Философские принципы математики Гилберта

План реферата

Введение

Формализм

· Понятие формализма…………………………………………………..4

· Программа формализма (программа Гилберта)……………………..5

· Философские принципы математики Гилберта……………………..6

· Ученые и их труды…………………………………………………….8

Интуиционизм

· Понятие и концепция интуиционизма………………………………10

· Философские принципы интуиционизма Брауэра………………….11

· Программа радикальной перестройки математики…………………12

· Ученые и их труды (Г. Вейль, Н.А. Васильев) ……………………..15

Логицизм

· Предшественник – идея Лейбница…………………………………..17

· Программа логицизма ………………………………………………..17

· Философия математики Г. Фреге……………………………………18

· Философия математики Рассела……………………………………..20

· Principia Mathematica…………………………………………………23

Заключение

Список литературы

Введение

Шествие математики начинается с древнейших времен, начиная с Пифагора и его чисел, Евклида с геометрией и Аристотеля с логикой. С самого начала математике придавали огромное, феноменальное значение точной, истинной науки, в которой не место противоречиям. Таким образом, основание математики не только должно быть само по себе непротиворечиво, но само по себе истинно.

Так великий математик и философ Декарт говорил о самоочевидной истине, которая не нуждается доказательстве. Другой философ, Лейбниц, был защитником концепции самоочевидности математических истин — аксиом.

Но философское обоснование математического знания постоянно обсуждалось не только философами, но и математиками. Этим занимались такие известные математики как упомянутые выше Аристотель, Декарт, Лейбниц, Спиноза и другие. Однако пик озабоченности философскими проблемами математики пришелся на начало XX века и был связан с разразившимся в это время кризисом оснований. На этой почве и возникает философия математики, как попытка найти непротиворечивое основание для этой великой науки.

Именно для этой цели появились три важнейших направления в философии математики: формализм, интуиционизм и логицизм. Они различаются, прежде всего, философскими установками, повлиявшими в свою очередь на структуру развиваемого ими построения оснований математики. Позиция каждого направления была также тесно связана с работами других философов — Лейбница и Канта, чьи труды несомненно повлияли на становление философии математики.

В данной работе исследуется взаимосвязь философии и математики в XX веке на базисе кризиса математических дисциплин. Цель её проанализировать направления философии математики и сделать выводы об их программах и их выполнении.

Для этого необходимо дать определение философии математики, а также рассмотреть понятия формализма, интуиционизма и логицизма, проанализировать работы основателей этих направлений и их биографии.

 

Формализм.

Понятие Формализма.

Одним из главных направлений в философии математики является Формализм. Его задачей является обоснование математики и логики с помощью метаматематики или теории доказательств. Так называется специальная теория разрабатываемая Гильбертом в 1922—39 годах. Программа метаматематического обоснования математики претендовала на «спасение» всей классической математики, которая имела в своей основе теорию множеств Г. Кантора.

Так, если следовать идее Гильберт, в выбранной системе аксиом теории множеств отсутствие противоречий могло бы быть гарантировано тем, что язык, на котором проводилось доказательство отсутствия парадоксов, содержал лишь конечные, очевидные и убедительные выразительные и дедуктивные средства.

Эта программа, разработкой которой занимались также ученики и последователи Гильберта П. Бернайс, В. Аккерман, Г. Генцен и другие, дала ряд важнейших результатов, но подверглась критике со стороны других направлений оснований математики, в первую очередь интуиционизма (концепции разработанной учеником Гильберта — Германом Вейлем, а также, о ней будет рассказано позднее).

Однако фундаментальное открытие Гёделя показало принципиальную ограниченность концепции формализма. Гильбертовская программа, предполагавшая возможность доказать непротиворечивость и полноту всей классической математики, в целом оказалась невыполнимой. Гёдель доказал невозможность полной аксиоматизации достаточно развитых научных теорий, что свидетельствовало об ограниченности и не универсальности аксиоматического метода Гильберта. Тем не менее, его деятельность нашла свое отражение даже в таких теориях, которые он сам не разрабатывал. Это означает, что он, как и Кант, хотя и не смог воплотить свою теорию в жизнь в полном объеме, но вошел в историю как идеал честности, непротиворечивости, а также как настоящий математик.

