Решение системы нелинейных дифференциальных уравнений.

Общим правилом для различных методов численного решения дифференциальных уравнений (ДУ) или системы ДУ является разбиение непрерывной функции y(t) на интервалы (шаги) и определение решения в конце каждого шага, т.е. в дискретные моменты времени, путем некоторой итерационной процедуры.

В Mathcad решить задачу Коши для такой системы можно с помощью следующих функций:

rkfixed(y, x1, x2, npoints, D) —решение задачи на отрезке методом Рунге—Кутты с постоянным шагом;

Rkadapt(y, x1, x2, npoints, D) —решение задачи на отрезке методом Рунге—Кутты с автоматическим выбором шага;

rkadapt(y, x1, x2, acc, npoints, D, kmax, save) —решения задачи в заданной точке методом Рунге-Кутты с автоматическим выбором шага;

Bulstoer(y, x1, x2, npoints, D) —решение задачи на отрезке методом Булирша-Штера;

bulstoer(y, x1, x2, acc, npoints, D, kmax, save) —решение задачи в заданной точке методом Булирша—Штера;

Stiffr(y, x1, x2, acc, D, J) — решение задачи для жестких систем на отрезке с использованием алгоритма Розенброка;

stiffr(y, x1, x2, acc, D, J, kmax, save) —решения задач для жестких систем на отрезке с использованием алгоритма Розенброка;

Stiffb(y, x1, x2, acc, D, J) —решение задачи для жестких систем на отрезке с использованием алгоритма Булирша—Штера;

stiffb(y, x1, x2, acc, D, J, kmax, save) —решение задач для жестких систем в заданной точке с использованием алгоритма Булирша—Штера.

Смысл параметров для всех функций одинаков и определяется математической постановкой задачи: y — вектор начальных условий , ; x1, x2 — начальная и конечная точки отрезка интегрирования системы; для функций, вычисляющих решение в заданной точке, x1 — начальная точка, x2 — заданная точка; npoints — число узлов на отрезке [x1, x]; при решении задачи на отрезке результат содержит npoints+1 строку; D — имя вектор-функции D(x,y) правых частей , ; (имя D – от Derivative — производная, имя вектора, содержащего выражения для производных (derivatives) искомого решения); J — имя матрицы-функции J(x,y) размерности n x (n+1), в первом столбце которой хранятся выражения частных производных по x правых частей системы, а в остальных n столбцах содержится матрица Якоби правых частей:

.
acc — параметр, контролирующий погрешность решения при автоматическом выборе шага интегрирования (если погрешность решения больше acc, то шаг сетки уменьшается; шаг уменьшается до тех пор, пока его значение не станет меньше save); kmax — максимальное число узлов сетки, в которых может быть вычислено решение задачи на отрезке, максимальное число строк в результате; save — наименьшее допустимое значение шага неравномерной сетки.

Результат работы функции — матрица, содержащая n+1; ее первый столбец содержит координаты узлов сетки, второй столбец — вычисленные приближенные значения решения y1 (x) в узлах сетки, (k+1) -й — значения решенияyk (x) в узлах сетки.

При решении задачи Коши для дифференциального уравнения первого порядка результат вычислений всех приведенных выше функций — матрица, в первом столбце которой содержатся координаты узлов сетки x0, x1,..., xN, а во втором — значения приближенного решения в соответствующих узлах.

 

 

Для поиска решения системы ДУ с применением функций rkfixed и Rkadapt, с помощью которых производятся вычисления по методу Рунге-Кутта, необходимо задать:

1) начальные условия;

2) дифференциальное уравнение, представляемое в виде системы ДУ первого порядка;

3) значения коэффициентов, входящих в уравнения;

4) набор точек, в которых следует найти решение.

В функцию rkfixed(y,x1,x2,n, F) входят следующие параметры:

y – вектор начальных условий с размерностью, соответствующей порядку k ДУ или числу уравнений первого порядка в системе ДУ;

x1,x2 – граничные значения интервала, на котором ищется решение;

n – число фиксированных шагов или точек, на которых ищется приближенное решение;

F – вектор, в котором записаны правые части ДУ

В результате решения ДУ с помощью этих функций получается матрица, содержащая (k+1) столбцов и (n+1) точек. В первом столбце содержатся фиксированные значения аргумента t0,t1,t2,…tn; во втором – соответствующие им значения искомой функции y(t0), y(t1), y(t2),… y(tn), в третьем – значения первых производных в тех же узлах и т.д.

Функция rkfixed ищет приближенное решение с постоянным шагом, с помощью функции Rkadapt осуществляется адаптивный контроль этого процесса: с более мелким шагом при быстром изменении функции и более крупным – при медленном изменении функции.[1]

Жесткие системы. Например, в решении системы ДУ присутствуют слагаемые, одно из которых убывает очень быстро (е^-1000х), а другое гораздо медленнее (е^-2х). Для получения правдоподобного результата нужно выбирать маленький шаг, причем, на всем интервале интегрирования. Для интегрирования таких систем применяют специальные методы. Эти методы в MathCAD реализуют функции Stiffb, Stiffr. [2]

 

В таблице приведены некоторые функции для решения систем ДУ.

Пример программы решения системы ДУ.

Программирование в MathCAD

В MathCAD имеется специальная панель инструментов для ввода программных модулей. Программный модуль выделяется в тексте документа вертикальной жирной чертой.

Построение графиков.

График должен располагаться ниже формулы, задающей его. Удаление, копирование и перенос графиков осуществляется по той же методике, что и математических выражений. Изменение размера графика осуществляется путем протаскивания курсора, установленного на обрамляющей его рамке.

Создание графика осуществляется командой Insert-Graph или с помощью панели инструментов Graph.