913) – необходимость различения двух уровней логического знания: «эмпирической» логики, основанной на принятии или отбрасывании предпосылок онтологического характера, и металогики – логики познающего субъекта, законы которой содержат минимум логического, не зависят от принимаемой онтологии и неизменны. Работы Васильева были замечены некоторыми известными логиками того времени, в научной периодике публиковались рецензии на его статьи, однако вскоре его логические идеи были забыты. Ситуация изменилась в 60-х годах ХХ столетия. Логические идеи Васильева вызвали живой интерес у специалистов, разрабатывавших новое оригинальное направление в неклассической логике – паранепротиворечивую логику.

 

Логицизм.