Программа Гильберта.

Основная задача Гильберта, как он её формулирует: «Восстановить прежнюю добрую славу непоколебимой строгости математики, как будто потерянную ею под ударами парадоксов теории множеств». Надо сказать, что Гильберт не был против самой теории Кантора и тем более не отрицал её значения и вклада в историю математики, тем не менее, он прекрасно понимал, что математика не может остаться прежней, в связи с теми противоречиями, что показала теория множеств. Следовательно, единственный путь сохранить математику как строгую науку, не терпящую сослагательного наклонения, преобразовать её. Орудием его является знакомый математикам с давних времен Аксиоматический метод[1]. Его идея впервые была высказана в связи с построением геометрии в Древней Греции (Пифагор, Платон, Аристотель, Евклид), откуда её и взял Гильберт. Он преобразовал метод построения геометрии по примеру Евклида, и создал концепцию формального аксиоматического метода, которая ставит задачу точного описания логического средств вывода теорем из аксиом.

Как это описывает сам Гильберт, в своей работе «Основания геометрии»: есть два метода, один генетический и другой аксиоматический, первый отличается тем, что «общее понятие действительного числа развивается в нем из простого понятия о числе путем последовательных обобщений»[2]. Но этот метод является единственно подходящим лишь для изучения понятия числа, а «для окончательного оформления и полного логического обоснования содержания нашего познания предпочтительнее аксиоматический метод»[3]. Это такой способ построения научной теории, при котором в её основу кладутся некоторые исходные положения — аксиомы, из которых все остальные утверждения этой теории должны выводиться чисто логическим путём, посредством доказательств. Построение теории таким способом называется дедуктивным[4].

Такие доказательства применяются во многих науках, но основной областью применения являются математика и логика. Таким образом, основная идея Гильберта — полная формализация языка науки, при которой её суждения рассматриваются как последовательности знаков (формулы), приобретающие смысл лишь в решении конкретной задачи и зависящие от интерпретации. Кроме этого, чтобы вывести из этих аксиом теоремы требуется особый метод вывода, правила которого Гильберт также сформулировал.

Доказательство в такой теории — это некоторая последовательность формул, каждая из которых либо есть аксиома, либо получается из предыдущих формул последовательности, следуя одному из правил вывода. Главным требованием Гильберта, предъявляемым к системам, сконструированным таким способом — непротиворечивость аксиом. Как говорит об этом В.А.Светлов: «Такая математика подобна шахматной игре, в которой фигуры — ограниченный запас символов, а расположенные фигур на доске — объединение символов в формулу»[5].

Ученые и их труды

Давид Гильберт родился 23 января 1862, Велау, близ Кёнигсберга, Гёттинген. Окончил Кёнигсбергский университет, в 1893—1895 стал там профессором, позднее, в 1895—1930, профессор Гёттингенского университета. До 1933 года он читал лекции в этом университете. После небезызвестных событий, связанных с приходом Национал-социалистической партии к власти в Германии, он оставил университетские дела.

Исследования Гильберта в значительной мере повлияли на развитие многих разделов математики. Его деятельность в Гёттингенском университете во многом помогла Гёттингену в 1-й трети 20 века стать одним из мировых центров математической мысли. Гильберт был научным руководителем таких известных математиков как Г. Вейль, Р. Курант и другие[8].

В биографии Гильберта можно выделить 8 периодов, связанных с различными областями математики:

а) теория инвариантов (1885-1893),

б) теория алгебраических чисел (1893-1898),

в) основания геометрии (1898-1902),

г) принцип Дирихле и примыкающие к нему проблемы вариационного исчисления и дифференциальных уравнений (1900-1906),

д) теория интегральных уравнений (1900-1910),

е) решение проблемы Варинга в теории чисел (1908-1909),

ж) основы математической физики (1910-1922),

з) логической основы математики (1922-1939).

Среди наиболее важных трудов, изданных на русском языке, можно назвать классический труд «Основания геометрии» Гильберта, опубликованный в 1899 году, стал образцом для других работ по аксиоматическому построению, как геометрии, так и впоследствии арифметики. Также список его работ включает «Основы теоретической логики» (с В. Аккерманом), «Наглядная геометрия» (совместно с С.Кон-Фоссеном, 1936), «Основания математики. Логические исчисления и формализация арифметики», «Основания математики. Теория доказательств». Два базовых тома “Оснований математики”, которые были написаны Гильбертом вместе с П. Бернайсом, развившие данную концепцию более подробно, были опубликованы в 1934 и 1939 году.

 

 

Интуиционизм.

Логицизм.

Программа логицизма.

Одной из главных задач логицизма было доказательство того, что логика включает в себя математику, что показало бы, что все суждения математики суть аналитически истинные сущности. Попытки решить эту задачу привели к созданию новой логики, которую можно считать важнейшим осуществлением программы логицизма.

Другой пункт программы логицистов является то, что все аксиомы являются изначально логическими и, следовательно, все теоремы математики имеют под собой логическую основу[20]. Программа логицизма «чисто логического» обоснования математики оказалась невыполнимой. Так или иначе, но результаты Рассела и ученых, разрабатывающих и усовершенствовавших математику Рассела, оказали огромное влияние на развитие математической логики и науки в целом, способствуя формированию и уточнению ряда важнейших логико-математических и общеметодологических идей и построению соответствующего точного математического аппарата.

 

Principia Mathematica

«Principia Mathematica», - это трёхтомный труд, а также грандиозный проект по сведению математики к логике Бертрана Рассела и Альфреда Уайтхеда. Она была бы также невозможна без Джузеппе Пеано и Готлоба Фреге, чьи достижения в этой области эта книга должна была объединить и подвести им некий итог.

Также одной из главных задач была попытка избежать парадокса в системе Фреге, который обнаружил Бертран Рассел. В этой книге авторы пытались создать универсальный логический язык, который мог бы преобразовать не только саму математику, но и математический анализ. Ещё одной целью было выкидывание из математики недоказуемых теорем (аксиом) и неопределяемых терминов, и, несомненно, логический язык должен был избавить логику и математику от парадоксов.

Работа была встречена с небывалым энтузиазмом и долго обсуждалась в научных кругах, так, к примеру, Анри Пуанкаре в связи с этой работой выдвинул опровержение самой концепции логицизма. Тем не менее, были получены результаты, которые сделали возможным строгое доказательство того, что «чистая» математика вообще не может быть сведена к логике, трактуемой, как этого хотел Рассел. [31]

Именно эта работа подтолкнула Гёделя к созданию своих теорий об их принципиальной неполноте и о невозможности доказать непротиворечивость такой системы средствами логики, формализуемыми в этой же системе. Позднее многие последователей логицизма пытались исправить недостатки системы Рассела с помощью «конструктивного номинализма», трактующего множества как коллективы, состоящие из отдельных конкретных вещей.

 

Заключение

Анализ рассмотренных основных направлений философского обоснования математики показывает, что ни одно из них не принесло удовлетворяющего решения. Вместе с тем каждое из них внесло многие уточнения в понимании математики как таковой.

Логицизмом был разработан важнейший для математики аппарат символической логики и, конечно же, теория типов, применение которой в анализе какой-либо области знания позволяет показательно разграничить уровни используемых понятий.

Интуиционистское, а том числе и конструктивное направления, показали возможность другого построения математических объектов, тем самым выявив неизученные области в понимании математики и ее реальном значении. Особенно эффективными явились идеи конструктивной ветви течения, существенно уточнившие методы построения объектов. Нельзя забывать и о разработках алгоритма и теории доказательств, с помощью которой разрабатывали новые способы проверки знания. Самое интересное, что эти методы ни в коей мере не мешает аксиоматическим.

Многим современная наука обязана Брауэру и Вейлю, в особенности пробуждением интереса к интуитивным аспектам математического творчества. Если рассматривать интуицию не с математической точки зрения, определение которой появилось благодаря интуиционистам, то кажется, что сама интуиция противостоит строгим методам логики. При более внимательном же рассмотрении обнаруживается, что обе стороны научного творчества дополняют друг друга, содействуя, каждая своими средствами, единой цели поиска истины.

Критика заставила математику задуматься о себе самой, провести анализ над своим содержанием, принципами, методами. Это повлекло за собой глубокий анализ природы науки. В связи с этим Г. Вейль заметил, что под ударами Брауэра и его последователей многое казавшееся ранее бесспорным, было поставлено под сомнение, и математик со скорбью смотрел на то, «как словно туман расплывалась большая часть его высоко вознесшихся теорий».

Нельзя также умолчать об успехах формализма, ведь именно его усилиями была развита новая область математического метода – метаматематика.

Когда А. Гильберт, формализуя аксиоматическое построение, ввел в качестве исходных объекты, лишенные какого бы то ни было конкретного содержания и в данном отношении «бессмысленные», этим еще не исключалась возможность формулировать о таких объектах содержательные высказывания. Такие высказывания о вроде бы лишенных смысла объектах формализованной математики принадлежат уже не ей самой, а метаматематике, то есть теории, в которой говорим о математических терминах и высказываниях. Гильберт и обосновывает метаматематику, как науку о символах системы, их упорядочении, соединении в формулы и так далее.

С успехами формалистского направления связано также развитие аксиоматического метода. Он требует лишь одного, чтобы объекты удовлетворяли нужным правилам. Этим формализм обратил внимание на необходимость уточнения математических отношений, тем самым очищая их от лишних значений.

Несмотря на то, что Гёдель доказал неполноту учения формалистов, это не означает, что его теоремы отвергают полностью то, что сделано представителями этого течения. Теоремы утверждают лишь невозможность абсолютно полной формализации теоретической системы.

Вот такие главные результаты, полученные ведущими течениями в области обоснований математики. Каждое из этих направлений показали разные взгляды на математический метод, что помогло ему расшириться и обрести свою полноту, раскрывая новые стороны монументального здания математики. Тем самым можно подвести итог, что кризисы помогают посмотреть на вещи с другой стороны и, если и не найти точный ответ на проблему, но тем самым подготовить всё для её решения.

 

 

Список литературы

1. Вейль Г., О философии математики, М.—Л., 1934

2. Вилейтнер Г. История математики от Декарта до середины XIX столетия — М.: ГИФМЛ, 1960

3. Гейтинг А. Интуиционизм. — М.: Мир, 1965

4. Гильберт Д. Основания геометрии. М.; Л., 1948

5. Канке В.А. Философия. - М.: Логос, 2001

6. Клейн Ф. Лекции о развитии математики в XIX столетии — М.-Л.: ГОНТИ, 1937

7. Перминов В.Я. Философия и основания математики. — М.: Прогресс-Традиция, 2001

8. Пуанкаре А. О науке. — М., 1983

9. Рассел Б. Введение в математическую философию. Избранные работы: пер. с англ. — Новосибирск: Сиб. унив. изд-во, 2007

10. Светлов В. А. Философия математики. Основные программы обоснования математики XX столетия — М., 2006

11. Целищев В.В. Философия математики — М.: Наука, 2002

 

[1] Канке В.А. Философия – 359 с.

[2] Гильберт Д. Основания геометрии. М.; Л., 1948 – 315 с.

 

[3] Гильберт Д. Основания геометрии. М.; Л., 1948 – 316 с.

[4] Канке В.А. Философия – 359 с.

[5] Светлов В. А. Философия математики. – 135 с.

[6] Это утверждение также рассматривается В.А. Светловым (Светлов В. А. Философия математики.– 8 с.)

[7] Гильберт Д. Основания геометрии. М.; Л., 1948 – 349 с.

[8] Клейн Ф. Лекции о развитии математики в XIX столетии 135 с.

[9] Светлов В. А. Философия математики.– 86 с.

[10] Гейтинг А. Интуиционизм – 23 с.

[11] Гейтинг А. Интуиционизм – 14 с.

[12] Канке В.А. Философия – 59 с.

[13] Вейль Г., О философии математики – 116 с.

[14] Светлов В. А. Философия математики.– 87-88 с.

[15] Перминов В.Я. Философия и основания математики – 132 с.

[16] Целищев В.В. Философия математики – 51 с.

[17] Перминов В.Я. Философия и основания математики – 181, 272 с.

[18] Вилейтнер Г. История математики от Декарта до середины XIX столетия – 37 с.

[19] Вилейтнер Г. История математики от Декарта до середины XIX столетия – 39 с.

[20] Светлов В. А. Философия математики. – 39 -40 с.

[21] Светлов В. А. Философия математики. – 41 с.

[22] Перминов В.Я. Философия и основания математики – 188 с.

[23] Светлов В. А. Философия математики. – 45 с.

[24] Перминов В.Я. Философия и основания математики – 137-138 с.

[25] Вилейтнер Г. История математики от Декарта до середины XIX столетия – 49 с.

[26] Светлов В. А. Философия математики. – 75 с.

[27] Перминов В.Я. Философия и основания математики – 116-117 с.

[28] Светлов В. А. Философия математики. – 70 с.

[29] Рассел Б. Введение в математическую философию – 119-122 с.

[30] Светлов В. А. Философия математики. – 77 с.

[31] Светлов В. А. Философия математики. – 77 с.

План реферата

Введение

Формализм

· Понятие формализма…………………………………………………..4

· Программа формализма (программа Гилберта)……………………..5

· Философские принципы математики Гилберта……………………..6

· Ученые и их труды…………………………………………………….8

Интуиционизм

· Понятие и концепция интуиционизма………………………………10

· Философские принципы интуиционизма Брауэра………………….11

· Программа радикальной перестройки математики…………………12

· Ученые и их труды (Г. Вейль, Н.А. Васильев) ……………………..15

Логицизм

· Предшественник – идея Лейбница…………………………………..17

· Программа логицизма ………………………………………………..17

· Философия математики Г. Фреге……………………………………18

· Философия математики Рассела……………………………………..20

· Principia Mathematica…………………………………………………23

Заключение

Список литературы

Введение

Шествие математики начинается с древнейших времен, начиная с Пифагора и его чисел, Евклида с геометрией и Аристотеля с логикой. С самого начала математике придавали огромное, феноменальное значение точной, истинной науки, в которой не место противоречиям. Таким образом, основание математики не только должно быть само по себе непротиворечиво, но само по себе истинно.

Так великий математик и философ Декарт говорил о самоочевидной истине, которая не нуждается доказательстве. Другой философ, Лейбниц, был защитником концепции самоочевидности математических истин — аксиом.

Но философское обоснование математического знания постоянно обсуждалось не только философами, но и математиками. Этим занимались такие известные математики как упомянутые выше Аристотель, Декарт, Лейбниц, Спиноза и другие. Однако пик озабоченности философскими проблемами математики пришелся на начало XX века и был связан с разразившимся в это время кризисом оснований. На этой почве и возникает философия математики, как попытка найти непротиворечивое основание для этой великой науки.

Именно для этой цели появились три важнейших направления в философии математики: формализм, интуиционизм и логицизм. Они различаются, прежде всего, философскими установками, повлиявшими в свою очередь на структуру развиваемого ими построения оснований математики. Позиция каждого направления была также тесно связана с работами других философов — Лейбница и Канта, чьи труды несомненно повлияли на становление философии математики.

В данной работе исследуется взаимосвязь философии и математики в XX веке на базисе кризиса математических дисциплин. Цель её проанализировать направления философии математики и сделать выводы об их программах и их выполнении.

Для этого необходимо дать определение философии математики, а также рассмотреть понятия формализма, интуиционизма и логицизма, проанализировать работы основателей этих направлений и их биографии.

 

Формализм.

Понятие Формализма.

Одним из главных направлений в философии математики является Формализм. Его задачей является обоснование математики и логики с помощью метаматематики или теории доказательств. Так называется специальная теория разрабатываемая Гильбертом в 1922—39 годах. Программа метаматематического обоснования математики претендовала на «спасение» всей классической математики, которая имела в своей основе теорию множеств Г. Кантора.

Так, если следовать идее Гильберт, в выбранной системе аксиом теории множеств отсутствие противоречий могло бы быть гарантировано тем, что язык, на котором проводилось доказательство отсутствия парадоксов, содержал лишь конечные, очевидные и убедительные выразительные и дедуктивные средства.

Эта программа, разработкой которой занимались также ученики и последователи Гильберта П. Бернайс, В. Аккерман, Г. Генцен и другие, дала ряд важнейших результатов, но подверглась критике со стороны других направлений оснований математики, в первую очередь интуиционизма (концепции разработанной учеником Гильберта — Германом Вейлем, а также, о ней будет рассказано позднее).

Однако фундаментальное открытие Гёделя показало принципиальную ограниченность концепции формализма. Гильбертовская программа, предполагавшая возможность доказать непротиворечивость и полноту всей классической математики, в целом оказалась невыполнимой. Гёдель доказал невозможность полной аксиоматизации достаточно развитых научных теорий, что свидетельствовало об ограниченности и не универсальности аксиоматического метода Гильберта. Тем не менее, его деятельность нашла свое отражение даже в таких теориях, которые он сам не разрабатывал. Это означает, что он, как и Кант, хотя и не смог воплотить свою теорию в жизнь в полном объеме, но вошел в историю как идеал честности, непротиворечивости, а также как настоящий математик.

Программа Гильберта.

Основная задача Гильберта, как он её формулирует: «Восстановить прежнюю добрую славу непоколебимой строгости математики, как будто потерянную ею под ударами парадоксов теории множеств». Надо сказать, что Гильберт не был против самой теории Кантора и тем более не отрицал её значения и вклада в историю математики, тем не менее, он прекрасно понимал, что математика не может остаться прежней, в связи с теми противоречиями, что показала теория множеств. Следовательно, единственный путь сохранить математику как строгую науку, не терпящую сослагательного наклонения, преобразовать её. Орудием его является знакомый математикам с давних времен Аксиоматический метод[1]. Его идея впервые была высказана в связи с построением геометрии в Древней Греции (Пифагор, Платон, Аристотель, Евклид), откуда её и взял Гильберт. Он преобразовал метод построения геометрии по примеру Евклида, и создал концепцию формального аксиоматического метода, которая ставит задачу точного описания логического средств вывода теорем из аксиом.

Как это описывает сам Гильберт, в своей работе «Основания геометрии»: есть два метода, один генетический и другой аксиоматический, первый отличается тем, что «общее понятие действительного числа развивается в нем из простого понятия о числе путем последовательных обобщений»[2]. Но этот метод является единственно подходящим лишь для изучения понятия числа, а «для окончательного оформления и полного логического обоснования содержания нашего познания предпочтительнее аксиоматический метод»[3]. Это такой способ построения научной теории, при котором в её основу кладутся некоторые исходные положения — аксиомы, из которых все остальные утверждения этой теории должны выводиться чисто логическим путём, посредством доказательств. Построение теории таким способом называется дедуктивным[4].

Такие доказательства применяются во многих науках, но основной областью применения являются математика и логика. Таким образом, основная идея Гильберта — полная формализация языка науки, при которой её суждения рассматриваются как последовательности знаков (формулы), приобретающие смысл лишь в решении конкретной задачи и зависящие от интерпретации. Кроме этого, чтобы вывести из этих аксиом теоремы требуется особый метод вывода, правила которого Гильберт также сформулировал.

Доказательство в такой теории — это некоторая последовательность формул, каждая из которых либо есть аксиома, либо получается из предыдущих формул последовательности, следуя одному из правил вывода. Главным требованием Гильберта, предъявляемым к системам, сконструированным таким способом — непротиворечивость аксиом. Как говорит об этом В.А.Светлов: «Такая математика подобна шахматной игре, в которой фигуры — ограниченный запас символов, а расположенные фигур на доске — объединение символов в формулу»[5].

Философские принципы математики Гилберта

Важнейшими философскими принципами математики Гильберта являются, во-первых, его аксиоматический метод, который берет свое начало от Пифагора, первого назвавшего себя философом. Этот метод был также разработан позднее Аристотелем, а впоследствии развит Декартом и Лейбницем в их философских концепциях. Последний был защитником концепции самоочевидности и говорил, что «все математические истины суть тождественные сами по себе, следовательно, истинные сами по себе утверждения»[6]. Во-вторых, его разработки вопроса сущности бесконечного, разрабатываемого до этого также Кантом и, являющийся основанием теории множеств Кантора. Гильберт принял основное направление обоснования математики Канта. Математика не может быть, по его представлению, основана исключительно на логике. Для логических выводов в нашем созерцании должны присутствовать конкретные внелогические объекты и, чтобы эти выводы были как можно более надежными, необходимо, что было достаточное количество этих объектов. Их существование, различие и порядок должны быть очевидны, то есть быть настолько простыми и неразличимыми в себе насколько это возможно[7].

Для Гильберта имела большое значение философия Канта, некоторые основоположения первого базируются именно на кантианстве. По мнению Гильберта, всякое математическое рассуждение конечно и доступно прямому чувственному созерцанию и именно в этом вопросе он солидарен с Кантом. Более того, программа Гильберта может быть рассмотрена как выступление в защиту кантианства. Он, также как и Кант, понимает, что если математика будет ограничена логическими связями, то в ней не найдется места для парадоксов. Кроме того, его аксиоматизация основных дисциплин математики означала особое понимание статуса математических объектов в реальном мире. Гильберт считал их символами или комбинациями символов, не имеющих значений и определений. Их место в формуле дает им определение.

Второй пункт гильбертовской программы — доказательство непротиворечивости аксиом. По его мнению, математическое рассуждение может трактоваться так же, как объект теории. Доказательство математической теоремы является объектом, собранным по определённым правилам. Гарантией непротиворечивости таких объектов является их конечность и регулярность.

Таким образом, главной отличительной особенностью концепции формализма Гильберта можно считать сочетание конечного и бесконечного, финитного и трансфинитного, то есть включение трансфинитной концепции Кантора в финитные определения математики Гильберта.

 

Ученые и их труды

Давид Гильберт родился 23 января 1862, Велау, близ Кёнигсберга, Гёттинген. Окончил Кёнигсбергский университет, в 1893—1895 стал там профессором, позднее, в 1895—1930, профессор Гёттингенского университета. До 1933 года он читал лекции в этом университете. После небезызвестных событий, связанных с приходом Национал-социалистической партии к власти в Германии, он оставил университетские дела.

Исследования Гильберта в значительной мере повлияли на развитие многих разделов математики. Его деятельность в Гёттингенском университете во многом помогла Гёттингену в 1-й трети 20 века стать одним из мировых центров математической мысли. Гильберт был научным руководителем таких известных математиков как Г. Вейль, Р. Курант и другие[8].

В биографии Гильберта можно выделить 8 периодов, связанных с различными областями математики:

а) теория инвариантов (1885-1893),

б) теория алгебраических чисел (1893-1898),

в) основания геометрии (1898-1902),

г) принцип Дирихле и примыкающие к нему проблемы вариационного исчисления и дифференциальных уравнений (1900-1906),

д) теория интегральных уравнений (1900-1910),

е) решение проблемы Варинга в теории чисел (1908-1909),

ж) основы математической физики (1910-1922),

з) логической основы математики (1922-1939).

Среди наиболее важных трудов, изданных на русском языке, можно назвать классический труд «Основания геометрии» Гильберта, опубликованный в 1899 году, стал образцом для других работ по аксиоматическому построению, как геометрии, так и впоследствии арифметики. Также список его работ включает «Основы теоретической логики» (с В. Аккерманом), «Наглядная геометрия» (совместно с С.Кон-Фоссеном, 1936), «Основания математики. Логические исчисления и формализация арифметики», «Основания математики. Теория доказательств». Два базовых тома “Оснований математики”, которые были написаны Гильбертом вместе с П. Бернайсом, развившие данную концепцию более подробно, были опубликованы в 1934 и 1939 году.

 

 

Интуиционизм.